第五章 数列 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第五章 数列 [触类旁通] 课堂小结 4.利用数学归纳法证明:x*一*(nN)能 知识落实 技法强化 被x十y整除 应用数学归纳法时注意的问题: 数学归纳(1)第一步中的验证,对于有些问题验证 法的定义的并不是n-1,有时需验证n一2,n-3 (包括证题(2)“假设n一k时命题成立,利用这 步骤) 假设证明n一及十1时命题成立”,这是 应用数学归纳法证明问题的核心环节 请完成1课后案1学业评价(1二) 章末整合提升 1知识网络 +图象法 数列与函 表示 数的关系方法 解析法 数列的 列表法 有关概念 a.与S.的关系 项数 分类 单调性 -定义 通项公式 +a.=a+(n-1d 等差 用 烈 5.-faita)n 前n项 2 和公式 $.=nan(n-1)4 通项公式a=cug一 等比 数列 当=1时,S.=na1 前n项 和公式 当x1时,s.ai(1-) 性质 角度1 观察归纳法 2深化提升 典题] 以下数表的构造思路源于我国南宋 数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中 (一)求数列的通项公式(题点多探多维探究) 的“杨辉三角形” 1 2 3 45... 2017 2018 2019 求数列的通项公式是解决数列问题的核心 2020 3 579 __. 4035 4037 4039 8 12 16 _ 8072 内容,常见的求数列的通项公式的方法有 8076 20 28 . 16148 以下几种: .... 51 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) 该数表由若干数字组成,从第二行起,每一 (二)数列求和 行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中 数列的求和问题是数列中的重点问题,是 最后一行仅有一个数,则这个数为( ) 数列知识的综合体现,也是高考的重要考 A.2021×22015 B.2021×22018 点之一,需要掌握一些简单数列求和的方 C.2020×22019 D.2020×22018 法,并应用数列求和解决一些数列问题,对 角度2 公式法 于数列的求和问题,一般是先观察数列的 典题② 已知数列(a.)中,a=-1,a1·a. 特点和规律,如果通项公式能够求出,可先 -al-a.,则数列通项a.= 求出通项公式,再通过观察通项的特点选 角度3 由S.求an 择使用哪种求和方法, 典题已知数列(a.)的前n项和S.=n^2十 典题(2024·湖北武汉高二期中)已知等 2n+1(nN),则a.= 差数列a.的前n项和为S。,且S一4S。, 角度4 累加法 a-2a.+1(nN) 典题 (2024·山东淮坊高二期中)在数列 (1)求数列a。的通项公式; (a)中,a;-2-da1-a.+1n(1+-)则通 (2)设b=(-1)”.+1 a1 一,求数列(的 项公式a.一 前n项和T 角度5 累乘法 [自主解答] 典题(2024·辽宁葫芦岛高二期末)在数 列(a中,a=4,na=(n+2)a。,则数列 a.)的通项公式为a.三 (nEN.) 角度6 构造法 典题已知数列(a)满足a=3a.+2(n N),a.一1,求通项公式. [自主解答] (三)数列中的数学思维(题点多探多维探究) 角度1 转化与化归思想 等差数列、等比数列的计算,一般先求a. 公差d或公比q;遇到a.与S.的关系时, 可以利用a.-S.-S.(n2)都转化为 a.或S。,再转化为等差数列或等比数列, 利用等差数列或等比数列的通项公式求 解,其中合理的转化是解题的关键 52 第五章 数列 典题③ 设数列a.的首项a.=1,前n项和 (1)求数列a。 和b的通项公式 S.满足关系式:3tS.-(2t+3)S-=3t (2)设C。二 b.,n为奇数, a.,n为偶数, 求数列c的前 (>0,n-2,3,4...). (1)求证:数列是等比数列; n项和P。; banN,数列(d。) (2)设数列a.的公比为f(t),作数列6), (3)设d.一 -b2a+1b2+3 数列6的通项6.; (3)求和:bb-bb+b-bb+..+ [自主解答] #b2n-162.-b2.b2+1. [自主解答 3思维辨析 用错位相减法时弄错等比数列项数 [典例]已知数列(a.)满足a。=2a+2” 角度2 分类讨论思想 -1(nN.,n2)且a=5. 数列中某些问题往往需利用分类讨论思想 (1)求a。,a。的值. 来解决,如等比数列的前”项和公式中,若 {a十 (2)若数列 {{2 为等差数列,请求出实 公比q的取值未知,则需要对q三1与q关l 分类求解;由S.求a。时应分n一1和n2 数. 两种情况讨论;某些数列的前”项和也需 (3)求数列a.的通项公式及前n项 要讨论,通过分类讨论可以将复杂问题简 和S 单化,解题时要注意分类讨论标准的确定, [解析] (1)因为a-2a-+2-1,a=5 做到不重不漏 所以a-2a+2}-1→a =13, 典题已知等比数列a。的各项均为正 a-2a。+2-1→a-33. 数,2a,a,4a。成等差数列,且满足a= 。十 (2)因为 12 为等差数列, 4a^{},数列(b.)的前n项和s.-(n+1), b, 所以十_十 nN,且6-1. 2 53 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) 5+33+13+a $,-52-53--1. [审题指导] 第一步:求解通项“程序化” 2 8 2 第(1)问中给出的条件a,十3a。十..·十 a.-1a--1 检验:当x--1时,{ (2n-1)a。一2u,相当于是给出了数列的前 2” n项和S。,属常见题型,按照“n二2,n-1 所以 验证”的步骤程序化求解即可, 第二步:根据类型“选方法” 即一一1时,满足条件. 第(2)问中要由第(1)问求出的通项a.,得 (3)-1 a。-1 -1-1 +(n-1)×1-n+1. 2 的方法. 2_ [规范解答] 所以a.=(n+1)2”+1, (1)因为a十3a十..十 (2n-1)a.-2n. ① 令T=2×2+3×2{+...+(n+1)×2”, 故当n2时,a.+3a。+..+(2n-3)a-1 ① -2(n-1). ② $T.-2×2^2}+3×23+..+(n+1)×2+. ①-②得(2n-1)a.-2. 所以a-2n-1' ①-②得 2 ..................... (6分) -T-4+2+2+.+2-(n+1)×2”1 又n-1时,a-2适合上 一-1阅卷提醒- --n2+1. 式...........分). 1未验证n=1扣2分. 所以T.-n·2“+1. 从而a。的通项公式为 所以S.=n·2“1十n. 2 _一 2n-1 ...........................分) [纠错心得] 求等比数列的多项和时,可用公 (2)记 {a 21 的前n项和为S。, 是指等比数列全部项的和,a.是等比数列的最后 由(1)知。 2n+1(2n-1)(2n+1) 。 一项,并不一定是第n项. 4规范答题 ___ ................分) 2n-12n+1' 数列的续合应用 则$.#-(1-)+(#)# --1阅卷提醒-- [典例] (15分)设数列a.)满足a+3a。十 未整理出最后 +() 结论扣2分. ...+(2n-1)a.-2n. (1)求a的通项公式; 2-1 2. {) 27 -1- ..............(5分) (2)求数列 2 {的前n项和. 提示:[章末达标检测]请完成检测卷(一) 54@ [例2][证明]①当n=1时，左边=>2 111 [例4]解析]证法一(1)当n=1时， f(1)=3×53+2=17×23,能被17整除，命题成立. =1时成立 (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时， ②假设当n=k(k≥1)时成立，即 f(k)=3X52+1+23+1能被17整除. 点+中2+中+叶中 1 1、11 则当n=k十1时， f(k十1)=3×52+3+234+4 1 那么当n=十1时，左边=十2十十3十十k十k =52×3×52+1+23×23+1 =25×3×524+1+8×23+1 1 1 k+1+及十k+1+k+万一k市十k十2+十3+…十 =17X3X52h+1+8×(3X526+1+28k+1) 中++中十中十中中>费+中 1 =17×3×524+1+8×f(k). 由归纳假设知，f(k)能被17整除，又17×3×52+1也能 1、11 被17整除，所以∫(k+1)能被17整除. 2k+224 由(1)和(2)可知，对任意n∈N+,f(n)都能被17整除. =k十1时也成立】 证法二(1)同证法一. 根据①②可得不等式对所有的nEN+都成立， (2)假设n=k(k≥1，k∈N+)时， [触类旁通] f(k)=3×52+1+2趾+1能被17整除， 2.证明)当n=2时，左式=是=， 则当n=k+1时，f(k+1)=3X52+3+23+4 224· =25×3×524+1+8×23+1 右地=1一周为}，所以不等式成立 =25(3×52k+1+28+1)-25×23张+1+8×23张+1 =25(3×52%+1+23+1)-17×23k+1 (2)假设n=k(k≥2，k∈N4)时，不等式成立。 =25×f(k)-17×23+1 由归钠假设知，f(k)能被17整除，又17X23+1也能被 17整除，所以f(k十1)能被17整除。 则当n=k十1时， 由(1)和(2)可知，对任意n∈N+,∫(n)都能被17整除. 1 1 +京++1)<1-太+k+1 「母题变式 证明(1)n=1时，f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能 =1-k+1)2一k=1-+十 1-(k+1) 被36整徐. k(k+1)2 k(k+1)2 k(k+1) (2)假设n=k(k≥1，k∈N+)时， 1 =1一k十1 f(k)=(2k+7)·3+9能被36整除， 当n=k十1时， 所以当n=k十1时，不等式也成立 综上所述，对任意≥2的正整数，不等式都成立 f(k+1)=[2(k+1)+7]·3+1+9 [例3][证明](1)n=4时，四棱柱有2个过侧棱的对 =3[(2k+7)·3*+9]+18(3-1-1) =3f(k)+18(3-1-1), 角面，号×4X4-3)=2命题成立， ,f(k)能被36签除，而3-1一1是偶敏. (2)假设n=k(k≥4，k∈N+)时成立，k棱柱的过侧棱的 ∴.18(3-1-1)能被36整除. .f(k十1)能被36整除. 对角面有f(k)=k,3》(个). 2 由(1)(2)知，对n∈N+,f(n)能被36整除. 当n=k十1时，第(k十1)条棱Ak+1B+1与其余和它不 [触类旁通] 相邻的(k一2)条棱分别增加了对角面(k一2)个，而面 4.证明(1)当n=1时，x2一y2=(x十y)(x一y),能被 A1B1BAE变成了对角面，因此对角面个数： x十y整除，所以命题成立 f0k+1D=f0k)+(k-2)+1=k23》+k-1 (2)假设当n=k(k∈N+)时命题成立，即x2一y2能被 2 T十y整除 -2-3k+2k-2_(k-2)(k+1) 那么，当n=k十1时，x2+1》一y2(+1)=x2·x2h-y2· 2 2 y2k-x2·y24+x2·y2=x2(x20-y2)+y2(x2-y2). (k+1)[(k+1)-3] 因为x2一y2与x2一y2都能被x十y整除，所以 2 x2(+1)一y2+D能被x十y整除，即当n=k+1时命题 ∴n=十1时，命题也成立. 也成立. 由(1)(2)知，命题对n≥4，n∈N+都成立. 根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N+都成立. [触类旁通] 章末整合提升 3.证明(1)当n=3时，三角形的内角和为(3一2)×180° [深化提升 =180°，命题显然成立. [典题1][解析]由题意知，数表中的每一行都是等差 (2)假设当n=k(k≥3，k∈N,)时命题成立，即凸k边形 数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差 的内角和为(k一2)×180°，则当1=k十1时，由于由n= 为4，…第2019行公差为22018.第一行的第一个数 k到n=k十1，凸多边形增加了一条边，则其内角和增加 为2×2-1，第二行的第一个数为3×2”，第三行的第一 了180°，所以凸(k+1)边形的内角和为(k一2)×180°+ 个数为4×2，…第n行的第一个数为(n十1)×2”-2 180°=(k-2+1)×180°=[(k+1)-2]×180°，所以n 易知第2020行只有一个数M,则M=(1十2020)× k十1时，命题成立. 22018=2021X22018. 综合(1)(2)可知，命题对n≥3,1∈N+都成主. [答案]B 18 [典题2][解析]由am+1·an=an+1一am→1三 1 [典题7][解析](1)设等差数列{an}的首项为a1,公 差为d. 1 1 1=-1. 因为S4=4S2a2m=2am+1(n∈N+): an+l ant1 an 所以能羽信}是青项为- 所以 4a1+6d=4(2a1+d). a1+(2m-1)d=2[41+(n-1)d]+1, 公差为-1的等差数列，1=一1十(m-1D×(-1D=一， d=2a1,所以a1=1,d=2, 化简得a=a十： 所以a,=-(n∈N+). 所以数列{an}的通项公式为an=2-1: n 2)h,=(-100·=(-1)·(2m-1)(2n+D 2n dndn+1 [答案] L(n∈N+) 17 [典题3][解析]依题意得，当≥2时，am=Sw一S,-1 整理得=(-…安[十]： =2n十1： 所以工=十+…+6=[-(1+号)十 当n=1时，a1=S1=4≠2×1+1. 因此an一 4,n=1, (信+号）-（传+号）++(-r(品+】 2n+1,n≥2. 4,n=1, -号[-1+(-102] 2n+1 [答案] 2n十1，n≥2 整理得T,=+ [典题幻[解析]“a+1=a,+lhn(1+）, [典题8][解析](1)证明 a1=S1=1,52=1+a2, ∴ae-au=ln(1+}）=ln2 ag=3+24.02-3+24 31a13t as-ag=h(1+2）=ln是 3 又31Sm-(21+3)Sm-1=31,① ∴.31Sw-1-(21+3)5m-2=31(n≥3)，② a4-ag=ln(1+号）=ln专 ①-②，得3tan-(21+3)am-1=0, m=21+3(m=2,3,…. dn-1 3t a-a-1=l(1+)-lhn>10. :教列{口，是首项为1公比为+3的等比数列。 31 以上(n一1)个等式相加，得 a.-a1=ln2+ln号++lnn-inam>l》. 2自0-空-号+得=公）号 “数列亿，是首项为1，公差为号的等差数列。 a1=2,∴.an=2+lnn(n>1). 检验：当n=1时，a1=2+ln1=2也成立。 6,=1+号a-D=20 3 所以，数列(am}的通项公式an=2十lnn. [答案]2+lnn (3)由b,=2n十中，可知bm-i}和be是首项分别为1 3 [典题5][解析]因为am+1=(n十2)am, 所以4mt=n十2 和号，公差均为号的等差数列， n 于是b1b2-b2b3十bsb4-b1b店+…+b2u-1b2m一b2nb2n+1 所以2=3,=4，4=5, =b2(b1-bg)+b4(b3-b5)+bs(bs-)+·+ a了'a22'a=3 am-2n-2' b2m(b2m-1-b2+1)= 音h+6十…+) am-n十1 aw-1n-11 音×x(停+）-音2+3m [典题9][解析](1)设等比数列{an}的公比为g. al az as 因为4m>0,所以q>0. 因为2a5,a4,4a6成等差数列，且满足a4=4a, 所以41=n(n十1) 则2a=2a+a6'即 /22+9-1=0, 2 a=4a3 1=4a14r 因为a1=4,所以am=2n(n十1)，a1=4符号该式. 1 [答案]2n(n+1) 解得 q2' 所以a,=(合）八 [典题6][解析]先令am+1十入=3(am十入)，与原式比 1 a1=2 较，得出入，然后由{an十入}是等比数列即可得解.」 于是令am+1十1=3(an+入)，得am+1=3an十2a, 当≥2时6=551="-号 A=1,∴.{am十1}是等比数列，其中首项为a1十1=2， 公比为3. -1 ,所以数列了 是首项为1的常数列 b一1. am+1=2·3m-1,∴.aw-2·3m-1-1. 所以bn二i. 19 @ n,n为奇效， 当n为奇数时， (2)由(1)可得cm (侵)广n为 Pn=Pn+l-an+1 a++专-专×（合） 4 当n为偶数时， Pm=(b1十bg十…十bm-1)+(a2十a4十…十an) 4 3- 2n+5 =[1+3+…+(m- +[()》‘+(号）广'++（合）门 (3)证明 因为d,=2w十t2n+3× -()门 (2n十1)2-1 (21+3)2m 21+m-1)+ 所以T,= 1 1 14 3 5×25X27X22+…+ (2n十1)2-可 1 (2n+3)2 第六章 导数及其应用 6.1导数 3解析△y=f1+△x)-f(1) 6.1.1函数的平均变化率 =/1+△x-1= △x 1+△x+1' 课前案·自主学习 [教材梳理] .Ay= △x√/I+△x+1 导学1 1 [问题1][提示]自变量x的改变量为x2一x1,记作 答案 /1+△r+1 △，函数值的改变量为y2一y,记作△y 4解析由图形知，所求平均变化率为： [问题提示利对收A8来说是-器可以近 14.25-11.25=0.25(kg月). 24-12 似地刻画。 答案0.25 [问题】[提示]国为表示A,B两点所在直线的针 课堂案·互动探究 率，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡.这 [例1][解析]：△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)2一 就是说，竖直位移与水平位移之比y越大，山路越徒， 12=Ax2+2Ax. △x Ay-42+24z =△x+2. 反之，山路越缓 △x △x ⊙结论形成 1.(1)x2-x1 △y=y2-边△f_f（.x2)-f(x1) 0D音dr=2时公是-r+2= △xx2一x1 △x E2一x1 2.斜率 （2)当Ar=1时是=a+2=3: 3.以直代曲 导学2 （3当4r=0.1时4+2=21 [问题1][提示] 0=h(0.5)-h(0) =4.05(ms). （4)当△x=0.01时，=4+2=2.01. 0.5-0 0-h(2）-4①=-8.2m/s. [母题变式] [问题2]提示] 2-1 1.解析当△r越来越小时，函数f(.x)在区间[1,1十△] ○结论形成 上的平均变化率逐渐变小，并接近于2 h(t2)-h(t) 2.解析自变量x从1变到2时，函效f(x)的平均变化 1 12-t1 2.平均变化率 率为2)-f1) 2+号-1+D 1 2-1 2 [基础自测] 1.解析(1)因为规定闭区间[x1,x2]x1≠x2,故△x不 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 等于0. (2)因变量的改变量△y可以等于0，也可以小于0 f(5)-f(3) 6+号-(3+) 14 5-3 2 15 (3)函数的平均支化率上可以为0， △x 周为号<错所以画数f)=十子在自变要x从3 (4)函数在一个区间的平均变化率等于这个区间端点对 变到5时函数值变化得较快. 应的函数图象上两点连线的斜率， [触类旁通] 答案(1)√(2)×(3)×(4)/ 2.Bx=2,Ax=0.1, 1.A函数f(x)在[0,3]上的平均变化率是f3)0四 3-0 ∴.△y=f(x+△x)-f(x)=f(2.1)-f(2) -25-（-1D-26 =(2.12+1)-(22+1)=0.41. 3 20