6.2.2 导数与函数的极值、最值-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第六章 导数及其应用○ 第2课时 函数最值的求法 学业标准 素养目标 1.能利用导数求函数的最值.（重点） 借助利用导数求函数的最值，提升逻辑推 2.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.（难点） 理、数学运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 大值、极小值是比较极值点附近的函数值 得出的.函数的极值可以有多个，但最大 导学 函数的最值 (小)值只能有一个；极值只能在区间内取 如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象. 得，最值可以在端点处取得；有极值未必有 最值，有最值也未必有极值. D基础自测 1.判断正误（正确的打“√/”，错误的打“×”） (1)函数在其定义域内若有最值与极值，则 问题1 观察区间[a,b]上函数y=f(x)的 其极大值便是最大值，极小值便是最小值 图象，试找出它的极大值、极小值， () (2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一 定有极值 () 问题2结合图象判断，函数y=f(x)在区 (3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极 间[a,b们上是否存在最大值、最小值？ 值；反之，若有极值，则一定有最值.() (4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有 一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可 问题3函数y=f(x)在区间[a,b]上的最 有多个极值， 大（小）值一定是其极值吗？ 2.函数fx)=3x-2x在区间[-1,5]上 ○结论形成 A.有最大值0，无最小值 函数最值的求法 如果函数y=f(x)的定义域为[a,b],函数 B有最大值0，有最小值- 3 y=f(x)在(a,b)内可导且存在最值，那么 求最值的步骤如下： C有最小值一婴，无最大值 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 D.既无最大值也无最小值 (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的 3.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0] 函数值比较，其中 为最大值， 上的最大值、最小值分别是 为最小值 4.已知函数f(x)=sinx一2x一a,若f(x)在 [微点睛]函数的最大值、最小值是比较 [0,π]上的最大值为一1，则实数a的值是 整个定义区间的函数值得出的，函数的极 83 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一不含参数的函数最值问题 题型二含参数的函数最值问题（一题多变） 例求下列函数的最值： 例2已知函数f(x)=x3-ax2一a2x,求函 (1)f(x)=3x-x3(-3≤x≤3)； 数f(x)在区间[0，+∞)上的最小值 [自主解答] (2)f(x)=sin2x-x(-2≤x≤2） [自主解答] 规律方法 求可导函数y=f(x)在[a,b们上的最值的步骤 (1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使f(x)=0 [母题变式] 的点。 1.(变条件、变结论)本例中，若a>0,求该函 (2)计算函数f(x)在区间内使f(x)-0的所有点 数在区间[0,4幻上的最小值. 和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小 的一个为最小值： [触类旁通] 1.(2024·内蒙古通辽高二期中)已知函数 f(x)=ax3+bx在x=1处有极值4. (1)求a,b的值； (2)求函数f(x)在区间[一2,3]上的最值. 84 第六章导数及其应用○ 2.(变条件、变结论)本例中，若α>0，求函数：题型三与函数最值有关的恒成立问题 f(x)在区间[一a,2a]上的最值. 例8已知函数f(x)=(x一1)3+m. (1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调区间： (2)若关于x的不等式f(x)≥x3-1在区 间[1,2]上恒成立，求m的取值范围. [自主解答] [素养聚焦]本题考查对含参数的函数的最值的 求解，培养逻辑推理、数学运算核心素养， 规律方法 (1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数 的最值问题； ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨 论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三 种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间 上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能 等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较 后确定最值. (2)已知函数最值求参数值（范围）的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是 求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数 研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后 求参数的值或范围。 规律方法 [触类旁通] 恒成立问题总是要化为求函数的最值何题来 2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最 解决，其中方法一是分类讨论（求最值）法，方法二 小值，则a的取值范围为 是分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一 A.[0,1) B.(0,1) 次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可 以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边 C.(-1,1) n.o,2》 去，而另一边则是x的表达式， 85 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） [触类旁通 fx)在[-4，一2)上单调递增，在(-2，号)上 3.(2024·江苏宿迁高二期中)已知函数 f(x)=x3十a.x2+bx+c在x=-1和x=3 单润递减，在（号，）上单调递增。 处取得极值。 所以f(x)mx=f(-2)=13, (1)求a,b的值及f(x)的单调区间； 95 (2)若对任意x∈[1,5]，不等式f(x)<c 恒成立，求c的取值范围. [正解] (1)因为f(x)=x3-a.x2+bx+5, 所以f(x)=3x2-2ax+b, 因为在红=一2布x=号处取得极值， f(-2)=0, 所以 f(号)=， 解得a=-2,b=-4. 所以f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)因为f(x)=3x2+4x一4，所以由 f()=0,解得x=一2或x=号，所以 f)在[-4，一2)上单调递增，在(-2，号）上 单调递减，在（号，1）上单调道增.因为 [缜密思维提能区] 易错案例 函数的最值 f-40=-11,f(-2)=13,f()-8, [典例]已知函数f(x)=x3-ax2+bx+5, f(1)=4.所以f(x)mx=f(-2)=13, 在x=一2和x= 号处取得极值。 f(x)mn=f(-4)=-11. (1)求函数f(x)的解析式， [纠错心得] (2)求函数f(x)在[一4,1]上的最值. 错误原因 防范措施 [错解](1)因为f(x)=x3-ax2+bx十5， 没有比较端点值和 求区间的端点值和极值， 所以f(x)=3x2-2ax十b, 极值的大小，错误地 并比较大小，取最大的为 因为在x=-2和x=号处取得极值， 认为极值就是最值 最大值，最小的为最小值 f(-2)=0, 课堂小结 所以 r(号)=0， 知识落实 技法强化 解得a=-2,b=-4. (1)最值与极 (1)可导函数在某区间上求最值的 经检验，a=一2，b=一4满足条件， 值的区别 方法 所以f(x)=x3+2x2-4x十5 (2)导数与函(2)含参数的最值问题，往往要用到 数的最值， 分类讨论、转化与化归思想方法。 (2)因为f(x)=3x2+4x-4,所以由 了()=0，解得x=-2或x=号，所以 温馨 请完成[课后案】学业评价（十九） 阶段测评（四） 86因为→→l>o,所以g()>g(1). f(x)的变化情况如下表: -1 (-1,3) (-20,-1) 3 所以()·cos>f(1)·cos 1, (3,十) f(x) + 0 0 即f(吾)>2f(1)·cos 1,故D正确. /(x) 单调递增 单调递减 -6 单调递增 [答案]D 6.2.2 导数与函数的极值、最值 所以x=一1是f(x)的极大值点,x一3是f(x)的极小 第1课时 函数的导数与极值 值点,所以f(x)极大值一 课前案·自主学习 (2)函数f(x)-3+3lnx的定义域为(o,+oo). [教材梳理] 导学 /()--333(x-1) 1+)= [问题1] [提示] 在b,d点的函数值是这两个点附近 的函数值中最大的,而在c,e点的函数值是这两个点附 令/(x)-0,得x-1. 近的函数值中最小的. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: (0,1) [问题2] [提示] f(b)=f(c)=f'(d)=f(e)=0. 。 2. (1,十o) [问题3] [提示] 在b,d的附近的导数的符号是左正 f(r) 0 右负,而在c,e点附近的导数的符号是左负右正 单调递减 /(x) 结论形成 单调递增 1.f(x)f(x。) 极大值 所以r一1是函数f(x)的极小点,所以f(x)极小值-3. 2./(c)>f(xo)极小值 f(x)无极大值. 3.(1)极值点 (2)极值 [触类旁通] 4.(2)①极大值 极大值 ②极小值 极小值 1.B f(c)7王,当c<7时,/(tc)→0. [基础自测] { 1.解析由于单调函数没有极值,所以(1)、(2)正确 当文7时,/(x)0. f()=r在x-0处(0)-0,但f(x)-r在R上递 所以()-x-6的极大值为f(7)-7-6-1. 增,没有极值点,所以(4)正确,函数的极值是一个局部 e7 概念,函数的极大值和极小值,没有必然的大小关系,函 [例2][解析]/(x)=^2-2x十a,由题意,方程_ 数的极大值不一定比极小值大,所以(3)错误. 2x+a-0有两个不同的实数根,所以△一4-4a 0,解 答案(1)(2)(3)×(4) 得1. 2.D 可导函数y一f(x)若在x。点取得极值,一定有 [母题变式] /'(x。)-0,反之不成立,如f(x)=r在x。-0处/(0) 1.解析r(x)-r2-2x+a. 一0,但xr。一0点不是极值点,故选D. 由题意f(-1)-1+2+a-0. 3.D/(c)-1-,令/(c)-0得x-士1. 解得a=-3,则/(x)-x2-2x-3,经验证可知,f() 在x一一1处取得极大值. 函数f(x)在区间(一,一1)和(1,十o)上单调递增, 2.解析 由题意,方程x2一2x十a一0有一正一负两个根, 在(一1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时取极 设为x,x。,则x1x。-a<0,故a的取值范围是(-oo,0). 大值一2.当x-1时取极小值2. [触类旁通] 4.解析 由/(x)-3x-6x-0. 2.解析(1)f(x)-3x2-2ax-b. 解得x-0或x-2. 1(1)-10.即 1--10, 则 1/C1)-0.* 列表如下. 13-2a--0. #二#或{# 解得{-11# a-3. (-0.0) 0 (0.2) 2 (2.十) --3. /(x) 0 0 ) __ 当=3,b--3时,f(x)-3$-6x+3=3(-1) $ 极大值 f(x) 极小值 此时f(x)在定义域R上为增函数,无极值,舍去. '当x一2时,f(x)取得极小值. 当a=-4,b-11时,f(x)-3r2+8x-11 答案2 令/(c)-0,解得x-1或-11. 3. 课堂案·互动探究 [例1] [解析](1)函数的定义域为R f'()-2-2x-3-(r+1)(-3). 当x(1,十oo)时,/'(x)→0,此时f(x)单调递增; 令/(x)-0,得x-3或x--1. 则x一1为极小值点,符合题意. 当x变化时,/(x). 故点(a,b)为(-4,11),故选B. (2)/(x)=aln +-1(c→o), 第2课时 函数最值的求法 r)} 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学 函数f(r)既有极大值,也有极小值, [问题1] [提示] 等价于一元二次方程ar?一x十2-0在(0,+o)上有2 I f(x),f(x)为函数的极大值, 个不同的实根, f(x),f(x)为函数的极小值 fa70, [问题2] [提示]存在。 4-1-8a>0. [问题3] [提示] 不一定,也可能是区间端点的函 解得_## {## 则{ 数值。 结论形成 a×02-0+2>0. (1)极值(2)最大的 最小的 即实数a的取值范围为(o.). [基础自测] 1.解析(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极 答案(1)B(2)B 大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值. [例3] [解析](1)由题意f(x)一x2-ax, (2)闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值 所以,当a-2时,f(3)-0,f(x)=2-2; (3)不正确. 所以f(3)一3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的 (4)若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大 切线方程是y-3(x-3),即3x-y-9-0. 值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值。 (2)因为/(x)-x”-ax=x(x-a). 答案(1)× (2)×(3)×(4) ①a-0时,/(x)-r*0,f(x)在R上单调递增; 2.B f(x)=-4r=r(r-4). ②a0时,令f'(x)>0,得x>a或x<0, 令/(x)-0,得x-0或x-4. 所以f(x)在(一oo,0)和(a,十oo)上单调递增; 令f(x)<0,得0 xa,所以f(x)在(0,a)上单调 7. 递减, 所以当x一0时,f(x)取到极大值,极大值是f(0)-0. f(x)min=/(4)--32 当x一a时,f(x)取到极小值,极小值是f(a)=- 3 3.解析 f(x)-3r-3-3(x+1)(r-1). ③a<0时,令/(x)-0,得x.=a x-0. 令/(x)-0,则x--1或x=1(舍去). 所以f(x)在(一,a)和(0,十oo)上单调递增,在(a,0) f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17, 上单调递减, 所以f(x)mx=f(-1)-3,f(x)min=f(-3)=-17. 所以当x一a时,f(x)取到极大值, 答案3.-17 极大值为f(a)一一 4.解析 由f(x)-sinx-2x-a. 当r一0时,f(x)取到极小值,极小值是f(0)-0 得f(x)=cosx-2<0. [触类旁通] 所以函数f(x)在[0,n]上单调递减, 3.解析 因为f(x)在x=一1处取得极值且 所以f(x)的最大值是f(0)一-a--1,故a-1. 答案1 r'(x)-3x2-3a. 所以/(-1)-3x(-1)②-3a=0,所以a=1. 课堂案·互动探究 所以f(r)=r-3x-1,f(r)=3r?-3 [例1] [解析] (1)f'(x)=3-3.r2=3(1-x)(1+x). 由/(x)-0,解得x=-1或x-1. 令f(x)-0,得x-1或x=-1. 当-1时,/(x)>0; 'x=1和r=-1是函数f(x)在[-3,3]上的两个极 当-1<x<1时,/f(x)<0; 值点,且/(1)-2,/(-1)=-2. 当>1时,/(x)>0. 又f(x)在区间端点的取值为f(-3)-0,f(3)一-18 所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=一1处取得极大 比较以上函数值可得f(x)mx-2,f(x)min=-18. 值/(-1)-1,在x-1处取得极小值/(1)--3. ($2)f(x)-2cos 2x-1,令f(x)=0,得cos2x= 作出f(x)的大致图象及直线y一m如图所示, ##e-# * .2c[--:]2cx士 y=n -士.._数(c)在[一]上的两个极值分 因为直线v一n与画数v一f(x)的图象有三个不同的交 #为#(吾###()-}# 点,结合图象可知,m的取值范围是(-3,1). 又f(1)在区间端点的取值为/()-# [触类旁通] 2.B .()=3r?-3a, (-,比较以上西数可得(y)mx-# 令f(x)-0,可得$a-} 又x(0.1)..0 a1,故选B f(x)min=一 [例3] [解析](1)因为f(1)-1,所以n=1, [触类旁通] 则f(x)-(x-1)+1=3-3x2+3 1.解析 (1)f(x)=ax+bx,/(x)=3ar2+b. 而/()-3x-6x+3-3(x-1)0恒成立, '.函数f(x)=a文十bx在x=1处取得极值4, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,十). 'f(1)-a+b-4./(1)-3a+b-0. (2)不等式f(x)二r-1在区间[1,2]上恒成立,即不等 解得a--2,b-6. 式3r?-3x-m<0在区间[1,2]上恒成立, '.f(r)=-2x3十6x,经验证在x-1处取得极大值4. 即不等式n3r2-3x在区间[1,2]上恒成立, 故a=-2,b-6. 即m不小于3r2-3x在区间[1,2]上的最大值. (2)由(1)可知,f(x)--2r+6r,f'(x)--6r2+6. 令f(x)>0,解得-1<x<1,令f(x)<0. 解得x1或x-1, 所以n的取值范围是[6,十o). 因此((x)在-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调 [触类旁通] 递增,在(1,3]上单调递减, 3.解析 (1)f(x)-3r②+2ax十b. 所以函数f(x)在x一一1处取得极小值,极小值为 .函数f(x)=r3+ar2+bx十c在x=-1和x=3处 f(-1)--4; 取得极值, 在x-1处取得极大值,极大值为/(1)-4, '/'(3)-27+6a+b-0,f(-1)-3-2a+b-0 且f(-2)-4,/(3)--36. 联立解得a--3,6-一9. 经比较,函数/(x)在区间[一2,3]上的最小值是一36, './(x)-3r-6x-9-3(x-3)(x+1). 最大值是4. 令/(x)-0,解得x-3或x=-1. [例2] [解析]f(x)=3?-2ax-a2-(3x+a)(x-a), x(一,-1)时,/(x)0,函数f(x)单调递增; x(一1,3)时,f(x)0,函数f(x)单调递减; x(3,十oo)时,f(x)0,函数f(x)单调递增 ①当a0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,十oo)上 故1一一1和x一3是f(x)的极值点, 单调递增.所以/(x)min-f(a)--a3. 故函数f(x)的单调递增区间为(一oo,-1),(3,十); ②当a=0时,/'(x)-3r②0,f(x)在[0,+o)上单调 函数/(x)的单调递减区间为(一1,3). 递增,所以f(x)min=f(0)-0. (2)由(1)知f(x)-*-3x2-9x十c在(1,3)上单调 减,在(3,5)单调递增, [-)上单调增# 要使得对任意x[1,5],不等式f(x)<c*恒成立,则 需/(1)<c2且f(5)<c2. 所以f(.x)n-/(-)-。 故f(1)=-11+c<c*且f(5)=5+c< 解得。 1+1或-1. 综上所述,当a>0时,f(x)min=一a3; c的取值范因是(-1-21)□(1+21+). [母题变式] 6.3 利用导数解决实际问题 1.解析 由解析知,当a0时,f(x)在[0,a)上单调递减, 课前案·自主学习 在a,十)上单调递增, 所以当0<a<4时,f(x)min=f(a)=-a. [教材梳理] 当4时,f(x)min-f(4)-64-16a-4a. 导学 2.(2)极值点 (3)区间端点 2.解析 /(x)-(3x十a)(x-a)(a>0). 极值点 [基础自测] 1.(1)(2)×(3)(4) 所以f(x)在-a,-]#上单调增,在(-)上# 2.C'--r2+81, '当x9时,y<0,当x(0,9)时,y0. 单调递减,在[a,2a]上单调递增 .函数y二- (9.十x)上递减,故当x一9时,v有最大值 f(2a)-2a3. 3.C 设底面边长为xm,高为hm,则有r^{}h-256,所以 所以f(x)mx-f(2a)-2a3. f(x)min-f(-a)-f(a)--a3.