教考衔接2 新情境下的数列与数学建模-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

剧场满座时,每场演出的总收入 设$-a-3750,则b-6750. W=200S 。+150(S -S。)+100(So-Sso) '.是等比数列,b-bx1.08-1-6750×1.081. -200×290+150(1470-290)+100(2360-1470 '.a-6750×1.08-1+3750. -324000(元). '.该年年底,该私营企业主有a1。-6750×1.08ll+ 所以剧场满座时,每场演出的总收入为324000元。 3750~19488.6元. [例2] [解析] 依题意,公窝2022年底建成,2023年开 还清银行贷款后纯收入为a12-10000(1+5%)~ 始使用. 8988.6元. (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每 [触类旁通] 年收费总额为1000×800=800000-80万元,扣除18 3.解析 (1)设今年人口为人,则10年后人口为b(1十 万元,可偿还贷款62万元。 4.9%)10~1.05b 依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)?+..十 1年后的住房面积为a×(1+10%)-x-1.1a-x. (1+5%)-1]500(1+5%)1. 2年后的住房面积为(1.1a一x)×(1十10%)-x 化简得62(1.05”-1)>25×1.05“+1. 1.1a-1.1r-x=1.12a-x(1+1.1). ..1.05"1.7343. 3年后的住房面积为(1.12a-1.1x-x)×(1+10%)- 两边取对数整理得n1g 1.7343 0.2391 1g1.050.02211.28. x-1.1a-x(1+1.1+1.12). 取n-12(年). ..... 10年后的住房面积为a×1.11-x(1+1.1+1.12+.. .到2034年底可全部还清贷款 +1.1°)~2.6a-xx1×(1-1.10)~2.6a-16x. (2)设每生每年的最低收费标准为x元,因到2030年底 1-1.1 公寓共使用了8年, 所2.-0-_2#得#~ 1.05 ...+(1+5%)]500(1+5%). 教考衔接2 新情境下的数列与数学建模 =10(1) [典例1] [解析] 设第n层货物的总价为a。万元(n一 -10(18+25×1.05×1.477.4) 1.4774-1 ()”万元. -10×(18+81.2)-992(元). 设数列a.的前n项和为S。,则这堆货物的总价为 故每生每年的最低收费标准为992元 [触类旁通] $.元,易得$=1×()^{+2×()+3×() 2.解析(1)选择在公司A连续工作年,第一年月工资 .n()“1. 3000元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加 ① 300元, 则75-1()}+2×()}+3×()3}+ 则他第n年的月工资为3000十(n-1)×300-300n十 2700(元)(nN); x()" ② 选择在公司B连续工作n年,第一年月工资3720元,以 后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%, ①-②,得s-1+()+()2}+(){③}+. 则他第n年的月工资为 3720×(1+0.05)-1(元)(nN+). (2)若此人选择在一家公司连续工作10年,则在公司 A.公司B得到的报酬分别为 公司A:12×[3000+(3000+1×300)+...+(3000+ -8-(8+n)·(). 9×300)]=12×3000×10+12×300×(1+9)×9 2 所以S.-64-8(8十n)·()” 522000(元). 公司B:12×3720×(1+1.051+1.052+...+1.05*)= 若货物的总价是64-112×(})”万元, 12×3720×1-1.0510 1-1.05 ~535680(元). 则8(8十n)-112,解得n-6. 因为535680一522000,故从公司B得到的报酬较多。 [答案]”()”。 [例3] [解析] 第一个月月底余a1一(1十20%)× 1$00 00-(1+20%)X10000×10%-300-10500元. [典例2] [解析] 对于A选项,a=(1十20%)×10000 设第n个月月底余a,元,第n十1个月月底余a元, -1000-11000,故A错误: 则a+1=a(1+20%)-a(1+20%)x10%-300= 对于B选项,由题意a,-1.2a.-1000,故B正确; 1.08a.-300(n1). 对于C选项,由a+1=1.2a -1000,得a1-5000- 从而有a+1-3750-1.08(a.-3750). 1.2(a.-5000),所以数列(a-5000)是首项为6000. 公比为1.2的等比数列,所以a12-5000-6000× 1 [问题2] [提示] 第二个条件给出了一个递推关系:当 1.211,即a-6000×1.211+5000~49400,所以2023 第块倒下时,相邻的第k十1块也倒下。 年小王的年利润约为49400-10000-39400(元),故 [基础自测] C正确: 1.解析(1)不正确,如证明当n是大于或等于5的正整 对于D选项,两年后,小王手中现款为a24一5000十 数时,2n2,则n。-5. 6 0 00×1.2-3-5000+6000x1.212t1.2l1~404 600.$ (2)也可以用其他方法证明 故D正确.故选BCD (3)有的增加了不止一项. [答案]BCD (4)观察左边的式子可知有n十3项,所以验证”一1时, [典例3] [解析] (1)由题意可得从第4行起的每行第 左边式子应为1+2+22+2. 答案(1)× (2)×(3)× (4)/ 三个数:3-1+2,6-1+2+3,10-1+2+3+4,所以第 (k4)行的第三个数为1十2十...十(一2).在该数列 2.C 当n=l时,左边=l十a十a{},故选C. 3.ABD A中,n-1时,式子-1十k; 中,第37项为第21行第三个数,所以该数列的第37项 19X(19+1)-190.故选C. B中,n-1时,式子-1; 为1+2+..+19- 2 C中.n=1时,式子-1++1 D中,f(十1)=f()十 1 3+2 3k+3 3+4 +1 1000的最小正整数为n,由于a,在图中排在第i行第j 4.解析 当n-及十1时,应将表达式1×4十2×7十..十 列(i,jN.且ji). h(3十1)一k(+1){}中的 更换为 +1. 所以有$-2(3-1)+2(3-1)+..+2(3i-1-1)+ 答案 1×4+2×7+.+(3十1)+(+1)(3+4) $(3-1)-2(3+3+3+.+3i-1)-2( -1)+ (k十1)(十2)2 $3-1)-3-3-2(-1)+2(3-1)-3+2·3- 课堂案·互动探究 -31000. 则6,j二5,即图中从第6行第5列开始,和大于 1000.因为到第6行第5列共有1十2十3十4十5+5 -,等式成立. 20项,所以最小正整数n的值为20.故选C. [答案](1)C(2)C (2)假设当n一k时,等式成立, [典例4] [解析](1)数列“2,4”的一阶和数列为“2,6,4” 1 对应S-12;数列“2,4”的二阶和数列为“2,8,6,10. 4”,对应S一30; 成立。 数列“2,4”的三阶和数列为“2,10,8,14,6,16,10,14,4” 当- +1时,2×4 4×6+6×8 对应S-84. 1 2X(2+2)+(2+2)X(2k+4) 故猜想S,-3S-6. 1 则有S1-3-3(S-3). 1 所以数列(S.一3)是首项为S.一3-9,公比为3的等比 4(+1)4(十1)(十2) 数列,所以S.-3-9·3n-1,即S.-3+1+3. b(+2)士1 (十1)2 (2)由于S-3+1+3. 4(+1)(b+2)4(+1)(+2) 十1 (S.-3)(2n+1) -4(+2)-[(+1)+1] k十1 所以b。log(S.-3)·log(S+1-3) 3“+1(2n+1)3-+2 3+1 所以n一k十1时,等式也成立。 -n+1)(n+2)-n+2n+1' 由(1)(2)可得,对一切nN,等式成立。 [触类旁通] 3= 1.证明(1)当n-1时,左边-1--,右边-,命 3-+23m+13-+2 2 题成立。 所以3*>(m+2)×113. (2)假设当n一k(二1)时命题成立,即 设c-3{-(n+2)×113. .(m1-c-2×3m-113. #14 1。 当n3时,c递减,当n一4时,c递增 又c。0.c0,故m的最小值为7. 那么当n一十1时, *5.5 数学归纳法 课前案·自主学习 # 1 [教材梳理] ++ 导学 1 [问题1] [提示](1)第一块骨牌倒下: (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块 上式表明当n一k十1时命题也成立。 倒下. 由(1)和(2)知,命题对一切正整数均成立。第五章数列。 则an=1000n: 令T2n≥Sn,即600n2+300n≥500n2十 设方案二第n个半年加薪b。, 500n,解得n≥2， 因为每半年加薪300元， 当n=2时等号成立 则bn=300n.… (4分) 所以，如果干3年以上（包括3年）应选择 (1)在该公司千10年(20个半年). 第二个方案：如果只干2年，随便选；如果 方案一：共加薪S1。=a1十a2十…十a1o= 只千1年，当然选择第一个方案. 55000(元)；……(6分) ……………(15分) 方案二：共加薪T0=b1十b2十…十b20= 课常小结 20×300+20X(20-1D×300=63000(元). 知识落实 技法强化 在经济活动中，诸如增长率、降低 (8分) 率，存款复利、分期付款等与年 (2)设在该公司千n年，两种方案共加薪分 (1)等差数列 (月)份有关的实际问题，大多可归 别为Sn=a1+a2+…十an=1000×n+ 模型的应用 结为数列问题，即可以通过建立相 (2)等比数列 n(n-1)×1000=500m2+500m, 应的数列模型来解决.在解应用题 2 模型的应用. 时，判断是否是数列问题，一是看 (11分) (3)递推数列 自变量是否与正整数有关；二是看 模型的应用. T2n=b1十b2+…+b2mn 失分警示卜 是否符合一定的规律，可先从特殊 2m×300+ 2m×(2n-1) 不算几年的加薪 的情形人手，再寻找一般的规律. 直接下结论，扣 2 6分： 300=600n2+300n. (13分) 请完成[课后案」学业评价（十一） 衔接 新情境下的数列与数学建模 一、真题展示 二、真题溯源 (2021·新高考I卷)某校学生在研究民间 (人教B版选择性必修第三册P50习题 剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某 5-4BT5) 条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 假设某企业现在的净利润为200万元，且 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm× 以后每年增长4%.但该企业今年遇到了 12dm,20dm×6dm两种规格的图形，它 资金困难的问题，所以企业管理人提出： 们的面积之和S,=240dm2,对折2次共 如果有投资人现在出资5500万元的话，该 可以得到5dm×12dm,10dm×6dm, 企业将现在和以后每年的净利润都无条 20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积 件划归给投资人.假设该企业可以无限生 之和S,=180dm°，以此类推，则对折4次共 存下去，而银行的年利率为8%，不考虑其 可以得到不同规格图形的种数为 他情况，你是否会同意该企业管理人的提 议？（提示：将该企业未来利润的现值之 如果对折n次，那么S dm2. 和与5500万元进行比较.) 45 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 三、类法探究 类型二实际生活中数列模型的应用 从以上可以看到，基于实际情境下的数列 典例2 (多选)小王2023年1月初向银行 问题在高考中正逐步成为热点，通过实际 免息贷款10000元，用于自己开设的农产 情境，考查学生的应用性和创新性解决情 品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉， 境下的数列问题，常用的解题思路是：审 上市后供不应求，据测算每月获得的利润 题、建立数列模型、研究模型、解决实际问 是该月月初投入资金的20%，每月月底需 题.建立数列模型时需注意分析：问题中有 缴纳房租600元和水电费400元，余款作为 哪些量，这些量之间的关系和规律是什么， 资金全部用于再进货，如此继续.设第n月 是否符合等差、等比数列的定义，它们之间 月底小王手中有现款a,元，则下列论述正 的递推关系是什么等，有时还需要从特殊 确的有（参考数据：1.2≈7.4,1.22≈9） 到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的 数列模型，就可运用数列的通项公式、前n A.a1=12000 项和公式以及相关的性质、方法解决问题 B.an+1=1.2am-1000 类型一数学文化中数列模型的应用 C.2023年小王的年利润约为39400元 典例门“隙积术”是由北 D.两年后，小王手中现款约为404600元 宋数学家沈括在《梦溪 规律方法 笔谈》中创立、南宋数 实际生产生活中的许多问题，诸如：人口增长、 学家杨辉及元代数学 产值增长、分期付款等，都与数列问题紧密相关，解 家朱世杰丰富和发展 决这些问题的关键是弄清题意，分清条件和结论， 的一类数列求和的方法.隙积术研究的对 抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言 象有三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等.某仓 转化成数学语言，建立相应的数列模型，抽象出通 库中部分货物堆放成如图所示的形式：自 项公式或递推关系式，然后利用数列知识解决问题， 上而下，第一层1件，以后每一层比上一层 类型三 数阵或图表中数列模型的应用 多1件，最后一层是n件.已知第一层货物 典例8 (1)杨辉三角是 的价格为1万元/件，从第二层起，每一层 二项式系数在三角形中 2 货物的价格是上一层价格的？，第n层货 的一种几何排列，在中 33 国南宋数学家杨辉 物的总价为 万元.若这堆货物总价 15f10105 1261年所著的《详解九 是64-12×（ 万元，则n= 章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡 规律方法 在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了 对于以数学文化为背景的数列问题，解题时常 393年.如图所示，在杨辉三角中，从1开 常受困于陌生背景，阅读受阻，无法荻得解题思路 始箭头所指的数组成一个“锯齿形”数列： 解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并 1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中，第 分析归纳，从中构建等差数列或等比数列模型，再 37项是 根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答，必 A.153 B.171 要时进行检验 C.190 D.210 46 第五章数列◎ (2)数列{am}中的项按顺序可以排列成如 [自主解答] 图的形式，第一行1项，排1：第二行2项， 从左到右分别排a2,a3;第三行3项，…， 以此类推，设数列{an}的前n项和为Sn,则 满足S,>1000的最小正整数n的值为 4, 4,4×3, 4,4×3,4×3, 4,4×3,4×3,4×33, A.22 B.21 C.20 D.19 规律方法 从数列到数阵或图表，尽管数的排列形式发生 了变化，但问题的本质仍然是数列问题，只要抓住 每行（每列）的首项，找准每行（每列）的变化规律， 从数阵中构造出新数列（等差数列、等比数列、周期 数列等)，那么解决问题的思想和方法仍然不变， 类型四新定义中数列模型的应用 典例4对于任意一个有穷数列，在其每相 邻的两项间都插入这两项的和，将得到的 新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数 列的基础上再在其每相邻的两项间都插入 这两项的和，则可得到二阶和数列，以此类 规律方法 推，可以得到n阶和数列，如数列“2,4”的 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、 一阶和数列是“2,6,4”.设数列“2,4”的n 新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解 阶和数列各项和为S 决问题，数列中新定义问题的解题要求：(1)提取新 (1)试求数列“2,4”的二阶和数列各项和 定义的信息，明确新定义的名称和符号：(2)理解新 S2与三阶和数列各项和S3,并猜想{Sn}的 定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法； 通项公式（无须证明）. (3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提 取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点，数 (Sn-3)(2n+1) (2)设6，=10g,(S.-3)·log(S+1-3)' 列新定义问题的解题思路：(1)若新定义是运算法 么的前m项和为T,若工.>2925，求 则，直接按照运算法则计算即可：(2)若新定义是性 质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延： m的最小值. (3)也可用特殊值排除等方法. 47