精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2025北京陈经纶中学高二4月月考 数学 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. (x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 2. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 在 的展开式中，的系数为（ ） A. -40 B. 40 C. -80 D. 80 4. 函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ） A. e B. C. D. 6. 对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某高中举办2023年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”、“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有4名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少1人参加，则报名的不同方案有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 8. 已知为不相等的正实数，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C. 记第行的第个数为，则 D. 第20行中第8个数与第9个数之比为 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 12. 已知，则＝________． 13. 已知函数，若在区间上单增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b，_______，_______. 14. 根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）． 15. 若存在实数k和m使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“分离直线”．当和之间存在唯一的“分离直线”时，_______；若和之间存在“分离直线”，m的最小值为_______． 三、解答题（共3小题，满分45分） 16. 已知函数，. （1）当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； （2）若没有零点，求的取值范围. 17. 设函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； （3）已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 18. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． （1）求和的值； （2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京陈经纶中学高二4月月考 数学 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. (x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的知识即可求解. 【详解】因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10. 故选:B. 2. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得到答案. 【详解】设四场讲座为， 首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种， 综上共有种. 故选：C 3. 在 的展开式中，的系数为（ ） A. -40 B. 40 C. -80 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】展开式中含的项为：， 所以的系数为. 4. 函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出和时，的零点个数即可得出答案. 【详解】当时，令， 则，解得：（舍去）或， 当时，令，解得：， 所以的零点个数为2. 故选：C. 5. 若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ） A. e B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值. 【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为， 则，解得. 故选：C 6. 对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，对进行分类讨论可知不符合题意；时，，研究的符号可得的单调性及符号，进而可求得在上单调递增的充要条件，即可求解. 【详解】，. 当时，若，则，此时， 在上单调递减，不符合题意； 当时，， 当时，在上恒成立， 在上单调递增，且， 在上恒成立， 在上单调递增，符合题意. 当时，令的解为. 当时，， 在上单调递减，且， 在上恒成立， 在上单调递减，不符合题意. 综上，在上单调递增的充要条件为. 在上单调递增的一个必要不充分条件是. 故选：A. 7. 某高中举办2023年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”、“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有4名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少1人参加，则报名的不同方案有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】由题得必有两人成一组，则总数为种. 【详解】由题4名同学分为3组，每组分别有1，1，2人，共有种， 再排列有种， 故选：B. 8. 已知为不相等的正实数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 9. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【详解】由题，，则， 作出与直线平行的函数的所有切线，如图， 各切线与函数的切点的横坐标依次为， 则在，处的导数都等于， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与比较，就能结合图象得出的正负取值情况，从而可得极值点的情况. 10. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C. 记第行的第个数为，则 D. 第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 已知函数，为的导函数，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据导数的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 12. 已知，则＝________． 【答案】65 【解析】 【分析】根据二项展开式，利用赋值法求解. 【详解】令，则有， 再令，则有， 所以， 故答案为：65. 13. 已知函数，若在区间上单增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b，_______，_______. 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】，求出当时，或，根据题意可知，取，而，即可求出值. 【详解】，令，解得或， 若在区间上单调递增，则，最大值为， 则，不妨取，则， 故答案为：0；.（答案不唯一） 14. 根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）． 【答案】36 【解析】 【分析】先分类：三个地区派遣的人数可以为2,2,1或3,1,1两类，再逐一讨论两类情况的派遣方案的种数，相加即可. 【详解】第一类：派遣到三个地区的人数分别为2,2,1，因为甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，所以从其余3位老师中选2位，有种选法，这样就把5名教师分成了3组，再派遣到3个不同地区有种方法.所以派遣人数为2,2,1的方案有种； 第二类：派遣到三个地区的人数分别为3,1,1，因为甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，所以从其余3位老师中选1位，与甲、乙一组，有种选法，这样就把5名教师分成了3组，再派遣到3个不同地区有种方法.所以派遣人数为3,1,1的方案有种. 所以满足条件的派遣方案种数为：种. 故答案为：36 15. 若存在实数k和m使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“分离直线”．当和之间存在唯一的“分离直线”时，_______；若和之间存在“分离直线”，m的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意设出“分离直线”，转化为恒成立，利用二次函数的性质，分和，三种情况分类讨论，求得分离直线；再令，利用导数求得函数的单调性与极小值，求出；设函数和之间存在“分离直线”为，转化为对任意恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】解：因为函数和的图象在处有公共点， 若和存在“分离直线”，则该直线过公共点， 设“分离直线”的方程为，即， 由恒成立，即恒成立， （i）当时，则在上不恒成立，不符合题意； （ii）当时，令，对称轴为， 所以在上单调递增，且，故不符合题意； （iii）当时，令，对称轴为， 则， 当且仅当时，符合题意，即直线为； 下面证明：， 令，可得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，可得， 即， 所以函数和之间存在唯一的“分离直线”，此时. 设函数和之间存在“分离直线”为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 由恒成立，可得， ①当时，则，符合题意； ②当时，令，对称轴为， 要使对任意恒成立， 只需，即，所以， 再令，对称轴为， 则需，即，所以，解得， 同理可得：，解得，所以的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题（共3小题，满分45分） 16. 已知函数，. （1）当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； （2）若没有零点，求的取值范围. 【答案】（1）①； ②令，， 在区间上，，则在区间上是减函数. 又， 所以在上有唯一零点. 列表得： + - 极大值 所以在上有唯一极大值点. （2） 【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程； ②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点； （2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意. 【小问1详解】 若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ②略 【小问2详解】 ， 令，则. ①若，则，在上是增函数. 因为，， 所以恰有一个零点. 令，得. 代入，得， 解得. 所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为. 当时，，在区间上是减函数； 当时，，在区间上是增函数. 所以. 又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 17. 设函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； （3）已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得恒成立，结合条件，即可证明结果； （3）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证． 【小问1详解】 函数的定义域是，， 又，则，令，解得：，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 因为， 要证曲线在曲线的上方，即证恒成立， 即证，令，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以恒成立，又恒成立，， 所以恒成立，即曲线在曲线的上方. 【小问3详解】 因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 又当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以， 设，，则， 令，，则， 所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以， 则根据不等式的传递性可得，当时， 18. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． （1）求和的值； （2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】（1），； （2） 设数列是取自集合的交错数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列， 所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据交错数列的概念列举出所有情况可得结果. （2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，由此可证明结论. （3）分析可得，累加可得，由此可得结果. 【小问1详解】 当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此； 当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设数列是取自集合的交错数列， 由（2）得，当时，所有交错数列的个数为， 当时，若，则仅有一个交错数列； 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应， 又因为，所以数列的所有交错数列的个数为， 综上所述，． 当时，由累加得， 因为，所以， 由及（1）得， 显然单调递增， 因为， 所以， 所以使得成立的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $