10.1-10.3二元一次方程（组）讲义2024-2025学年苏科版数学七年级下册

2025年七年级下册春季班 二元一次方程（组） （二元一次方程、二元一次方程组） 01 二元一次方程 定义：①只含有2个未知数；②含有未知数的项的次数为1；③方程是整式方程； 方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解； 二元一次方程组的解有无数个，若加限定条件，则为有限个（例如：整数解）； 典例： 例1：（识别）下列方程是二元一次方程的是 （ ） A. B. C. D.=0 例2：（利用定义求字母的值）(2024·泰州期末)若关于x,y 的方程 是二元一次方程，则 的值等于 。 例3：（回代解求代数式的值）(2024·南通海门区期末)若 ，是方程x-2y=0的解，则: 。 例4：（解的个数）[2023江苏扬州江都区期中]学校计划购买A和 B两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球30元，一个B品牌足球60元.学校准备了300元全部用于购买这两种足球(两种足球都买)，该学校的购买方案共有 种. 例5：（无关问题）(2024·南通如东期末)已知关于x、y 的方程(m一 ，不论m 是怎样的常数，总有一组解为 ，(其中a,b 是常数)，则a 的值为 . 变题： 1、(2023·温州中考)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为 xg，yg，可列出方程为( ). 2、 已知方程 ax-5y=2x+1是关于x,y的二元一次方程，则a满足的条件是 . 3、 (2024·永州月考)若方程 是二元一次方程，则mn 的值为 . 4、(浙江台州温岭中学自主招生)二元一次方程的正整数解的个数是 . 5、已知关于x，y的二元一次方程 其取值如下表，则p的值为 ( ) x m m+2 y n n-3 t 5 p A.17 B. 18 C. 19 D.20 6、(2024·浙江杭州余杭区月考)已知关于x，y 的方程 (其中m，n是常数).若 则 的值是 ；不论m，n取何值，该方程始终成立，则x—y的值是 . 7、 (1)(2024·菏泽期末)若 是方程： 的解，则代数式 的值为 . (2)已知都是关于x，y的二元一次方程y=x+b的解，且 则 . 8、关于x，y的二元一次方程变形为 的形式(a，b是常数，，则其中一对常数a，b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a，b).例如二元一次方程： 变形为 则二元一次方程3x-2y=1的“相伴系数对”为 (1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ; (2)已知 是关于x，y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为(2k，k+3)，写出这个二元一次方程； (3)关于x，y的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值. 02 二元一次方程组 定义：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组； 方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解； 典例： 例1：（根据题意列方程组）如图，直线( 的度数比 的度数大 若设 ，则可得到的方程组为 ( ) 例2：（利用定义求字母的值）方程组 ，是关于x，y的二元一次方程组，则aᵇ的值是 . 例3：（回代解求代数式的值）(2024·宿迁期末)已知 是方程组 的解，则 . 例4：（列表读解）已知关于x，y的二元一次方程：的部分解如表①所示，二元一次方程： 的部分解如表②所示，则关于x，y的二元一次方程组 的解为 . x -1 0 1 2 3 y -4 -3 -2 -1 0 x -1 0 1 2 3 y 5 3 1 -1 -3 ① ② 例5：（错解）(2023·扬州梅岭中学期中)已知关于x，y 的方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 求 的值. 变题： 1、传统文化 《四元玉鉴》(2024·泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个? 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组 根据 已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( ). A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 2、根据下面的问题，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程组(不必求出方程组的解). (1)如图，在长为 15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，求小长方形的长和宽. （2） (2023·遂宁中考改编)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何?其大意是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银各重几两? (3)甲、乙两个人关于年龄有如下对话，甲说：“我是你现在这个年龄时，你是10岁.”乙说：“我是你现在这个年龄时，你是25岁.”求甲、乙的年龄. 3、阅读下面的内容，利用整体思想通过换元的方法来解决问题. 题目：已知方程组 ①的解是求方程组 ②的解. 解：方程组 ②可以变形为方程组 ③ 设 则方程组③可化为 ④ 比较方程组④与方程组①可得 即所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： (1)若方程组 的解是 则方程组 的解为 ； (2)若方程组 的解是 则方 程 组 的 解为 ; (3)若方程组 的解为 求方程组 的解. 03 解二元一次方程组 代入消元法：①用一个未知数表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程；③解一元一次方程，求未知数的值；④回代求另一个未知数的解； 加减消元法：①转化系数，用适当的系数乘方程的两边，使得两个方程中准备消去的未知数的绝对值相等； ②加减消元，将两个方程的两边分别相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解方程，解一元一次方程，求未知数的值； ④回代求另一个未知数的解； 典例： 例1：（代入消元法解方程） 例2：（加减消元法解方程） 例3：（同解问题）已知方程组 和 有相同的解，求 的值. 例4：（换元代换）(2024·泰州靖江期末)已知关于x，y 的方程组 (1)若 求t 的值； (2)设 比较M与N的大小关系并说明理由. 变题： 1、(2023·南通中考改编)若实数x,y,m 满足 ，则代数式x-y的值为( ). A. 3 C. 2 2、(2023·徐州期末)若 且 则a的值为 . 3、若实数m,n满足 0,则 . 4、(2023· 朝阳中考)已知关于 x,y 的方程组 的解满足. 则a 的值为 . 5、新趋势 跨学科融合声音在空气中的传播速度v(米/秒)随温度t(℃)的变化而变化，且at+b.若当t=10 时, 当 时,342. 则当v=324时,t的值为 . 6、阅读下列解方程组的方法，然后回答问题. 解方程组 ①-②,得 即 ③ 得 ④ ②-④,得: ，从而可得 所以原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解题方法解方程组 (2)请写 出 关 于 x,y 的 方 程 组 (a≠b)的解. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$