6.2.1 导数与函数的单调性-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

@ =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) (4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复 =(2.x+3)(x+3)+x2+3.x+2 合函数，函数y-sin3x可看作函数y=sin0和v=3.x =3.x2+12.x+11. 的复合函数. 方法二，y=(x+1)(x+2)(x十3) ∴yx=(r3)'·(sinx)'+(sino)'·(3x) =(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, =32·cosx+3cosu ∴.y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]Y =3sin2 .xcos x+3cos 3.c. =(x3+6.x2+11.x+6)'=3.x2+12x+11. [触类旁通] (3)方法一 y-(》 2.解析q)y=1+nxz+1)-nx1=nx (.x+1)2 x+1x+1)2 =x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)/ (x+1)2 2周为y-n屏h吊品 =x+1-(x-1) 2 (.x+1)2 (x+1)2 以号· x2-1 方法=“y品21 2 x+1 (3)y'=12cos3.x·sin33.x·cos34.x-12sin4x·sin'3.x --品-（异） ·c0s24.r=12sin33r·cos24.x·cos7x. 2'(.x+1)-2(x+1)y 2 [例3】[解折]周为f1)=a,了x)=2a+名2 (x+1)2 (.x+1)2 (x<2),所以f(1)=2a-2, 4y=(青-2广=()-(2y 所以切线1的方程为2(a-1).r-y十2-a-0. 因为直线1与园相切，所以圆心到直线的距离等于半 1(x+1)-lnx 径，即d= -21n2 2古释号 (x+1)2 [母题变式] x+1-zIn z2'In 2. 解析由例题知，直线（的方程为 x(x+1)2 2(a-1)x-y+2-a=0. [触类旁通] 1.解析(1)y=(.x2+log3x)'=(x2)'+(1og3x) :直线1与国C:r2+y2=}相交， =2r+zln 3 1 圆心到直线（的距离小于半径 (2)y'=(x3·er)'=(x3)'·e+x3.(e2) =3x2·e2+z3·e=x2e(3+x). 一解释。 即d= |2-a 「触类旁通] (3)y=(1+osx (1-sinr） 3.解析(1)由题意知：f(x)=x-n2x,x∈(0，十oo) =(1-sin r)'(1+cos r)-(1-sin r)(1+cos r)' (1+cos.x)2 了)=1一士则切线斜单=f(侵)=-1 --cos r-cos'.r+sin z-sin2r-1-cos r+sin r 又（侵）=名P(侵》 (1+cos )2 (1+cos x)2 (0因为y=1十正+1-E=1+团+1-团 f(x)在点P处的切线方程为 1-”1+1-x 1-x 即x+y-1=0. (2)由f(x)=e2r十x+9,可得(x)=2e2x+1, 所以-（片2-00- 4 (1-x)2 (1-x)2 又点P在曲线y=f(x)上，设P(xoya),则过点P与 [例2][解析](1)函数y=e2+1可看作函数y=e”和 1:3x-y-10=0平行的切线的斜率为3， u=2.x十1的复合函数， 令f(x0)=2e2+1=3,.xo=0,则f(0)=10, y,=y'm·u'=(e")'(2x+1D)'-2e"=2e2+1 .P(0,10),点P(0,10)与直线1的最小距离为 1 (②)品数y(2x一1D可看作函数y=M和=2x-1 d=-10-101=2o. √/32+12 的复合函数， 答案(1).x十y-1=0(2)2√/10 y,=ym·w'=(u3)'(2x-1)'=-6u 6.2利用导数研究函数的性质 =-6(2.x-1)-4= 6 (2x-1)4 6.2.1 导数与函数的单调性 (3)函数y=5log2(1一x)可看作函数y=5log2u和u 课前案·自主学习 1一x的复合函数， [教材梳理] -5 导学 .y,=y·r=5(log2u)'·(1-x)'= uln 2 [问题1] 5 [提示])在(-受，受)上单调递增，共号 (x-1)ln2 函数了(x)>0. 24 [问题2】[提示])在（受，经）上单润适减，)<0， [触类旁通 1.B观察图象知，当x<0时，f(x)先单调递减，再单调 [问题3][提示]当(x)>0时，f(x)为增函数，当 递增，则了(x)先为负数，再为正数，当x>0时，(x)先 f(x)<0时，f(x)为减函数. 单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以(x)先为 ©结论形成 正数，再为负数，最后为正数，故只有B选项特合。 1.了(x)>0呈上升状态(x)<0呈下降状态 2.快慢快慢陡峭平缓陡峭平缓 [例2][解析](1)函数的定义域为R [基础自测] f(x)=x3-2.x2+x,.f(x)=3.x2-4x+1. 1.解析1)因为函数y=1的定义战为(-00,0U(0,0©)， 令了x)>0,解得x<号或>1. 由(/=是<0成立， 因此)的单调递增区间是(-，号).1，十o。 所以画载y=在（一四.0）南0，十四)上是减通载 令f了)0解得号<<1. (2)因为函数y=工一上的定义战为(-0,0)U(0. 因此f(x)的单调递减区间是(3,1)： 十)，由(e-广=1十>0极成立，所以通y (2)函数的定义域为(0，十∞). f(x)=6r- 2=2(3x2-1) 一上在(-0,0和0，+0)上是增画数. 令fx>0,p23r-D>0. (3)若f(x)在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在(a,b)内单 x 调递增：反之不成立，例如f(x)=x在（一1,1）内单调 递增，而了(0)=0. 解得-<rK0或> 3 (4)函数f(x)在(a,b)内变化得越快，广(.x)越大. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 又0是 2.B由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在 令fr)<0,m232-D<0. (1,5)上有f(x)<0,故f(3)<0. 3.Cy=3.x2-3,由y'=3x2-3<0得-1<x<1. ∴.函数y=x3一3.x的单调减区间是(-1,1). 解得x< 0<得 4.解析f(.x)=(.x-3)'e+(.x-3)(e)=(x-2)e, 令f(x)>0,解得x>2. 又x>0.0<r<3 答案(2，+o∞) 课堂案·互动探究 “:)的单调道增区间为（停，十四）小，单洞递减区同 [例1][解析]1)由图象可知，函数的定义城为 [-1,5],值域为(-∞，0]U[2,4],故A,B正确，函数 为(o.） f(x)在定义域内不是增函数，故C,D错误」 (3)高数的定义城为0，十o∞)fx)=x十是 (2)画数y=x)在区间（一名，1）和区间(23)上单洞 ①当a>0时，(x)=工十4>0恒成立，这时函数只有 x 递减，所以在区间(-子1)和区间(2,3)上y=了 单调递增区间，为(0，十∞)： <0,所以f(x)<0的解集为(-了1)U(2,3). ②当a<0时，由广(x)=x十a>0,得x>一a x [答案]AB(2(-号1)U2,3) 由f(x)=x十a<0,得0<x<√一a,,当a<0时，函 [母题变式] 数的单调递增区间是（√一a,十∞），单调递减区间是 1.解析根据题目中的图象，函数y=∫(x)在区间 (0,-a). (-号，一号)和区间1,2)上为增画款，所以在区间 综上，当a>0时，f(.x)的单调递增区间为(0，十o∞)，无 (-是-号)和区间1,2)上y=f)>0,所以f) 单调递减区间；当a<0时，∫(x)的单调递增区间为 (√一a,十∞)，单调递减区间为(0，√/一a). >0的解集为(-2-号)U1,2). 触类旁通] 2.解析根据题目中的图象，函数y=f(x) 2.解析(1)当a=2时，f(x)=x-2lnx, 当x∈(-弓0）时，函数为减函数，期f(x)<0: 则∫x)=1-2=二2所以了0)=-1. 当x∈(1,2)时，函数为增函数，则∫(x)>0 因为f1)=1,即切点为(1.1)， 综上可知，(x)>0的解集为(-号0)U1,2). 所以切线方程为y一1=一(x一1)， 即x十y-2=0. 25 @ (2)蓝数f(x)=x一alnx的定义城为(0，十oo), 由n3nr得n3>3ln, 又f(x)=1-g=二4，当a≤0时，f(x)>0恒成立， 3 .2πln3>6nπ，即b>c: 函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 由h>ln4得4ln>ln, 当a>0时，则当x>a时f'(x)>0, 4 当0<x<a时f'(x)<0,所以函数f(.x)在(a,十o∞)上 6n>号h4=3h2.即>a 单调递增，在(0，a)上单调递减； 综上可得：当a≤0时f(.x)在(0，十o∞)上单调递增： 综上所迷，b>c>a.故选D. 当a>0时f(.x)在(a,十∞)上单调递增，在(0，a)上单 [答案]D 调递减。 [典例2][解析]令h(x)=fx). [例3][解析]方法一f(x)=2a-3.x2, 令f(.x)>0.即2a-3.x2>0, 则(r)=f(m)-f)<0. 2 得0r<√3a(u>0.0r<1), 故h(x)在(0，十©∞)上为减函数， 所以的增区同是(0层， 所以g>e>即>b> 2 e [答案]A 又因为f(x)在(0,1)上是增函数， [典例3][解析]令g(x)=f, 所以01骨0)所以√骨1 2 e2r 则ge=fe-2ef四_f)=2f>0. 即。≥号所以a的取值范周光[是十人 elr 所以g(x)在R上单调递增， 方法二f'(x)=2a-3x2, 因为f(x)在(0,1)上是增函数， 不等式f(x)>e2-3等价于g(x)>e3=f2) e2x2=g(2), 所以f(x)≥0在(0,1)上恒成立， 解得x>2, 所以2a-3r2≥0岸a≥号2 所以不等式f(x)>e2r-8的解集为(2，十oo). [答案]C 又x0D.所以受r∈(0，号)故≥是 [典例4][解析] 国为x∈(0，受) 所以口的取值范酒为[层十四小 所以sinx>0,cosx>0, [触类旁通] 由f(r)>anx·fx)得2f2 sin r cos r' 3.解析（①fu)=ae-≥0对yr∈1,2）版成立， 所以f(x)cosx>f(x)sinx g)-在1,2单调递减 a≥1 构造函数g(x)=fx)c0s,re(0,受）， g'(r)=f'(x)cos z-f(r)sin r>0, gag=a>选c e 所以g(x)在(0，)上单调递增， 2fr)=a} 国为受>吾>晋>0，所以g(晋)>g(): ①当a≤0时，f(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递减， 不合题意 所以/(5)o哥>f(年)os, ②当u>0时，令f(x)=0,得r=a 即f()>2(于)，故A错误： :e在0,2)上不单调，0<<2，得a>之 1 因为受>平>晋>0，所以g(于)>8（晋） 答案(1)C (2合+】 所以f()os哥>f(晋)os吾， 教考衔接3导数中函数构造问题 [典例1][解析]令f(x)=hx,则f(x)=1-nx, 脚（任）>（告）故B错误： 2 ∴.当x∈(0，e)时，(x)>0: 因为0<否<1<受，所以g(否)人gI, 当x∈(e,十∞)时，f(x)<0, ∴.f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十co)上单调递减， 所以f(若)eos晋<f1)cos1: 六f3)>f(x)>f4),即ln3nln4 3 π 4 申（倍）<2Is1,故C错误， 26第六章 导数及其应用· 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性 学业标准 素养目标 1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习,提升数 1.理解导数与函数的单调性的关系.(易混点) 学抽象核心素养. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点) 2.借助判断函数单调性及求函数的单调区间,提升逻 3.会用导数求函数的单调区间(重点,难点 辑推理、数学运算核心素养. 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 II教材梳理 结论形成 1.利用导数判断函数单调性的法则 导学 函数的单调性与导数的关系 若 ,则曲线y一f(x) 已知函数f(x)三sinx,其导函数f(x) ,f(x)在(a,b)上是 -cosx. 增函数 在(a,b) 问题1 判断函数f(c)在(一,)上的单 内 ,则曲线y一/(x) 调性,其导函数f(x)的正负如何 ,f(x)在(a,b)上是 减函数 2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 ######## 判断#(2)在(23) 问题2 上的单调性, 其导函数f'(x)的正负如何? 导数为导数为导数为导数为 斑 正,且绝正,且绝负,且绝负,且绝 对值越来 对值越来 对值越来对值越来 越大 越大 越小 越小 问题3 函数值变 函数值变 函数值变函数值变 试探讨函数的单调性与其导函数正 罔数_ 化越来越 化越来越 化越来越 化越来越 负的关系. ___... 图象越来越越来越越来越越来越 特点 73 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) 2.函数y一f(x)的图象如图所示,则( 基础自测 ) ## 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)因为()-<桓成立,所以函数 A.f'(3)>0 B.f(3)<0 C.f'(3)-0 (2)因为(-)#-1+→0,所以函数 D. f(3)的正负不确定 3.函数y=x3-3x的单调减区间是( ) -1在(-oo,十+o)上单调递增.( A.(-o,0) y--- ) B.(0,十o) (3)在区间(a,b)内,f'(x)>0是f(x)在 C.(-1,1) (a,)内单调递增的主要条件 D.(-0,-1),(1,十o0) (4)函数f(x)在(a,)内变化得越快,其导 4.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是 数就越大. ( ) 课堂案。互动探究 关键能力 素养提升 题型一 函数单调性与导函数的关系 [母题变式] (一题多变) 1.(变结论)若本例(2)中的条件不变,试求不 例l (1)(多选)函数y= 等式f(x)>0的解集 y f(x)的图象如图所示,下 列说法正确的是( A.函数y一f(x)的定义 域是[-1,5] B.函数y-f(x)的值域是(-oo,0]U[2,4] C.函数v三f(x)在定义域内是增函数 D.函数=f(x)在定义域内的导数f(x)>0 (2)函数y=f(x)在定义域(-3,3)内可 2.(变结论)若本例(2)中的条件不变,试求不 导,其图象如图,记y一f(x)的导函数为 等式xf(x)>0的解集. =f(x),则不等式f(x)<0的解集为 y-f{x) ### 74 第六章 导数及其应用 [素养聚焦 ]通过函数的单调性与导数之间关系 [自主解答] 的考查,培养数学抽象、逻辑推理核心素养。 规律万法 (1)利用导数判断函数的单调性只需判断导数在该 区间内的正负即可, (2)通过图象研究函数单调性的方法 ①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生 变化的点,分析函数值的变化趋势; ②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴 的交点,分析导数的正负. [触类旁通] 1.(2024·吉林四平高二期中)已知函数 规律万法 f(x)在定义域内可导,f(x)的大致图象如 图所示,则其导函数f(x)的大致图象可 (1)利用导数求函数单调区间的步骤 ①确定函数f(x)的定义域; 能为 ( __ ②求导数f’(x); #.# ③由f(x)>0(或f(x)<0),解出相应的x的范围 (当f(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数; 当f(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数); ④结合定义域写出单调区间. _ (2)求含参函数y一f(工)的单调区间,实质上就是 解含参数的不等式f'(x)>0,f(x)<0 [触类旁通] 2.(2024·山东维坊高二期中)已知函数 f(x)-x-alnx(aER). (1)当a一2时,求曲线f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性 D 题型二 利用导数求函数的单调区间 例② 求下列函数的单调区间: (1)f(x)-x3-2x2+x; (2)f(x)-3x2-2lnx; 75 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) [填密思维提能区] 题型三 由涵数的单调性求参数的取值范围 易错案例 (一题多解) 求函数的单调区间 例③ 已知函数f(x)=2ax-x,xE(0,1), [典例] 求函数y=2x-lnx的单调递增 a>0,若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的 区间. 取值范围. [自主解答] 令>o,即2-1→0. '.函数y=2x-lnx的单调增区间为 (-oo,)和(,+). [正解] 函数y-2x-lnx的定义域为 (0,十o). -2-,令>0,即-1→0, '.函数y=2x-lnx的单调增区间为 (1,+). [纠错心得] 解这类问题应首先关注函数的定 规律方法 义域,此函数y-2x-lnx的定义域为(0,十o). 已知f(x)在区间(a,b)上的 本解答没考虑定义域而出现了(一o,0)这一区 单调性,求参数的范围 间,导致错误. (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调 课堂小结 递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的 知识落实 过子集. 技法强化 (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调 利用导数求函数的单调区间特别 递增(减)的问题,则f(x)>0(f(x)<0)在(a,b) (1)利用导数判注意以下两点: 内恒成立,注意验证等号是否成立. 断函数单调性(1)定义域优先原则; [触类旁通] 的法则. (2)在某一区间内f(x)>0(或 3.(1)(2023·新课标II卷)已知函数f(x) (2)函数的图象 f(x)<0)是可导函数f(x)在该 ae{-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的 的变化趋势与区间上为增(或减)函数的充分不 最小值为 ( ) 导数值大小的必要条件,如f(x)三x^{}是B上的 过关系。 A.e2 B.e 可导函数,也是R上的单调递增 C.e) D.e-2 函数,但当x-0时,f(x)一0. (2)已知函数f(x)=ax-lnx在(0,2)上 不单调,则a的取值范围是 请完成[课后案]学业评价(十七) 76