6.3 利用导数解决实际问题-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第六章 导数及其应用。 6.3 利用导数解决实际问题 学业标准 素养目标 1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实1.通过导数的实际应用的学习，培养数学建模核 际问题中的作用.（重点） 心素养 2.能利用导数求出某些实际问题的最大值或最小值.2.通过利用导数解决最优化问题，提升逻辑推理、 (难点、易混点) 数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (3)在解决实际优化问题时，若函数在其定 义域的开区间内只有一个极值点，则极值 导学 利用导数解决实际应用问题 点就是最值点 () 1.最优化问题 (4)求解实际优化问题时，必须考虑变量的 实际意义，从而确定其取值范围.() 利润最大 2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元) 与年产量x(单位：万件)的函数关系式为 料 生活巾的 效率 最省 最优化问题 最高 y= 名女+81x一234，侧使该生产厂家获 2.求实际问题的最值的主要步骤 取最大年利润的年产量为 (1)建立实际问题的数学模型，写出实际问 A.13万件 B.11万件 题中变量之间的函数关系y=f(x) C.9万件 D.7万件 (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0, 3.做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所 求出 用材料最省时，它的高为 ( (3)比较函数在 和在 的 A.6m B.8 m C.4m D.2 m 取值大小，确定其最大（小）者为最大 4.一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四 (小)值 个角上截去四个相同的小正方形，制作成 一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为 基础自测 多少时，盒子的体积最大？ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与 时间x(单位：s)的函数关系为y=f(x), 那么f(2)=1的实际意义为当x=2s 时，水流的瞬时速度为1m3fs.也就是说 如果保持这一速度，每经过1、水管中流 过的水量为1m3. () (2)生活中的实际优化问题必须利用导数 解决。 ( 87 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一利润最大（成本最低）问题 [触类旁通] 例某商场销售某种商品的经验表明，该 1.(2024·黑龙江绥化高二月考)消毒液已成 商品每日的销售量y(单位：千克)与销售 为生活必需品，日常的消费需求巨大.某商 价格x(单位：元/千克)满足关系式y= 店销售一款酒精消毒液，每件的成本为 ,”g+10x-6,其中3<<6，a为常 4元，销售人员经调查发现，该款消毒液的 日销售量y(单位：件)与销售价格x(单 数.已知销售价格为5元/千克时，每日可 位：元/件)满足关系式y=一x2+14.x一36 售出该商品11千克. (5≤x≤10，x∈N+). (1)求a的值： (1)求该款消毒液的日利润与销售价格 (2)若该商品的成本为3元千克，试确定： x间的函数关系式； 销售价格x的值，使商场每日销售该商品 (2)求当该款消毒液每件售价为多少元时， 所获得的利润最大 每日销售该款消毒液所获得的利润最大， [自主解答] 并求出日最大利润. 规律方法 利润问题是经济生活中最为常见的问题，一般 来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等 于（正品）产量乘以价格.由此可以得到利润L与 产量的函数关系式，进而用导数求最大利润 另外，如果依据条件所确定的函数关系中含有 参数，在解决时，一定要根据情况确定分类标准，对 参数进行讨论，做到不重不漏】 88 第六章导数及其应用。 题型二用料最省、费用最低问题 [触类旁通 例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能 2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间 层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热 的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费 层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元. 用为256万元，距离为x米的相邻两墩之 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万 间的桥面工程费用为(2十√x)x万元.假 元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系： 设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且 C)=3车写0<<10)，若不建隔热层， 不考虑其他因素.记余下工程的费用为 每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔 y万元， 热层建造费用与20年的能源消耗费用 (1)试写出y关于x的函数关系式： 之和. (2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才 (1)求k的值及f(x)的表达式： 能使y最小？ (2)隔热层修建多厚时，总费用∫(x)达到 最小，并求出最小值. [自主解答] 题型三面积、体积的最值问题（一题多变） 规律方法 例3请你设计一个包装盒，如图，ABCD是 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的 边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影 问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及 部分所示的四个全等的等腰直角三角形， 最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准 确求导，结合实际做答. 再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重 (2)利用导数的方法解决实际问题.当在定义区问 合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱 内只有一个点使广(x)=0时，如果函数在这点有 形状的包装盒，E,F在AB上，是被切去的 极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在 一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 这个点取得最大（小）值 AE=FB=x(cm). 89 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [素养聚焦]本题通过利用导数解决实际问题中 的最值问题，提升数学建模和数学运算核心素养. 60 规律方法 解决与面积、体积的最值有关的问题，关键是 正确引入变量，将面积或体积表示为该变量的函 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最 数，结合具体问题确定其定义域，然后利用导数求 大，试问x应取何值？ 其最值. [自主解答] [触类旁通 3.(2024·河北邢台高二月考)如图，某长方 体石膏的底面周长为8分米，高是长的两 倍（底面矩形的长大于宽），则该长方体石 膏体积的最大值为 A.16立方分米 B.18立方分米 [母题变式] (变结论)在本例条件不变的情况下，广告 512立方分米 c. 商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问x 5立方分米 D. 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值 课堂小结 知识落实 技法强化 在生活中，经常利用导数解决实际问题时的注意 会遇到花费最事项： 少、用料最省、(1)在求实际问题的最大（小）值 利润最大等最时，一定要注意考虑实际问题的意 优化问题，解决义，不符合实际意义的值应舍去 这些问题可通(2)在解决实际问题时，不仅要注 过构建函数模意将问题中涉及的变量关系用函 型，利用导数来数式表示，还应确定函数关系式 解决。 中自变量的取值范围. 温碧 提示 请完成【课后案」学业评价（：卜) 90又f)在区间瑞点的取值为f(受）--受， [触类旁通] 2.Bf(x)=3x2-3a, f(一受）=受，此较以上通数值可得f代)mx=受 2 令f(.x)=0,可得a=x2, 又x∈(0,1)，.0<a<1,故选B. [例3][解析](1)因为f(1)=1,所以m=1, [触类旁通] 则f(.x)=(x-1)3+1=x3-3.x2+3x, 1.解析(1)f(x)=a.x3+bx,(x)=3a.x2+b. 而广(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立， ,函数f(x)=a.x3十bx在r=1处取得极值4， 所以函数f(.x)的单调递增区间为（一∞，十∞）. .f(1)=a+b=4,f(1)=3a+b=0, (2)不等式f(x)≥x3-1在区间[1,2]上恒成立，即不等 解得a=一2，b=6, 式3.x2-3x一m≤0在区间[1,2]上恒成立， .f(x)=一2x3+6.x,经验证在x=1处取得极大值4， 即不等式m≥3x2-3x在区间[1,2]上恒成立， 故a=-2,b=6. 即m不小于3.x2-3.x在区间[1,2]上的最大值. (2)由(1)可知，f(x)=-2x3+6x,f(x)=-6x2+6, 令f(x)>0,解得-1<x<1,令f(x)<0, 周为xe[1.2]时82-3r=3(e-7）广-∈0,61， 解得x>1或x<-1, 所以m的取值范围是[6，十∞). 因此f(x)在[一2，-1)上单调递减，在（一1,1）上单调 [触类旁通] 递增，在(1,3]上单调递减， 3.解析(1)了(x)=3x2+2ax+b, 所以函数∫(x)在x=一1处取得极小值，极小值为 :函数f(x)=x3十ax2+bx十c在x=-1和x=3处 f(-1)=-4: 取得极值， 在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=4, ∴.(3)=27+6a+b=0,f(-1)=3-2a+b=0, 且f(-2)=4,f3)=-36, 联立解得a=-3,b=一9. 经比较，函数f(x)在区间[一2,3]上的最小值是一36， ∴f(x)=3x2-6.x-9=3(x-3)(x+1), 最大值是4. 令f(x)=0,解得x=3或x=-1, [例2][解析]f(x)=3x2-2a.x-a2=(3x+a)(x-a), x∈(-o∞，-1)时，f(x)>0,函数f(.x)单调递增： 令f)=0,得=-号2=a x∈（一1,3）时，f(x)<0,函数f(x)单调递减： x∈(3，十∞)时，f(.x)>0,函数f(.x)单调递增， ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a,十∞)上 故x=一1和x=3是f(x)的极值点， 单调递增.所以f(x)min=f(a)=一a3. 故函数f(x)的单调递增区间为（一0，一1），(3，十o∞)： ②当a=0时，f(.x)=3.x2≥0，f(x)在[0，十∞)上单调 函数f(x)的单调递减区间为（一1,3）. 递增，所以f(x)mn=f(0)=0. (2)由(1)知f(x)=x3-3.x2-9x+c在(1,3)上单调递 ③当a<0时，f(x)在[0，-号）上单调递减，在 :: 减，在(3,5)单调递增， 要使得对任意x∈[1,5]，不等式f(x)<2恒成立，则 [-号十四)上单调运增， 需f(1)<c2且f(5)<c2, 故f(1)=-11+c<c2且f(5)=5+c<2, 所以f)am=f(-号）-=知3. 解得>1+四，成<团 综上所述，当a>0时，f(x)min=一a3 2 5 当a=0时，fx)mim=0:当a<0时，fx)m=27a3 e的取值范周是(-o,y四)U(+y+）月 [母题变式] 6.3 利用导数解决实际问题 L.解析由解析知，当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减， 在[a,十o∞)上单调递增， 课前案·自主学习 所以当0<a<4时，f(x)un=f(a)=-a3. [教材梳理] 当a≥4时，f(x)mim=f(4)=64-16a-4a2 导学 2.解析f(x)=(3x+a)(x-a)(a>0). 2.(2)极值点(3)区间端点极值点 [基础自测] 令f)=0,得=-号<=a 1.(1)/(2)×(3)/(4)√ 所以八)在[-a,一号]上单调运增，在(-号…)上 2.Cy=-x2+81, .当x>9时，y<0,当x∈(0,9)时，y>0 单调递减，在[a,2a]上单调递增. 1 所以f-a)=-af(-号）-易eja)=-a, ÷画数y=-32+81r-234在(0.9)上递增，在 (9,十∞)上递减.故当x=9时，y有最大值. f(2a)=2a3. 3.C设底面边长为xm,高为hm,则有xh=256,所以 所以f(x）mmx-f（2a)-2a3. f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3. h=256.所用材料的面积设为Sm2, 29 @ 则有S=4r·h+x2=4r.256+x2=256X4+x2, [例2]解析](1)由C(0)=8,得k=40,因此C(x)= x 40 S=2x-256X4,令S=0,得x=8, 3x十5而建造费用为G(r)=6 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 国先人一-40m f=20c+G()=20X05+6r=3025+6 40 4.解析设小正方形的边长为xcm,则盒子的底面长为 (0≤x≤10). (8-2x)cm,宽为(5-2.x)cm,V=(8-2x)(5-2.x)x= (2)f(x)=6 42-26r2+40r(0<r<号）， (3+5)2,令f(x)=0, 2400 即2400 V'=12x2-52.x+40=(12x-40)(x-1), 23=6,解得=5或x=-(合去. 令V=0,有r=1或x=10(含). 当0≤x<5时，f(x)<0,当5<x≤10时，f(x)>0, 3 故x=5是f(x)的最小值，点，对应的最小值为 易知Vmax=V(1)=18. ∴小正方形边长为1cm时，盒子容积最大 6)=6X5+82=70. 课堂案·互动探究 所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元 [例1][解析]1)因为当x=5时，y=11, [触类旁通] 2.解析(1)设需要断建n个桥墩，(n十1)x=m, 所以号+10=11，所以a=2. 即=”-1 x 3+10(x-6g (2)由)可知，该商品每日的销作量y=2 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+√T)x 所以商场每日销售该商品所获得的利润 =256(g-1)+2+m 1)=(-3)·[2g+10x-6]-2+10-3别 256m+m反+2n-256. (x-6)2(3<x<6). 所以f(.x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] （2南1知)=25+合um+=是-512， =30(x-4)·(x-6). 令f(x)=0,得x=4或x=6.又3<x<6, 令f(x)=0,得x=512,所以x=64. 当x变化时，(x),f(x)的变化情况如下表. 当0<x<64时，f(x)<0, 故f(x)在区间(0,64)上为减函数： x (3.4) 4 (4,6) 当64<x<640时，f(x)>0, f(x) + 0 一 故f(x)在区间(64,640)上为增函数. 所以f(x)在x=64处取得最小值， f(.x) 单调递增 极大值 单调递减 由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)上的极大 此时=公-1-程-1=9， x 值点，也是最大值，点，所以当x=4时，函数f(x)取得最 故需新建9个桥墩才能使y最小 大值，且最大值f(:x)mx=2+10X(-2)2=42. [例3][解析]设包装盒的高为hcm,底面边长为acm 故当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所 由已知得a=2,h=60-2L=2(30-),0<<30, 获得的利润最大 √2 S=4ah=8.x(30-x),S=240-16.x. [触类旁通] 1.解析(1)由题意知 当S'=0,得x=15,当x∈(0,15)时，S>0: 当x∈(15,30)时，S<0. x=(x-4)y=(x-4)(-x2+14x-36), 即e=-x3+18.x2-92x+144(5≤x≤10，x∈N+. 所以当x=15时，S取得最大值. [母题变式] (2)由(1)得w'=-3x2+36.x-92, 解析设包装盒的高为hcm,底面边长为acm, 令0=0，解得1=4B-18<0(含， V=a2h=22(-x3+30.x2),V'=6√2x(20-x). 3 由V'=0,得x=0(舍去)或x=20. -45+18e8.9. 当x∈(0,20)时，V'>0: 3 当x∈(20,30)时，V'<0. .当x∈[5，x2)时，'>0： 所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值. 当x∈(x2,10]时，w'<0: ∴.e=-x3+18.x2-92x+144在[5，x2)上单调递增， 此时：-？，即色装金的高与底面边长的比值为分 在(x2,10]上单调递减，又x∈N+,当x=8时， [触类旁通] e=-512+1152-736+144=48: 3.C设底面矩形的长为x分米，则宽为4一x分米，高为 当x=9时，=-729+1458-828+144=45： 2.x分米， ∴.当该款消毒液每件售价为8元时，每日销售该款消毒 该长方体石膏体积V=f(x)=x(4-x)×2x=8.x2 液所获得的利润最大，最大利润为48元. 2x3(2x<4). 30 ∴.f(x)=16.x-6x2=2x(8-3x), [典例3][解析]f(x)的定义城为(0，十∞)， 当2<<8时f0>0: f(.x)=ae-1-1 当8<x<4时，了(x)<0. (1)当a=e时，f(x)=e-lnx十1，f(1)=e-1,曲线 3 y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程为y-(e十1)= 故V=(得）-费（立方分米。 (e-1)(x-1),即y=(e-1).x+2.直线y=(e-1).x+2 教考衔接4利用导数研究不等式恒（能）成立问题 在x轴心物上的我距分别为。导2周此所求三角形 [典例1][解析](1)证明当a=2时，f(x)=2sinx -2.x+1,f(x)=2c05x-2=2(c0s.x-1). 的西软为。弓 因为x∈(0，r),所以f(x)<0恒成立，即f(x)在(0，π) : (2)由题意a>0,当0<a<1时，f(1)=a十lna<1. 上单调递减，所以当x∈(0，r)时，都有f(x)<f(0)=1, 当a=1时，fx)=e1-lnx,(x)=e-1- 故当a=2时，f(x)<1. x (2)f(x)≤1+sin2x,即asin x-2x-sin2x≤0，由x∈ 当x∈(0,1)时，f(x)<0: 当x∈(1，+o∞)时，f(x)>0. (0,),得a≤2十sin2z=2x+2c0sx sin x sin x 所以当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=1, 令h(x)= 2x+2cosx,x∈(0，)，则 从而f(x)≥1. sin x 当a>l时，f(x)=ae-1-lnx+lna≥e-1-lnx≥l. ()=2sin x-2rcos x-2sin' 综上，a的取值范围是[1，十o∞) sinzx 章末整合提升 2sin rcos2r-2rcos r 2cos r(sin rcos r-r) [深化提升]—题组训练 sinzr sin-a 1.Af(x)=6.x5十3，所以(0)=3，故切线方程为y= 令m(x)=sin .rcos,x-x,.x∈(0，π)， m'(r)=cos2r-sin2r-1=cos 2r-1<0, 3x-0)-1=3-1,故切线的横藏距为了，级藏距为 得m(x)在(0，r)上单调递减，m(x)<m(0)=0. -1,故切线与坐标钻固成的面叔为2×1X号-日，故 故当xe(0,受)时，h'(x)<0,h(x)单调递减： 选A. 当x∈（受）时，(x)>0,h(x)单调递增，因此 2.解析由y=e+x得y'=e+1,y'lx=o=e°+1=2， 故曲线y=e十x在(0,1)处的切线方程为y=2x十1： (r)m=h(受）=元，得a≤，即实数a的取植范国为 由y=ln(x十1)十a得y'=x+' 1 (一0，r. 设切线与曲线y=ln(x十1)十a相切的切点为 [典例2][解析](1)当a=1时，f(x)=ln(.x十1)，所 (xo,In(zo+1)+a), 以切点为(3，ln4). 1 1 国为f（)=x币，所以切线的斜率为k=(3)=士 由两南钱有公切线得)了，解得。=一子则 所以曲线y=∫(x)在x=3处的切线方程为y一ln4= 切点为（a+ln): r-3 切线方程为)y=2(+号)十a+ln号-=2r+1+a-ln2, 化简得x-4y十8ln2-3=0. 根据两切线重合，所以a-n2=0,解得a=ln2. (2)对任意的x∈[0，十∞)，都有f(x)≥x 2x2恒成 答案ln2 3.解析当x>0时，在点(x1,lnc1)(x1>0)处的切线为 立，即aln(r+1D-x+分2≥0成立. y-ln1=(x一).若该切线经过原点， 令A)=alnx+1D-x+2r26c>≥0. 则n一1=0，解得x=e,此时切线方程为y=总 周)中-1+-c≥0 当x<0时，在点(x2,ln(一x2)(x2<0)处的切线为y ①当a≥1时，h'(x)>0恒成立，所以函数h(x)在[0，十o∞) ln(-x2)=(x-2. 上单调递增， 若该切线经过原点，则ln(一x2)一1=0，解得x=一e, 因此h(.x)mim=h(0)=0,所以a≥1符合条件. ②当a<1时，由h'(x)=0,x≥0， 此时切线方程为y=一 e 解得x=√1一a. 答案y= 当x∈(0，√1-a)时，h'(x)<0: [典题1门[解析]f(.x)的定义域是(0，+∞)， 当x∈（√1-a,十∞）时，h'(x)>0. h(.x)min=h(√1-a)<h(0)=0, f(x)=1+名-4=2-ax+2 这与h(x)≥0矛盾，应舍去. 令g(x)=x2-a.x+2, 综上可知，实数a的取值范围为[1，十o∞). 二次方程g(x)=0的判别式△=a2-8. 3