第八章 空间点、线、面的位置关系（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

空间点、线、面的位置关系 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 2．（2025高一·全国·课后作业）若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 3．（2025高二下·上海金山·期中）已知，，，是空间四点．命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·云南昆明·模拟预测）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（） A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 5．（2025高一·全国·课后作业）如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（    ） A．4条 B．3条 C．5条 D．2条 6．（2025高二上·广西桂林·开学考试）平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2025·江西上饶·二模）设m，n是两条不同的直线，α、ß是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥ß，mα，nß，则m∥n C．若αß=m，nα，n⊥m，则n⊥ß D．若m⊥α，m∥n，nß，则α⊥ß 8．（2025高三上·全国·阶段练习）已知正方体中，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·课后作业）下面是长方体的几条棱，其中符合条件“与直线既不相交也不平行”的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·课后作业）（多选）如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是（    ） A．三个平面两两平行 B．三个平面两两相交，且交于同一条直线 C．三个平面两两相交，且有三条交线 D．两个平面平行，且都与第三个平面相交 11．（2025高一·全国·课后作业）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（    ） A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60° C．EF与MN是异面直线 D．MNCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方体中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面对角线，那么另外三条线段可以是 .(只需写出一种情况即可) 13．（2025高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是 14．（2025高二上·上海浦东新·阶段练习）棱长为2的正四面体的两条对棱的距离为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．    16．（2025高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 17．（2025高一下·江苏南通·阶段练习）如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点． 18． （2025高一·全国·课后作业）已知直线a，b，c，平面α，β满足，，，，，求证：，是异面直线 19．（2025高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间点、线、面的位置关系 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面可判断A；由平面的性质可判断BD；由空间两条直线的位置关系可判断C. 【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B错误； 对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C错误； 对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D正确． 故选：D． 2．（2025高一·全国·课后作业）若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【答案】D 【分析】结合正方体以及空间角的知识确定正确选项. 【详解】在正方体中，如下图所示，则， 如下图所示，则与不平行， 综上所述，D选项符合. 故选：D 3．（2025高二下·上海金山·期中）已知，，，是空间四点．命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：四点不共面，则和异面，所以不相交，但直线和不相交，有可能平行，四点共面,所以是充分不必要． 考点：1．共面问题；2．异面直线 4．（2025·云南昆明·模拟预测）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（） A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 【答案】A 【解析】选项中与位置是平行或直线在平面内，选项中与可能共面或异面，选项中与的位置不确定，选项中与的位置关系不确定． 【详解】对于，直线平面，，则或，正确； 对于，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，错误； 对于，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，错误； 对于，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，错误． 故选：． 【点睛】本题考查了空间直线与平面关系的判定以及直线与直线关系的判定问题，考查了空间想象能力，也考查了几何符号的应用问题． 5．（2025高一·全国·课后作业）如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（    ） A．4条 B．3条 C．5条 D．2条 【答案】A 【分析】过点A的体对角线或体对角线的平行线，都满足题意 【详解】连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等； 过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等. 故这样的直线l可以作4条. 故选：A 6．（2025高二上·广西桂林·开学考试）平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解. 【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行， 如图，，这条线共有个交点， 如图交点分别为， 若要使交点最少可以使过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点， 因为平面内条直线没有四条直线共点，不能过三条线的公共点， 比如不能过图中的， 由于不能过点为了保证交点最少，可以过两条直线的交点， 最少增加个新的交点，如图点， 所以至少有个交点， 故选：C. 7．（2025·江西上饶·二模）设m，n是两条不同的直线，α、ß是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α∥ß，mα，nß，则m∥n C．若αß=m，nα，n⊥m，则n⊥ß D．若m⊥α，m∥n，nß，则α⊥ß 【答案】D 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或异面，A错； 若α∥ß，mα，nß，则可能平行也可能异面，B错； 若αß=m，nα，n⊥m，如果有，则有，如果没有，则与不一定垂直，C错； 若m⊥α，m∥n，则，又nß，则α⊥ß，D正确． 故选：D． 8．（2025高三上·全国·阶段练习）已知正方体中，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段上靠近的三等分点，过点作，且，连接，，故，，则，即异面直线，所成角的为，分别计算长度，由余弦定理，求解即可. 【详解】取线段上靠近的三等分点，过点作，且，连接，，，故；，所以，则即为直线，的所成角；不妨设，则，，，故. 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，解决此类问题的关键在于将异面直线的夹角通过平移转化为共面直线的夹角.属于中档题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·课后作业）下面是长方体的几条棱，其中符合条件“与直线既不相交也不平行”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】画出长方体分析，寻找与直线异面直线即可. 【详解】如图所示， 由题意知与直线既不相交也不平行， 则直线，直线，直线均与直线异面， 而直线与直线平行，所以B不正确， A、C、D正确， 故选：ACD. 10．（2025高一·全国·课后作业）（多选）如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是（    ） A．三个平面两两平行 B．三个平面两两相交，且交于同一条直线 C．三个平面两两相交，且有三条交线 D．两个平面平行，且都与第三个平面相交 【答案】BD 【分析】根据空间中面面间的位置关系，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，三个平面两两平行，可把空间分成4个部分，故A不正确； 对于B，三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分，故B正确； 对于C，三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分，故C不正确； 对于D，两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分，故D正确. 故选：BD. 11．（2025高一·全国·课后作业）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（    ） A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60° C．EF与MN是异面直线 D．MNCD 【答案】AC 【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体,以正方形为底面有 对选项A,因为∥,且有,故A正确. 对选项B,因为∥,所以B错误. 对选项C,由图可得显然正确. 对选项D,,故D错误. 故选：AC. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方体中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面对角线，那么另外三条线段可以是 .(只需写出一种情况即可) 【答案】，，（或 ，，或， ，或，， ） 【解析】结合图形，利用异面直线的概念，把与成异面直线的面对角线写出一条，正方体的棱写出两条即得答案. 【详解】在正方体中，与 成异面直线的面对角线可以是， 正方体的棱可以是，， 与成异面直线的面对角线可以是，正方体的棱可以是， ， 与成异面直线的面对角线可以是，正方体的棱可以是， ， 与成异面直线的面对角线可以是，正方体的棱可以是， ， 故答案为：，，（或 ，，或， ，或，， ） 【点睛】关键点点睛：该题考查的是异面直线的定义以及判断方法，在解题的过程中，关键是要掌握正方体的结果特征，可以结合图形来判断. 13．（2025高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是 【答案】 【分析】利用平移的思想，得出或其补角为异面直线与所成角，结合为正三角形，即可得解． 【详解】解：如图所示，由题可知，四边形和均为正方形，为正三角形， ，， 或其补角为异面直线与所成角， 而为正三角形， ， 即异面直线与所成角的大小是. 故答案为：. 14．（2025高二上·上海浦东新·阶段练习）棱长为2的正四面体的两条对棱的距离为 ． 【答案】 【分析】作出图形，作中点，中点，连接，可证为公垂线，由几何关系可求. 【详解】 如图，作中点，中点，连接，因为四面体为正四面体，故，，所以平面，又平面，所以，又因为，为中点，所以，所以为公垂线，因为正四面体棱长为2，故，，所以. 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．    【答案】证明见解析 【分析】利用三棱柱的几何性质及三角形中位线即可证明，即可得出结论. 【详解】由分别是的中点可知， 是中边的中位线，所以； 在三棱柱中，， 由平行性质的传递性可得； 所以四点共面． 16．（2025高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 17．（2025高一下·江苏南通·阶段练习）如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点． 【答案】证明见解析 【分析】本题首先可根据题意设，则与相交，然后令交点为，根据平面、平面得出点在两平面的交线上，最后根据两平面的交线为即可证得结论. 【详解】因为与不在同一个平面内且不全等， 所以可设，则四边形为梯形，与相交， 令其交点为，则，， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 因为平面与平面的交线为， 所以，、、三线共点. 18．（2025高一·全国·课后作业）已知直线a，b，c，平面α，β满足，，，，，求证：，是异面直线 【答案】证明见解析 【分析】使用反证法，即假设与不是异面直线，则或与相交，证明或与相交都是不可能的，从而证明、是异面直线． 【详解】用反证法：如图 假设与不是异面直线，则或与相交 （1）若．，这与矛盾，假设不成立； （2）若，相交于， ， ， 所以，这与矛盾，假设不成立， 综上，不成立，且与相交不成立， ，是异面直线    19．（2025高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$