精品解析：辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

八下数学阶段作业调研 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 9. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10 如图，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（　　） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______ 13. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 14. 如图，在中，，AD是的角平分线，，垂足为E，若，则__________． 15. 如图，中，，与的角平分线交于点，交于，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 解不等式： （1）； （2）． 17. 解不等式组： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点，，． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转90°得到． 19. 如图，在中，，D为上一点，，在上截取，连接并延长交于点E． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，求的长． 20. Deepseek公司提供两种数据分析服务包：标准版（A型）和专业版（B型）．销售一个标准版利润为100元，专业版利润为150元．公司计划一次推出两种服务包共100个，由于某些条件限制，其中专业版的推出量不能超过标准版的3倍．设推出标准版服务包个，总利润为元． （1）求关于的函数解析式： （2）如何分配服务包数量才能使总利润最大？总利润最大是多少？ 21. 【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 （1）如图，在中，，，．求证：是“奇异三角形”； （2）已知，等腰是“奇异三角形”，，则底边的长为______． 22. 对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． （1）_______；________． （2）解不等式组； （3）若关于的不等式的最大整数解为，则________． 23. 【提出问题】 （1）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1，线段，将线段向右下方的某个方向平移得到线段（点A的对应点是点C，点B的对应点是点D），连接．点E是的中点，连接．现让同学根据已知背景补充条件，并对相关线段关系或角的关系进行思考探究，然后给出计算或证明过程． 问题思考】 ①“希望小组”给出补充条件为：延长交延长线于点F，可得出． 下面是“希望小组”给出的证明过程： 证明：由平移的性质可知：，， ∴，， 又∵点E是AC的中点， ∴， ∴， ∴． ②“兴趣小组”给出的补充条件为：将绕点E按逆时针方向旋转得到，当点F落到射线上时停止（如图2），最终得出． 请完成“兴趣小组”的证明过程； ③“智慧小组”受到“兴趣小组”的启发，在“兴趣小组”补充的条件基础上，补充：若，当是等边三角形时，可求出的长． 请根据“智慧小组”补充的条件直接写出的长为______ 【问题拓展】 （2）如图3，若，，D是平面内一点，将线段沿方向平移的长度得到线段，连接，点F是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，直接写出线段长的取值范围：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下数学阶段作业调研 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 2. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 3. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 4. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理．等边对等角求出，进而得到即可．掌握等边对等角，30度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故选A． 6. 如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形平移，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移可得，由此即可求解． 【详解】解：将沿方向平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴坐标是，即， 故选：B． 8. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 9. 如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：A． 10. 如图，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（　　） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】C 【解析】 【分析】①△BDC≌△CEB，根据等边对等角得：∠ABC＝∠ACB，由高得：∠BDC＝∠CEB＝90°，所以利用AAS可证明全等； ②△BEO≌△CDO，加上对顶角相等，利用AAS可证明全等； ③△AEO≌△ADO，根据HL可证明全等； ④△ABF≌△ACF，根据SAS可证明全等； ⑤△BOF≌△COF，根据等腰三角形三线合一的性质得：BF＝FC，∠AFB＝∠AFC，利用SAS可证明全等； ⑥△AOB≌△AOC，根据SAS可证明全等； ⑦△ABD≌△ACE，利用AAS可证明全等． 【详解】解：有7对全等三角形： ①△BDC≌△CEB，理由是： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD和CE是两腰上的高， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△BDC和△CEB中， ∴△BDC≌△CEB（AAS）， ∴BE＝DC， ②△BEO≌△CDO，理由是： 在△BEO和△CDO中， ∴△BEO≌△CDO（AAS）， ③△AEO≌△ADO，理由是： 由△BEO≌△CDO得：EO＝DO， 在Rt△AEO和Rt△ADO中， ∴Rt△AEO≌Rt△ADO（HL）， ∴∠EAO＝∠DAO， ④△ABF≌△ACF，理由是： 在△ABF和△ACF中， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ⑤△BOF≌△COF，理由是： ∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAF， ∴BF＝FC，∠AFB＝∠AFC， 在△BOF和△COF中， ∴△BOF≌△COF（SAS）， ⑥△AOB≌△AOC，理由是： 在△AOB和△AOC中， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ⑦△ABD≌△ACE，理由是： 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（AAS）． 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，要书写三角形全等时要按顺序书写，才能做到不重不漏． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的大小为______ 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了旋转、等边对等角、三角形内角和定理等知识．根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： 13. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，则售价是500×元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围． 【详解】解：要保持利润率不低于10%，设可打x折． 则500×-400≥400×10%， 解得x≥8.8． 故答案是：8.8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键． 14. 如图，在中，，AD是的角平分线，，垂足为E，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的性质定理可得DE=CD=5cm，再由等腰直角三角形及勾股定理得BD的长，即可得BC，从而可得AC的长． 【详解】∵， ∴∠B=45°， ∵DE⊥AB，∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=5cm，∠DEB=90°， ∴∠EDB=∠B=45°， ∴BE=DE=5cm， 在Rt△DEB中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质定理，勾股定理等知识，其中角平分线的性质定理是关键． 15. 如图，中，，与的角平分线交于点，交于，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，过作于点，由与的角平分线交于点，，平分，则，，即垂直平分，故有，，又，则，，最后通过等角对等边和勾股定理即可求出． 详解】解：如图，延长交于点，过作于点， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵，平分， ∴，，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，等角对等边，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1即可． 【小问1详解】 解： 解得：， ∴不等式的解集为：； 【小问2详解】 解： 解得：， ∴不等式的解集为：． 17. 解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集； （2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点，，． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转90°得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平移、旋转的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）找到向左平移4个单位长度得到的对应点，顺次连接即可得到； （2）找到绕着原点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， 19. 如图，在中，，D为上一点，，在上截取，连接并延长交于点E． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后结合即可证明； （2）首先求出，得到，然后利用勾股定理求出，然后证明出，得到，，，最后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴（负值舍去） ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. Deepseek公司提供两种数据分析服务包：标准版（A型）和专业版（B型）．销售一个标准版利润为100元，专业版利润为150元．公司计划一次推出两种服务包共100个，由于某些条件限制，其中专业版的推出量不能超过标准版的3倍．设推出标准版服务包个，总利润为元． （1）求关于的函数解析式： （2）如何分配服务包数量才能使总利润最大？总利润最大是多少？ 【答案】（1） （2）当标准版服务包25个时，销售的总利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意，可以写出y关于x的函数表达式； （2）根据专业版的推出量不能超过标准版的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何分配服务包数量，销售的总利润最大，最大利润为多少． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即y关于x的函数表达式是； 【小问2详解】 解：∵专业版的推出量不能超过标准版的3倍， ∴, 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当标准版服务包25个时，销售的总利润最大，最大利润为元． 21. 【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 （1）如图，在中，，，．求证：是“奇异三角形”； （2）已知，等腰是“奇异三角形”，，则底边的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）底边的长为或． 【解析】 【分析】（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”； （2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图，取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是“奇异三角形”； 【小问2详解】 解：分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过B作于E， ∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴中，； 如图，当底边上的中线时，则，且， 设,则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，底边的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 22. 对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． （1）_______；________． （2）解不等式组； （3）若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键． （1）根据题意代入数值计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 故答案： 【小问2详解】 由题意可知可化为 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是 【小问3详解】 由题意可得， 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵整数， ∴或 故答案为：或 23. 【提出问题】 （1）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图1，线段，将线段向右下方的某个方向平移得到线段（点A的对应点是点C，点B的对应点是点D），连接．点E是的中点，连接．现让同学根据已知背景补充条件，并对相关线段关系或角的关系进行思考探究，然后给出计算或证明过程． 【问题思考】 ①“希望小组”给出的补充条件为：延长交延长线于点F，可得出． 下面是“希望小组”给出的证明过程： 证明：由平移的性质可知：，， ∴，， 又∵点E是AC的中点， ∴， ∴， ∴． ②“兴趣小组”给出的补充条件为：将绕点E按逆时针方向旋转得到，当点F落到射线上时停止（如图2），最终得出． 请完成“兴趣小组”的证明过程； ③“智慧小组”受到“兴趣小组”的启发，在“兴趣小组”补充的条件基础上，补充：若，当是等边三角形时，可求出的长． 请根据“智慧小组”补充的条件直接写出的长为______ 【问题拓展】 （2）如图3，若，，D是平面内一点，将线段沿方向平移的长度得到线段，连接，点F是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，直接写出线段长的取值范围：______． 【答案】（1）②见解析；③或；（2） 【解析】 【分析】（1）②延长交延长线于点H，仿照①证明，得到，，结合旋转性质得，进而利用等角对等边可得结论； ③如图2，连接，利用等角对等边和三角形的内角和定理， ，，则，设，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推导出，在中，由勾股定理列方程求得x值，结合已知可得结论； （2）连接交于M，延长、交于点N，连接，取的中点K，连接，，利用折叠性质和三角形的中位线性质可得，则只需求得的取值范围即可；证明得到，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用勾股定理求得，结合三角形的三边关系求得的取值范围即可求解． 【详解】解：（1）②证明：如图2，延长交延长线于点H， 由平移的性质可知：，， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴，， 由旋转性质得， ∴， ∴， ∴； ③如图2，连接， 由②知，， ∴，又， ∴，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，则， 设，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，整理得， 解得，， ∴点F在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，整理得， 解得，， ∴或； （2）连接交于M，延长、交于点N，连接，取的中点K，连接，，， 由折叠性质得，，则， ∴为的中位线， ∴，则只需求得的取值范围即可； 由平移性质得，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，又， ∴， ∴，当A、M、K共线时取等号， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平移性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、利用平方根解方程、折叠性质、三角形的中位线性质、三角形的三边关系等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$