6.1.1 函数的平均变化率-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第六章 导数及其应用 6.1 导数 6.1.1 函数的平均变化率 学业标准 素养目标 1.通过实例分析，了解函数平均变化率的意义。 1.通过函数平均变化率、物体的平均速度的学习，培 2.会求函数的平均变化率并渗透“以直代曲”思想 养数学抽象核心素养。 (重点、难点) 2.借助求函数平均变化率、物体的平均速度，提升数 3.会求平均速度。 学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 》教材梳理 问题2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程 度呢？ 导学1函数的平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并建 立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H 是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示. 问题3 能用会，刻画山路陡峭程度的原因 是什么？ D +1 自变量x表示某旅游者的水平位置，函 数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度. ⊙结论形成 设点A的坐标为(x,y,),点B的坐标为 1.函数的平均变化率 (x2,y2）. (1)定义 问题1若旅游者从点A爬到点B,且这段 若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2 山路是平直的，自变量x和函数值y的改 ∈D,x1≠x2y1=f(x1),y2=f(x2）, 变量分别是多少？ 则称△x= 为自变量的改变量： 称△y=y2-y(或△f=f(x2)-f(x)为 相应的因变量的改变量： 55 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 称 (或 问题2在1≤t≤2这段时间里，运动员的 为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区 平均速度是多少？ 间上的平均变化率，也可以表示成： △ffa+△)-f)_fx+△)-fx) △x (x1十△x)-x △x (2)实际意义：在以x1,x2为端点的闭区间 ○结论形成 上，自变量每增加1个单位，因变量平均将 1.平均速度 增加会x个单位. 如果物体运动的位移xm与时间ts的关 系式为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<2 (3)几何意义：函数在一个区间内的平均变 时)或[t2,t1](t2<t1时)这段时间内的平 化率，等于这个区间端点对应的函数图象 均速度为 m/s. 上两点连线的斜率.近似地刻画了函数对 :2.平均变化率 应的曲线（即函数图象）在某一区间上的变 物体在某段时间内的平均速度等于x= 换趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线 h(t)在该段时间内的 的倾斜程度是平均变化率的“直观化”。 基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)自变量的改变量△x不能为0.( (2)因变量的改变量△y一定大于0.( 2.函数y=f(x)的平均变化率的几何意义 (3)函数的平均变化率会不能为0.( △y=f(x)-fx》表示函数y=f(x)图 (4)函数f(x)在[x,x2]上的平均变化率 △x T2-t 就是函数y=f(x)图象上两点P,(x1, 象上过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)的割 f(1),P2(x2,f(x2)所在直线的斜率. 线的 3.求函数的统计值时，有时要用直线段代替 2.已知函数y=f(x)=x2十1，则当x=2, 曲线段，这种思想叫 △x=0.1时，△y的值为 ( 导学2平均速度与平均变化率 A.0.40 B.0.41 C.0.43D.0.44 在高台跳水运动中，运动员相对于水面 3已知函数f()=,当x=1时，公 的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t十10. 4.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图， 问题1在0≤t≤0.5这段时间里，运动员 第二年婴儿体重的平均变化率为 的平均速度是多少？ kg/月. 14.25 11.25 3.75 0 12 24W月 56 第六章 导数及其应用。 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一求函数的平均变化率 (一題多变) 2.(变条件、变结论)将题目中函数改为 例1计算函数f(x)=x2在区间[1,1+△x] “f代(x)=x十1”，分别计算f(x)在自变量 (△x>0)上的平均变化率，其中△x的值为： (1)2;(2)1;(3)0.1:(4)0.01. x从1变到2和从3变到5时的平均变化 [自主解答] 率，并判断在哪个区间上函数值变化得 较快 [母题变式] 1.(变结论)当△x越来越小时，函数f(x)在 区间[1,1+△x]上的平均变化率有怎样的 变化趋势？ [素养聚焦]本题通过平均变化率的计算，培养数 学运算核心素养 规律方法 求函数平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量△f=f(x)一f(x1). (2)再计算自变量的改变量△x=x2一x1: （3)然后利用平均变化率Af=,)-/)计算 △x 即可 [触类旁通 1.(2024·辽宁朝阳高二期中)函数f(x)= 3一2在[0,3]上的平均变化率是( A B.8 C.-8 D.、26 3 57 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型二求平均速度及位移 : 例(1)汽车行驶的路程s和时间t之间的 例已知某质点运动的位移xm是时间 函数关系图象如图所示，在时间段[t。,1] ts的函数，而且当t=2时，x=12:当t= [t112],[24]上的平均速度分别为， 3时，x=24. 2,3,则三者的大小关系为 (1)求这个质点在时间段[2,3]内的平均 速度； (2)估计t=2.5时质点的位移. [自主解答] (2)已知函数f(x)=3一x,计算当x。=1, 2,3,△x=号时平均变化率的值，并比较函 数f(x)=3一x2在哪一点附近的平均变 化率最大？ [自主解答] 规律方法 (1)要计算物体在某段时间内的平均速度，只要求 出时间的改变量△1，及相应位移的改变量△s,然后 利用平均速度一合即可求出平均速度。 (2)估计物体在某段时间内某一时刻的位移时，常 采用“以直代曲”的思想，将该段时间上的图象看成 直线，求出直线的方程，最后估计出物体在该段时 间内某一时刻的位移 [触类旁通] 2.(2024·湖南湘潭高二期末)某物体运动 1s后，其位移（单位：m)为y=2+2.在 2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度 为 ( A.5 m/s B.6 m/s C.8 m/s D.10 m/s 题型三平均变化率的应用 58 第六章 导数及其应用。 规律方法 [规范解答] (1).V= 3, 关于平均变化率的应用 根据平均变化率的意义，平均变化率可以衡量 ∴.r3= 3V 83V 1失分警示 V4π 不能正确解出 因变量变化的快慢，以及函数对应曲线倾斜程度的 r(V),扣3分. 大小.平均变化率绝对值的大小对应于因变量变化 .r(V)= 3V W4π· …(5分) 的快慢、曲线倾斜程度的大小， (2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化 [触类旁通] 3.甲、乙两人走过的路程s(t),s2(t)与时间t 33×1 率为1)一(0) -0 V4π ≈0.62(dmL), 的关系如图所示，则在[0，t。]这个时间段 1-0 1 内，甲、乙两人的平均速度甲，2的大小 (9分) 关系是 函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率为 r(2)-r(1)83×2 3×1 :-1失分警示卜 si(t) 2-1 N4π W4π 平均变化率计算 错误扣3分 B wa(t) ≈0.16(dmL). 。。4年年中车 (12分) A.vn>vz B.Un<vz 显然体积V从0L增加到1L时，半径变 C.v甲=Vz D.大小关系不确定 [缜密思维提能区 化快，这说明随着气球体积的增加，气球的 规范答题 求函数的平均变化率 半径增加得越来越慢 ……(15分) [典例](15分)已知气球的体积V(单位： 课堂小结 L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是 知识落实 技法强化 V(r)=3x. (1)求半径r关于体积V的函数r(V; (1)函数的平均 (1)物体在t到1十△1这段时间内 (2)比较体积V从0L增加到1L和从1L 变化率及几何平均速度=(1十△)一() △ 增加到2L半径r的平均变化率哪段半径 意义 (2)平均变化率的绝对值越大，曲 变化较快（精确到0.01）？此结论可说明什 (2)平均速度与 线y=f(x)在区间[x,x2]上越 么意义？ 平均变化率。 “陡蛸”，反之亦然。 [审题指导](1)直接求r(V)即可： (2)依据平均变化率的定义分别求解再进 温馨 提示 请完成[课后案】学业评价（十三） 行比较 59te n,n为奇效， 当n为奇数时 (2)由(1)可得cm Pn=Pn+l-an+1 a++专-吉×（合） 4 当n为偶数时， Pm=(b十bg十…十bn-1)+(a2十a4十…十an） (）1-+02+ 3- =[0+3+…+(m- +[()‘+(号)广'++（合）门 (3)证明 2n+5 因为d,=(2n+D(2n+3×2 1+n-1)+ 2 -()门 (2n+1)2"(2m+3)2m 所以T,-号27欢2+叶 1 1 1-4 (2n十1)2-可 -+-×（）广： 1 1 1 2m+3)23(2m+3)23· 第六章 导数及其应用 6.1导数 3.解析：△y=f(1+△x)-f(1) 6.1.1函数的平均变化率 =1+△x-1= △x W1+△x+1 课前案·自主学习 [教材梳理] ..Ay= 1+△x+1 导学1 [问题1][提示]自变量x的改变量为x2一x1,记作 答案 1 √/1+△r+1 △r,函数值的改变量为y2一y,记作△y 4.解析由图形知，所求平均变化率为： [问题提示利对战A来说是-器可以近 14.25-11.25=0.25(kg月). 24-12 似地刻画。 答案0.25 [问题3】[提示]国为器表示A,B两点所在直线的针 课堂案·互动探究 率，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡.这 [例1][解析]：△y=f(1十△x)-f(1)=(1+△x)2 就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡， 12=Ax2+2Ax, △x Ay-4r2+24z =△x十2. 反之，山路越缓 △x △x ⊙结论形成 1.(1)x2-x1 △y=2一y1△f-f（.x2)-f(x1) 0D音Ar=2时公是-r+2= △rx2-r1 △x E2一x1 2.斜率 （2)当Ar=1时是=a+2=3: 3.以直代曲 导学2 (3当4r=0.1时是4+2=21 [问题1][提示] 0=h(0.5)-h(0) (4)当4x=0.01时，Ay=△x+2=2.01. △x 0.5-0 =4.05(ms). [问题2]提示] 0=h(2）-hD=-8.2(m/s. [母题变式] 2-1 1.解析当△r越来越小时，函数f(.x)在区间[1,1十△x] ⊙结论形成 上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. h(t2)-h(t) 2.解析自变量x从1变到2时，函效f(,x)的平均变化 1 12-t1 2.平均变化率 率为2)-f) 2+号-1+D 2-1 [基础自测] 2 1.解析(1)因为规定闭区间[x1,x2],x1≠x2,故△x不 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为 等于0. 5+号-(3+) 14 (2)因变量的改变量△y可以等于0，也可以小于0. (5)-f(3) 5-3 15 (3)函数的平均支化率可以为0， △x 周为号<错所以函数f)=x+子在自变量x从3 (4)函数在一个区间的平均变化率等于这个区间端点对 变到5时函数值变化得较快. 应的函数图象上两点连线的斜率， [触类旁通] 答案(1)√(2)×(3)×(4) 2.Bx=2,Ax=0.1, 1.A函数f(x)在[0,3]上的平均变化率是3)0) 3-0 ∴.△y=f(x+△x)-f(x)=f(2.1)-f(2) -25-（-1D_26 =(2.12+1)-(22+1)=0.41. 3 20 [例2][解析]（1)所求平均速度为24-12=12(ms. [问题2][提示]当，点B沿曲线趋近于A时，割线AB 3-2 趋近于确定的位置，且kB无限趋近于切线AD的斜 (2)将x在[2,3]上的图象看成直线，则由(1)知，直线斜 率k. 率为12，且直线过点(2,12).因此，x与1的关系可近似 ○结论形成 地表示为x-12=12(1-2).令1=2.5，得x=18.即可 1.(1)PP。(2)通过P。的一条直线1 以估计t=2.5时质点的位移为18m [触类旁通] 2.(1)曲线y=f(x)在点(xo,f(:x)处的切线的斜率 (2)f(xo)(x-x0) 2.A当1=2时，位移为号×22+2×2=6， [基础自测] 当1=4时，位移为2×4+2×4=16， 1.解析(1)函数y=f(x)在x=xo处的导数f(x0)的几 何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值. 在2≤1≤4这段时间里，该物体的平均逵度为：- 16-6 (2)函数y=f(x)在x=xo处的导数f(x0)的几何意义 是函数y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线倾斜角的正 5m/s. 切值 [例3][解析](1)=s)一s1) =k0n" (3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x)的几何意义 t1-to 2-s红)-s) 就是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线的斜率. t2一41 一kAB (4)函数y=f(.x)在x=x0处的导数(xo)的几何意义 s(t3)一x(t2) t3-2 =k联 是曲线y=f(x)在点(o,∫(xo)处的切线的斜率，不是 点(x0,f(xa)与点(0,0)连线的斜率. 而由图象知kA<k出<k优，所以U<2<g, 答案(1)×(2)×(3)√(4)× (2)函数f(x)=3-x2在x0到x0十△x之间的平均变：2.ABD结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A、B,D 化率为 都不正确」 f(xo十△x)-f(xo)_[3-(xo+△x)2]-(3-x） 3.B了(xo)=0,即曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处切线 △x △x 斜率为0，所以切线与x轴平行或重合，故选B. -2x0·△x-(△x)2 4.解析点(5，f(5)在切线y=一x十8上， △x =-2.x0-△x, .f(5)=-5+8=3. 当=14=号时，平均交化率的值为-子 且f(5)=-1,∴.f(5)+f(5)=2. 当)=2，山r=号时，平均变化率的值为- 答案2 3 课堂案·互动探究 时，平均变化率的值为 当x0=3,△x= 3 [例1][解析] △s=2[1+(1.2+△)2]-2(1+1.22)= 因为一> 13>-19,所以画数fx)=3-x2在 4.8a+24,m兰=m4.8+2a)=4.8 3 xo=1附近的平均变化率最大. 即(1.2)=4.8，故物体在1.2s末的瞬时速度为4,8m/s [答案](1)1<2<(2)见解析 [母题变式] [触类旁通] 1.解析因为△s=2[1+(t0十△)2]-2(1十号) 3.B由题图知，1(1o)=2(to),s1(0)>s2(0)>0,所以 =4△t·t0+2(△)2. 1(t0)-s1(0)2(o)-s2(0 ,所以v甲<v乙.故选B. 所以)=m-m(o+2)=o: to 6.1.2导数及其几何意义 所以此物体在to时的瞬时速度为4lom/s. 课前案·自主学习 2解析国为o)-会-m（4十+20)=，降以 [教材梳理] 由410一12，得10=3，所以此物体在3s时的瞬时速度为 导学1 12 m/s. [问题1][提示] △8_8-3(1+△)2-8+3×12 △M [触类旁通] =-6-3△. 1,解析(1)求物体的初速度%，即求物体在1=0时的瞬 [问题2】[提示]当出趋近于0时，兰地近于一6.这时 时速度。 :物体在1=0附近位移的平均变化率为 的平均速度即为1=1时的瞬时速度 △s=f0十△)-f(0) ○结论形成 △ 1.△1趋近于0瞬时速度 29+3[(0+△1)-3]2-29-3×(0-3)2 2.(1)瞬时变化率 △ 导学2 =3△1-18， [问题1][提示]1不是曲线C的切线，l2是曲线C的 当△无限接近于0时，3△一18无限接近于一18. 切线. ∴.物体的初速度0=一18m时s. 21