精品解析：天津市咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

高一数学第二学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小照给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义结合复数虚部的概念求解即可. 【详解】，， ，， ，的共轭复数的虚部为，故D正确. 故选： 2. 对于平面向量，，，下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与是单位向量，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断A，C，D，利用平面向量数量积的定义判断B即可. 【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误， 对于B，因为与是单位向量，， 所以，故B正确， 对于C，当时，若，则，故C错误， 对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误. 故选：B 3. 已知点，则与向量同方向单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再求出，最后根据与同方向的单位向量为计算即可. 【详解】因为，， 所以，则， 得到与同方向的单位向量为，故C正确. 故选：C 4. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中， 因为，，所以点E为BC中点，点F在线段DC上，且， 所以， 又因为，且， 所以， 所以，解得，所以。 故选：B. 【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路： 1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算； 2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 5. 若与的数量积为6，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可. 【详解】因为，所以， 即，而， 得到，解得， 因为，所以，故B正确. 故选：B 6. 在中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题意： 在方向上的投影向量为: . 7. 在锐角中，，，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到，找出三角形为锐角三角形的的位置，得到所求范围. 【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系， ，， ， 设 是锐角三角形， ，， 即在如图的线段上（不与，重合）， ， ，. 则， 的范围为. 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题. 8. 如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理将表示成，再根据共线确定，由三点共线，得，对照两式得方程组，消去，推得，最后利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因三点共线，则存在，使， 因，则点为的中点，故， 又点在上，故，解得，故①， 因三点共线，则存在，使得②， 由①，②可得，消去，即得，即， 于是， 当且仅当时，的最小值为. 故选：A. 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若复数在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法运算化简复数后根据几何意义求解． 详解】， 它在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则，． 故答案为：． 11. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 12. 如图：在矩形中，，，垂足为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依据余弦定理解三角形即可求得的长. 【详解】在矩形中，由，可知 从而， . 故答案为： 13. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的夹角为钝角，得出两向量的数量积小于0，且不共线；由此求出的取值范围． 【详解】向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 14. 已知O为△内部一点，且，则△的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】若是中点，连接，易知则共线，根据题设是△外接圆圆心求出、，由 求面积即可. 【详解】若是中点，连接，则，又， ∴，故共线，又， ∴是△外接圆圆心，即，且，则，， ∴. 故答案为： 15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略： （1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若，则，于是有. 三、解答题：本题共5小题，共75解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求； （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． 【小问1详解】 解：因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 解：设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以， 因为，所以． 17. 已知向量. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或（2） 【解析】 【分析】（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程. （2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题. 【详解】（1）法一:设， 则， 所以 解得 所以或 法二:设， 因为，，所以， 因为，所以 解得或， 所以或 （2）因为向量与互相垂直 所以，即 而，，所以， 因此， 解得 【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题. 18. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，再结合三角形内角范围求解角度即可. （2）由余弦定理建立方程，求出，再利用三角形面积公式求解即可 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 则， 由两角和的正弦公式结合诱导公式得， 因为在中，所以，， 得到，解得，则. 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 解得，由三角形面积公式得. 19. 如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点. （1），求的值； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) ,表达出，求出的值，求出； (2)由(1)表达出，求出,,,求出. 【小问1详解】 设， 则， 且， 则，解得，故. 【小问2详解】 易知， 则， ， ， 所以. 20. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学第二学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小照给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 对于平面向量，，，下列叙述正确是（ ） A. 若，则 B. 若与是单位向量，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若与的数量积为6，，则（ ） A B. C. D. 6. 在中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，，，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若复数在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则实数________． 11. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 12. 如图：在矩形中，，，垂足为，则______． 13. 已知，，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 14. 已知O为△内部一点，且，则△的面积为__________ 15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________． 三、解答题：本题共5小题，共75解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 17 已知向量. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 18. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角B大小； （2）若，求的面积. 19. 如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点. （1），求的值； （2）求的余弦值. 20. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$