猜想02 二项式定理高频题型归类（考题猜想，7大题型）高二数学下学期人教B版

猜想02 二项式定理高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 求项的系数问题 · 题型二 两个二项式的乘积问题 · 题型三 三项式问题 · 题型四 展开式和问题 · 题型五 整除问题 · 题型六 杨辉三角问题 · 题型七 二项式系数与项的系数最大问题 题型一 求项的系数问题 1．（2024·25高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 2．（2023·24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 5．（2024·25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 6．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 题型二 两个二项式的乘积问题 7．（2024·25高三上·云南德宏·阶段练习）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 10．（2023·24高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 （用数字作答） 11．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 12．（2023·24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 题型三 三项式问题 13．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 14．（2023·24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（    ） A． B．299 C． D．301 15．（2023·24高二下·湖北·期中）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 16．（2023·24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 17．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）展开式中含项的系数是 ． 18．（2023·24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 19．（2023·24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则 ， . 题型四 展开式和问题 20．（2023·24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）（多选）已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 22．（2023·24高二下·江苏南京·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）已知. (1)求 (2)求 (3) 24．（2023·24高二下·江苏镇江·期中）（多选）已知，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 整除问题 25．（2023·24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 26．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 27．（2023·24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 28．（2023·24高二下·浙江·期中）（多选）已知，若，则正确的是（    ） A． B． C．除以6所得余数为5 D． 29．（2024·25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 . 30．（2023·24高二下·山东青岛·期中）已知展开式的二项式系数和为64. (1)若，求的值； (2)证明：为正整数. 31．（2023·24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 题型六 杨辉三角问题 32．（2022·23高二下·山西太原·阶段练习）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 33．（2023·24高二下·山东聊城·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ） A． B．第16行所有数字之和为 C．第2024行的第1012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1:3 34．（2024·25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 35．（2023·24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 36．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 题型七 二项式系数与项的系数最大问题 37．（2024·25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 38．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 39．（2023·24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 40．（2024·25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 41．（2023·24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 42．（2023·24高二下·江苏南通·期中）在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 43．（2023·24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． $$猜想02 二项式定理高频题型归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 求项的系数问题 · 题型二 两个二项式的乘积问题 · 题型三 三项式问题 · 题型四 展开式和问题 · 题型五 整除问题 · 题型六 杨辉三角问题 · 题型七 二项式系数与项的系数最大问题 题型一 求项的系数问题 1．（2024·25高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 【答案】A 【详解】设二项式的展开式中的通项为 ，， 令，可得，, 故选：A. 2．（2023·24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，且，，得或， 所以有理项的项数为2． 故选：B. 3．（2023·24高二上·天津南开·期中）已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 4．（2024·25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 【答案】 【详解】依题意可得，所以， 则展开式的通项为 ，， 令，解得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 5．（2024·25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 【答案】-3 【详解】展开式通项公式为， 令得， 故，解得. 故答案为：-3 6．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 题型二 两个二项式的乘积问题 7．（2024·25高三上·云南德宏·阶段练习）的展开式中项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且的展开式为， 令，解得，可得； 令，解得，不合题意； 所以项的系数为. 故选：B. 8．（2023·24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【详解】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【详解】因为的展开式的通项为， 所以在的展开式中， 含的项为，所以的系数为. 故答案为：. 10．（2023·24高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【详解】由题可知， 所以展开式的通项公式为， 所以的展开式中的项为， 的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 11．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）在的展开式中，______． 给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，易知，则，此时的常数项为； 若选③，令，则， 则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项，易知该项为， 再求展开式中含的项，易知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 12．（2023·24高二下·黑龙江·期中）已知的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值， (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中含的项的系数． 【答案】(1)6 (2)160 (3)6252 【详解】（1）根据题意，， 所以； （2）由（1）二项式展开式的通项公式为 ， 由得，所以展开式中的常数项为； （3）由（1）， 展开式中含项为： 所以展开式中含项的系数为6252. 题型三 三项式问题 13．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【答案】C 【详解】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 14．（2023·24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（    ） A． B．299 C． D．301 【答案】B 【详解】令得， 所以的展开式中所有项的系数和为， 由为个因式相乘， 要得到项，则五个因式中有一个因式取，一个因式取，其余三个因式取，然后相乘而得， 所有的展开式中含的项为， 所以的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为. 故选：B. 15．（2023·24高二下·湖北·期中）（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 【答案】AD 【详解】由题意可知， 多项式展开式的通项为 ， 即， 对于A，令，则，即为各项系数之和，故A正确； 对于B，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B错误； 对于C，常数项中的次数为0，则或或，则 ，故C错误； 对于D，的系数即的系数之和，表示为，故D正确. 故选：AD． 16．（2023·24高二下·山东淄博·期中）展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【详解】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 17．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）展开式中含项的系数是 ． 【答案】800 【详解】因为或， 可知展开式中含项为， 所以展开式中含项的系数是800. 故答案为：800. 18．（2023·24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 故答案为：. 19．（2023·24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则 ， . 【答案】 4 3 【详解】中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得. 对于，易得通项公式为，其中令得，所以常数项为. 在中，取得常数的项情况有两种：选2个，1个，0个；或者选0个，0个，3个. 所以常数项为，解得. 故答案为：4；3. 题型四 展开式和问题 20．（2023·24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 21．（2023·24高二下·江苏徐州·期中）（多选）已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 【答案】AC 【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对. 展开式中第项二项式系数， ，则，∴. 展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错. ， 令，则，令，则， ∴，C对. 展开式中通项公式， 可知奇次幂系数为负，偶次幂系数为正， 所以， 由， 令可得：，又， 所以，错 故选：AC 22．（2023·24高二下·江苏南京·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 23．（2023·24高二下·江苏扬州·期中）已知. (1)求 (2)求 (3) 【答案】(1)； (2)1093； (3)． 【详解】（1）在中，取得，取得①，所以. （2）取得②，①+②得，所以. （3）令 则， 取，得. 24．（2023·24高二下·江苏镇江·期中）（多选）已知，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B错误； 对于C，对给定等式两边求导得， 取，得，C错误； 对于D，取，得，则， 于是，D正确. 故选：AD 题型五 整除问题 25．（2023·24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 26．（2023·24高二下·浙江宁波·期中）若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 27．（2023·24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 28．（2023·24高二下·浙江·期中）（多选）已知，若，则正确的是（    ） A． B． C．除以6所得余数为5 D． 【答案】ACD 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD 29．（2024·25高三上·云南保山·期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 . 【答案】 【详解】由于， 所以， 所以其被9除所得的余数为8，即； 的展开式通项为 ， 则展开式常数项为. 故答案为：8； 30．（2023·24高二下·山东青岛·期中）已知展开式的二项式系数和为64. (1)若，求的值； (2)证明：为正整数. 【答案】(1)64 (2)证明见解析 【详解】（1）因展开式的二项式系数和为，解得，， 在中，取，得； （2） 为整数. 31．（2023·24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则， 即，解得，所以， 展开式中系数最大的项为第6项， 即； （2）因为时， ， 记，显然能被9整除， 所以二项式的值被除的余数为. 题型六 杨辉三角问题 32．（2022·23高二下·山西太原·阶段练习）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 33．（2023·24高二下·山东聊城·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（    ） A． B．第16行所有数字之和为 C．第2024行的第1012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1:3 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为， 第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为， 第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为， 以此类推，第16行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大， 且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为，第个数为，即，故D正确. 故选：ABD. 34．（2024·25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【答案】 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为. 故答案为：90，． 35．（2023·24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【答案】32 【详解】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为： 32 36．（2024·25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 题型七 二项式系数与项的系数最大问题 37．（2024·25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 【答案】 【详解】解：因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 38．（2024·25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【详解】的二项展开式的通项为, 其项的系数为，故当为偶数时，项的系数才有可能最大， 当时，项的系数分别为, 故系数最大的项为, 故答案为： 39．（2023·24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 【答案】/ 【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则， 即，解之得， 求得或6，此时，， 故答案为： 40．（2024·25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 41．（2023·24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知． (1)求； (2)指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】(1)-513 (2) 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 42．（2023·24高二下·江苏南通·期中）在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 【答案】(1)256 (2) (3)3 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 依题意可得，， 所以，则所有偶数项的二项式系数的和为； （2）二项式的各项系数绝对值之和与的各项系数和相等， 所以的各项系数绝对值之和为； （3）由题可得 ， 所以，， 显然要使最大，为奇数时是正值，为偶数时是负值． 令，， ，解得， 所以当时，是展开式中系数的绝对值最大的项，也是系数最大的项， 综上所述展开式中中取最大项时． 43．（2023·24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则 令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得： 故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： $$