精品解析：北京市平谷区第五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

平谷五中高二（下）第一次月考数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求交集可得答案. 【详解】因为集合，所以. 故选：A. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以二项式展开式中的常数项为， 故选：D． 3. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 4. 的展开式中，所有二项式系数的和为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得. 【详解】的展开式中所有二项式系数的和为. 故选：B. 5. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为. 故选：C 7. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故选：D. 8. 若，则（ ） A. B. 1 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法结合条件即得. 【详解】因为， 令得，， 令得，， 所以，． 故选：C. 9. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则 ， 所以。 故选：C 10. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间 120 220 160 140 200 用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列方程组，根据方程组解的值，判断正确的说法. 【详解】设每个出口每秒可疏散的人数为（），由题意，可得方程组：，可得：. 因为，所以，所以①正确； 因为，所以，所以②正确； 因为，所以，所以③正确； 因为，所以，所以④错误. 故选：B 第二部分（非选择 共110分） 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上）． 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以，解得或， 故函数定义域为. 故答案为： 12. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】应用偶函数的性质，并求出对数函数值，即可得. 【详解】由偶函数性质有. 故答案为：1 13. 从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得. 【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法， 其中满足两数之积为正数的有种取法， 满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式分别计算比赛三场、四场、五场的概率之和即可求解. 【详解】因为每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为， 比赛一般实行“五局三胜制”， 总共比赛三场，第二次和第三次中国女排都获胜的概率为， 总共比赛四场，第二次和第三次中国女排胜一场、该国女排胜一场，第四场中国女排获胜的概率为， 总共比赛五场，第五场中国队获胜，第二、三、四场中国队胜一场的概率为： ， 所以在中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为： ， 故答案为：. 15. 已知函数为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，偶函数； ③当时，有3个零点； ④当时，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据题意，结合函数解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】因为为偶函数，且当时，， 当时，可得，所以， 对于①中，当时，，令，解得， 如图所示，， 结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确； 对于②中，当时，可得， 令，即，解得或， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得， 即，其中， 所以，所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确； 对于③中，当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得， 当时，令，即，解得或， 若时，函数有三个零点，分别为； 若时，即时，函数有三个零点，分别为； 若时，即时，函数有三个零点，分别为； 综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确； 对于④中，当时，令，即，解得， 将点代入函数，可得，解得， 如图所示，当时，函数，所以④不正确. 故答案为：①③. 三、解答题（共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可； （2）化简集合，根据交集运算结果求解参数. 【小问1详解】 由题知，， ， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 且，， 所以. 17. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可. 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种； 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种； 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 18. 已知函数的图像过原点，且． （1）求实数的值； （2）若，写出的最大值； （3）设，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【小问1详解】 由题意，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. 【小问3详解】 由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示： 由图可知：不等式的解集为. 19. 某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下： 路口 路口一 路口二 路口三 遇到红灯的概率 遇到红灯停留的时间 3分钟 2分钟 1分钟 假设在各路口否遇到红灯相互独立． （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率； （3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）增加 【解析】 【分析】（1）易知这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯，计算可得结果； （2）分别求出遇到不同红灯个数时满足题意的概率，由加法公式即可得出结果； （3）利用期望值定义分别求出红灯时间调整前后红灯停留的总时间平均值，即可得出变化情况是增加的. 【小问1详解】 根据题意可知，这名学生在上学路上没有遇到前两个红灯， 因此到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 【小问2详解】 依题意，若仅遇到一个红灯，停留的总时间不会不大于3分钟； 若遇到两个红灯，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到红灯满足题意， 此时的概率为； 若遇到三个红灯，此时的概率为； 所以因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率为 【小问3详解】 根据题意可知，红灯时间没有调整前红灯停留的总时间的取值； 则，，，， ，， ； 可得； 时间都变为2分钟后因红灯停留的总时间的取值； ，，， ； 可得 显然； 所以调整后总时间的变化情况，是“增加”的． 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在区间到上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）的最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）由图象可得，再结合周期公式可求出，然后将点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的解析式； （2）由求出的范围，再结正弦函数的性质可求出的最值. 【小问1详解】 由图象可得，得， 所以，得， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，得， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以当或时，取得最小值， 当时，取得最大值 21. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）与相互独立 【解析】 【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值； （2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值； （3）利用两个事件相互独立的定义判断即可. 【小问1详解】 样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为． 估计为； 估计为； 估计为； 估计为． 估计的数学期望． 【小问3详解】 估计为； 估计为； 估计为， ，所以与相互独立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平谷五中高二（下）第一次月考数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式中的常数项为（ ） A B. C. D. 3. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，所有二项式系数的和为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 小明投篮3次，每次投中概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. 1 C. 15 D. 16 9. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间 120 220 160 140 200 用表示安全出口的疏散效率（疏散时间越短，疏散效率越高），给出下列四个说法：①；②；③；④．其中，正确说法的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分（非选择 共110分） 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上）． 11. 函数的定义域为__________. 12. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则_______． 13. 从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________． 14. 世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为___________. 15. 已知函数为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，偶函数； ③当时，有3个零点； ④当时，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 18. 已知函数的图像过原点，且． （1）求实数的值； （2）若，写出的最大值； （3）设，直接写出的解集． 19. 某学生在上学路上要经过三个路口，在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下： 路口 路口一 路口二 路口三 遇到红灯的概率 遇到红灯停留的时间 3分钟 2分钟 1分钟 假设在各路口是否遇到红灯相互独立． （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率； （3）假设交管部门根据实际路况，5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟．估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况，是“增加，不变还是减少”．（结论不要求证明） 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在区间到上的最大值和最小值． 21. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 女生 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$