精品解析：2025年辽宁省丹东市凤城市九年级中考一模数学试题

2025年辽宁省丹东市凤城市九年级中考一模数学试题 第一部分 选择题（共30分） （请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在日常生活中，若收入200元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，从上面看这个几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 直线a，b被直线c所截，且，a与c相交于点O，于点O， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 9. 已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b+2a=0；③a-b<m（am+b）（m≠-1）；④ax2+bx+c=0两根分别为-3，1；⑤4a+2b+c>0．其中正确的项有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积（+1）：2，其中正确的结论有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分 非选择题（共90分） （请用0.5mm黑色水性笔将答案写在答题卡对应的位置上） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 实数0，，，1.01001000，，中，无理数有______个． 12. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，若图中阴影部分的面积10，则k为__． 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 先化简，再求代数式的值：，其中． 17. 某校为加强书法教学，了解学生现有书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是________，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分，平均数是________分； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 19. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F． （1）求证：AE为⊙O切线； （2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求线段BG的长． 20. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 21. 某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 23. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． （1）如图（一），探究出，数量关系为 ； （2）如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省丹东市凤城市九年级中考一模数学试题 第一部分 选择题（共30分） （请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在日常生活中，若收入200元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数是具有相反意义的量成为解题的关键． 根据正数和负数是一组具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：若收入200元记作元，则支出300元应记作元． 故选：C． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则可以判断A；根据完全平方公式可以判断B；根据幂的乘方可得判断C；根据二次根式的乘法法则可以判断D． 【详解】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意； B.，故原选项计算错误，不符合题意； C.，故原选项计算错误，不符合题意； D.，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方、二次根式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方、二次根式的乘法的运算法则是解题的关键． 4. 秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升，如图，升体是长方体，手柄近似是圆柱体，从上面看这个几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向观察几何体， 从上面观察圆柱和长方体都会得到长方形，再画出图形即可． 【详解】解：从上面观察圆柱和长方体都会得到长方形， 所以上面看这个几何体的形状是： 故选：B． 5. 如图， 直线a，b被直线c所截，且，a与c相交于点O，于点O， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质， 根据两直线平行线，同位角相等，即可求出，再根据垂直的定义，即可求解， 【详解】解：如图所示： ， 故选：C 6. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作，根据角平分线的性质得出，再由等角对等边得出，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 7. 如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 8. 如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 9. 已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b+2a=0；③a-b<m（am+b）（m≠-1）；④ax2+bx+c=0两根分别为-3，1；⑤4a+2b+c>0．其中正确的项有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】①由抛物线开口向上知: a＞0; 抛物线与y轴的负半轴相交知c＜0; 对称轴在y轴的右侧知:b＞0;所以:abc<0,故①错误; ②对称轴为直线x=-1,，即b=2a, 所以b-2a=0.故②错误; ③由抛物线的性质可知，当x=-1时,y有最小值， 即a-b+c＜（）， 即a﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1）， 故③正确； ④因为抛物线的对称轴为x=1, 且与x轴的一个交点的横坐标为1, 所以另一个交点的横坐标为-3.因此方程ax+bx+c=0的两根分别是1,-3.故④正确； ⑤由图像可得，当x=2时，y＞0， 即: 4a+2b+c＞0， 故⑤正确. 故正确选项有③④⑤， 故选B. 【点睛】本题二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键. 10. 如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积（+1）：2，其中正确的结论有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可； ②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定； ③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可； ④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可. 【详解】∵△BEC为等边三角形 ∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30° ∴在△ABE和△DCE中， AB＝DC ∠ABE＝∠ECD BE＝EC ∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴∠AEB＝∠DEC＝＝75° ∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150° 故①正确 由①知AE＝ED ∴∠EAD＝∠EDA＝15° ∴∠EDF＝45°﹣15°＝30° ∴∠EDF＝∠ABE 由①知∠AEB＝∠DEC， ∴△DEF～△BAE 故②正确 过点F作FM⊥DC交于M，如图 设DM＝x，则FM＝x，DF＝x ∵∠FCD＝30° ∴MC＝x 则在Rt△DBC中，BD＝ ∴BF＝BD﹣DF＝ 则 ∵tan∠ECD＝tan30°＝ ∴tan∠ECD＝ 故③正确 如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得 由③知MC＝，MC＝FG ∴FG＝ ∵BC＝DC＝x ∴BH＝ ∵∠EBC＝60° ∴EH＝ ∴ 故④正确 故选A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质． 第二部分 非选择题（共90分） （请用0.5mm黑色水性笔将答案写在答题卡对应的位置上） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 实数0，，，1.01001000，，中，无理数有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：0，，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 1.01001000是有限小数，属于有理数； 无理数有，，共2个． 故答案为：2． 12. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，若图中阴影部分的面积10，则k为__． 【答案】20 【解析】 【分析】作PE⊥OC于E，EP延长线交AB于F，由题意得到S阴＝OC•PE+AB•PF＝CO•EF＝CO•BC＝S矩形ABCO＝10，进一步得到S矩形ABCO＝20，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝20． 【详解】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F． ∴∠CEP=90° 在矩形OABC中，OC//AB ∴∠PFA=∠CEP=90° ∴PF⊥AB ∵S阴＝OC•PE+AB•PF＝CO•EF=CO•BC ＝S矩形ABCO＝10， ∴S矩形ABCO＝20， ∵B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上 ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k＝20， 故答案为20． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为：， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知：是的角平分线，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 17. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； （1）本次抽取的学生共有________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是________，并把条形统计图补充完整； （2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分，平均数是________分； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1），，补全图见详解 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了从关联的条形统计图和扇形统计图中获取信息，求众数、中位数、平均数，列表或树状图求等可能情形下的概率等； （1）由统计图得等级的人数为人占，即可求出总人数和A所对应扇形的圆心角，并补全图，即可求解； （2）由众数、中位数、平均数的定义进行求解即可； （3）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 理解众数、中位数、平均数的定义，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 等级的人数为人占， 抽取的学生共有(人)， A所对应扇形的圆心角为， 等级的人数为(人)， 补全图，如图， 故答案：，； 【小问2详解】 解：由题意得 等级的人数为(人)， 等级的人数最多，有人， 众数是， 将分数从大到小排列，中间的两个数为第个、个数，均是， 中位数是， ； 故答案：，，； 【小问3详解】 解：列表，如下： 女 女 女 男 女 (女，女) (女，女) (女，男) 女 (女，女) (女，女) (女，男) 女 (女，女) (女，女) (女，男) 男 (男，女) (男，女) (男，女) 共有种等可能结果，抽到1名男生1名女生的结果有种， 被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为： ； 答：被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为． 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 19. 如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求线段BG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1. 【解析】 【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线； （2）设⊙O半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可； （3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE-HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1． 【详解】解：（1）证明：连接OM，如图1， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠OBM=∠CBM， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∴∠CBM=∠OMB， ∴OM∥BC， ∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线， ∴AE⊥BC， ∴OM⊥AE， ∴AE为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线， ∴BE=CE=BC=2， ∵OM∥BE， ∴△AOM∽△ABE， ∴，即，解得r=， 即设⊙O的半径为； （3）解：作OH⊥BE于H，如图， ∵OM⊥EM，ME⊥BE， ∴四边形OHEM为矩形， ∴HE=OM=， ∴BH=BE﹣HE=2﹣=， ∵OH⊥BG， ∴BH=HG=， ∴BG=2BH=1． 20. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2），，或 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 【小问1详解】 ∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴把代入得， ∴， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线上， 联立，解得或， ∴， ∴直线的解析式是， 函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或； 故答案为：，，或； 【小问3详解】 是直角三角形，理由如下： ∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴联立，解得或， ∴，， ∵ ∴顶点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 21. 某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，再列不等式求解的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ，即， ，随的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 22. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【小问1详解】 依题意顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； 故答案为：； 【小问2详解】 不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到 ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，解得：， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过 ∴水流不能到达点处， 【小问3详解】 依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到 ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式 ， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴 ∴ 将点代入得， 解得或， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，对角线所在的直线绕点顺时针方向旋转，旋转中，直线分别交，于点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，其中线段交于点，交于点． （1）如图（一），探究出，的数量关系为 ； （2）如图（二），①证明：； ②在（1）的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①详见解析；②详见解析 （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）通过折叠平行线得出等腰三角形； （2）①识别出和是8字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； 【小问2详解】 证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠 ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$