5.5 数学归纳法-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·选择性必修第三册（配RJB版） *5.5 数学归纳法 学业标准 素养目标 1.了解数学归纳法的原理.（重点、易混点） 1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象核心素养。 2.掌握数学归纳法的步骤.（难点） 2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（难点） 理、数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 那么，这个命题对大于等于。的所有自然 数都成立 导学 数学归纳法 这种证明方法称为数学归纳法. 下图为多米诺骨牌： 2.数学归纳法的框图表示 若n=k(k≥n。)时命 验证n=n。时命 题成立，证明n=k十1 题成立 时命题也成立 归纳莫基 归纳递推 问题1能使所有多米诺骨牌全部倒下的条 命题对从。开始的所有的正整数n都成立 件是什么？ 基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个 可取值都是1. ( (2)所有与正整数有关的数学命题都必须 问题2你认为第二个条件的作用是什么？ 用数学归纳法证明， ( (3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法 证明时由n=k到n=k十1时，项数都增加 了一项 () (4)用数学归纳法证明等式“1十2十2十…十 ◎结论形成 2"+2=2"+3一1”，验证n=1时，左边式子应 1.数学归纳法的定义 为1+2+22+2. () 一个与自然数有关的命题，如果 2.用数学归纳法证明“1十a十a2十…十a+ (1)当n=n。时，命题成立： =1-a（a≠1，n∈N)”,在验证n=1 1-a (2)在假设n=k(其中k≥n。)时命题成立 时，等式左边是 ( 的前提下，能够推出n=k十1时命题也 A.1 B.1+a 成立. C.1+a+a2 D.1+a+a2+a 48 第五章数列。 3.(多选)下面四个判断中，不正确的是( ) A.式子1十k十k+…十k"(n∈N,)中，当 D设f)=十n2+…+十1 n=1时，式子的值为1 (m∈N),则f(k+1)=f(k)+3欢+2 1 B.式子1+k+k2+…+k"-1(n∈N)中， 1 当n=1时，式子的值为1+ 3k十3T3k+4 4.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当 C式子1+2+号十… 2n+1(n∈N) n=k时，表达式为1×4十2×7十…+ 中，当n=1时，式子的值为1+号十日 k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时，表 达式为 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 用数学归纳法证明等式 : 题型二 用数学归纳法证明不等式 例1 用数学归纳法证明：文十及6 1 例2 1 证明：n十十n十2十n十3 …十 n十n n 6X8+…+ 31 2n×(21+2)4(n+1) 4nN+. [自主解答] [自主解答] 规律方法 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两 点：一是要准确表述n=n。时命题的形式，二是要 准确把握由n=k到n=k十1时，命题结构的变化 特点，并且一定要记住：在证明n=k十1成立时，必 须使用归纳假设。 [触类旁通] 规律方法 1.用数学归纳法证明1一号十号}+…十 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n=k到n=k十1的推证过程 动+2++ueN 111 与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系， 需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小” 才能使用到=k时的假设，所以需要认真分析，适 当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法 证明不等式时常用的方法之一· (2)数学归纳法的应用，通常需要与数学的其他方 法（如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等） 联系在一起，才能完成证明过程. 49 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [触类旁通] 题型四用数学归纳法证明整除问题 2.用数学归纳法证明：十十导十…十， (一题多解一题多变) 例4用数学归纳法证明f(n)=3×52+1+ <1-1(m≥2，n∈N+). 2+1对任意正整数n,都能被17整除。 [自主解答] 题型三用数学归纳法证明几何问题 例求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个 数f(m)=nm23》(m≥4，n∈N). 2. [自主解答 [母题变式] (变条件、变结论)若将题目中的式子改成 “f(n)=(2n十7)·3”+9”，则能被36整除 吗？请给予证明. 规律方法 用数学归纳法证明几何问题的关键是找准增 加量，即从n=k到n=k十1时，所证的几何量将增 加多少，利用数形结合，通过不完全归纳法寻找 [触类旁通] 3.证明：凸n边形的内角和为(n一2)×180 (n≥3，n∈N+). [素养聚焦]本题通过考查用数学归纳法证明整 除问题，培养逻辑推理、数学运算核心素养。 规律方法 用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证 的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的 式子也能被某式（数）整除，这是用数学归纳法证明 整除问题的一大技巧】 50 第五章数列。 [触类旁通] 课堂小结 4.利用数学归纳法证明：x”一y2”(n∈N)能 知识落实 技法强化 被x十y整除. 应用数学归纳法时注意的问题： 数学归纳(1)第一步中的验证，对于有些问题验证 法的定义的并不是n=1,有时需验证n=2,n=3. (包括证题(2)“假设n=k时命题成立，利用这一 步骤) 假设证明n=k十1时命题成立”，这是 应用数学归纳法证明问题的核心环节. 温馨 提示 请完成[课后案」学业评价（二） 章末整合提升 1知识网络 图象法 数列与函 表示 数的关系 方法 解析法 数列的 有关概念 a。与8的关系 列表法 项数 分类 单调性 定义 通项公式 a.=a+(n-1)d 等差 数列 前n项 S=(arta)n 2 和公式 5.-na+n(-l)d 数列的应用 性质 定义 通项公式 a,=ang-l 等比 数列 前n项 当=1时，S=n1 和公式 当y≠1时，&=a1-2 19 性质 : 角度1观察归纳法 2深化提升 典题以下数表的构造思路源于我国南宋 数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中 (一)求数列的通项公式（题点多探多维探究） 的“杨辉三角形”。 求数列的通项公式是解决数列问题的核心 12345… 2017201820192020 3579… 403540374039 内容，常见的求数列的通项公式的方法有 81216 80728076 2028… 16148 以下几种： 51@ 、 公比为1.2的等比数列，所以a12一5000=6000× [问题2][提示]第二个条件给出了一个递推关系：当 1.211,即a12=6000×1.211+5000≈49400，所以2023 第k块倒下时，相邻的第十1块也倒下 年小王的年利润约为49400一10000=39400（元），故 [基础自测] C正确； 1.解析(1)不正确，如证明当n是大于或等于5的正整 对于D选项，两年后，小王手中现款为a24=5000十 数时，2m>n2,则0=5. 6000×1.223=5000+6000×1.212×1.211≈404600， (2)也可以用其他方法证明 故D正确，故选BCD. (3)有的增加了不止一项. [答案]BCD (4)观察左边的式子可知有n十3项，所以验证n=1时， [典例3][解析](1)由题意可得从第4行起的每行第 左边式子应为1+2+22+23. 三个数：3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4，所以第 答案(1)×(2)×(3)×(4)√/ (k≥4)行的第三个数为1+2+…十(k一2).在该数列 2.C当n=1时，左边=1+a十a2.故选C 中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项： 3.ABDA中，n=1时，式子=1十k: 为1+2+…十19=19X09+1D=190.故选C B中，n=1时，式子=1； 2 C中m=1时，式子=1+号十号 (2第1行的和为49二碧=2(3-1，设满足3，> D中，+1)=+z+3+ 1 1 1 1000的最小正整数为n,由于am在图中排在第i行第j 列(i,j∈N+且j≤)， :4,解析当n=k十1时，应将表达式1×4十2×7+…十 k(3十1)=k(k十1)2中的k更换为k十1. 所以有Sn=2(3-1)十2(32-1)+…+2(3-1-1)+ 答案1×4+2×7+…+k(3k+1)+(便十1)(3k十4)= 2(31-1)=2(3+32+33+…+3-1)-2(-1)+ (k+1)(k+2)2 2(3-1)=3-3-2(i-1)+2(3-1)=3+2·3-2i 课堂案·互动探究 -3>1000, 1 则6，j≥5，即图中从第6行第5列开始，和大于 [例1】[证明]1)当n=1时，左边=2X4-8,右边 1000.因为到第6行第5列共有1十2+3+4十5+5= 20项，所以最小正整数n的值为20.故选C. =日，等式成主 [答案](1)C(2)C (2)假设当n=k时，等式成立， [典例4幻[解析](1)数列“2,4”的一阶和数列为“2,6,4”， ; 对应S1=12:数列“2,4”的二阶和数列为“2,8,6,10， 即2录+☆6+6文8+…十2x2+西-D 1 4”,对应S2=30: 成立 数列“2,4”的三阶和数列为“2,10,8,14,6,16,10,14,4”， 当州=中1时2文+女6十文+叶 对应S3=84. 1 1 故猜想Sm+1=3Sn一6. 2k×(2k+2)+(2k+2)×(2k+4) 则有Sm+1-3=3(Sm一3)， k 1 所以数列{Sm一3)是首项为S1一3=9，公比为3的等比 4k+1D十4(k+1)(k+2) 数列，所以Sn一3=9·3m-1,即Sn=3+1+3. k(k+2)+1 = (k+1)2 (2)由于Sn=3+1+3, 4(k+1)(k+2)4(k+1)(k+2) (Sn-3)(2m十1) k+1 k+1 所以6，=1og(S,-3)·1og(S+1-3 =4k+2)4[(k+1)+1: =30+1(2m+1)_3+230+1 所以n=k十1时，等式也成立。 (n+1)(n+2)n+2n+1 由(1)(2)可得，对一切n∈N+,等式成立。 别工.=十6+…十6.=号-号+头-号 [触类旁通] 一3十…+ 3+-3+-3+；-g>2025 1.证明(0当a=1时，左边=1-名-名右边=号 m+2m+m+22 2 题成立 所以3m>(m+2)×113, (2)假设当n=k(k≥1)时命题成立，即 设cm=3m-(m十2)×113. 11 .cm+1一cm=2X3m-113, 1-++ 当m≤3时，{cm}递减，当m≥4时，{cm}递增， +中2t叶 又c6<0,c?>0,故m的最小值为7， 那么当n=k十1时， 5.5数学归纳法 1 1 课前案·自主学习 虚边-1-+号-++头+ 中2中+中2十++中2+2 1 1 1 [教材梳理] 导学 1 1 1 1 [问题1门[提示](1)第一块骨牌倒下； 一k十2十十3十…+2中有十2欢十2右边. (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 上式表明当n=k十1时命题也成立. 倒下 由(1)和(2)知，命题对一切正整数均成立： 17 ⑧@ [例2][证明]①当n=1时，左边=2>2云 111 [例4幻[解析]证法一(1)当n=1时， f(1)=3×53+24=17×23,能被17整除，命题成立. n=1时成立 (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时， ②假设当n=k(k≥1)时成立，即 f(k)=3X52+1+23+1能被17整除. 中+中2+中++中⊙贵 1 1、11 则当n=k十1时， f(k+1)=3X52k+3+230+4 1 那么当n=k十1时，左边一十2十十3十十k十k =52×3×52+1+23×23+1 =25×3×524+1+8×230+1 中+中中用广动+中2+中+…+ 1 =17X3×52张+1+8×(3X52k+1+23+1) +中中+中十中中>贵+中 1 =17×3×52+1+8×f(k). 由归钠假设知，f(k)能被17整除，又17×3×52张+1也能 111 被17整除，所以f(便十1)能被17整除. 2k+224 由(1)和(2)可知，对任意n∈N+,f(n)都能被17整除. n=k十1时也成立， 证法二(1)同证法一. 根据①②可得不等式对所有的n∈N+都成立. (2)假设n=k(k≥1，k∈N+)时， [触类旁通] f(k)=3X52+1+23跳+1能被17整除， 2.证明(1)当n=2时，左式==1， 则当n=k十1时，f(k+1)=3×52+3+23+4 Γ224 =25×3×524+1+8×23+1 右边=1周为分，所以不等式成立 =25(3×52k+1+23+1)-25×23k+1+8×23张+1 =25(3×52k+1+23+1)-17X23+1 (2)假设n=k(k≥2，k∈N+)时，不等式成立。 =25×f(k)-17×230+1】 由归钠假设知，f(k)能被17整除，又17X23+1也能被 17整除，所以f(k+1)能被17整除. 则当n=k十1时， 由(1)和(2)可知，对任意n∈N+,f(n)都能被17整除. 1 [母题变式] 证明(1)n=1时，f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能 -1-11品 被36整除. k(k十1)2 (2)假设n=k(k≥1，k∈N+)时， 1 =1一k十1 f(k)=(2k+7)·3+9能被36整除， 当n=k十1时， 所以当n=k十1时，不等式也成立. 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立】 f(k+1)=[2(k+1)+7]·3+1+9 =3[(2k+7)·3*+9]+18(3-1-1) [例3][证明](1)n=4时，四棱柱有2个过侧棱的对 : =3f(k)+18(3-1-1), 角面，号×4X(4-3)=2,命题成立. ∫(k)能被36整除，而3-1一1是偶数」 (2)假设n=k(k≥4，k∈N+)时成立，k棱柱的过侧棱的 .18(3-1-1)能被36整徐. .f(k+1)能被36整除。 对角面有f(k)=,3》(个). 2 由(1)(2)知，对n∈N+,f(n)能被36整除. 当n=k十1时，第(k十1)条棱A+1B+1与其余和它不 [触类旁通] 相邻的(k一2)条棱分别增加了对角面(k一2)个，而面 4.证明(1)当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y),能被 A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面个数： x十y整除，所以命题成立 fk+1D=fk)+(k-2)+1=,3》+k-】 (2)假设当n=(k∈N+)时命题成立，即x2跳一y2能被 2 x十y整除. =2-3k+2k一2=(k一2)(k+1) 那么，当n=k十1时，x2+1)-y2k+1)=x2·x2张-y2· 2 2 y26-x2·y2张+x2·y2=x2(x2-y2k)+y2(x2-y2). -(k+10[(k+1)-3] 因为x2一y2跳与x2一y2都能被x十y整除，所以 2 x2(+1D一y2+1)能被x十y整除，即当n=k+1时命题 ∴.n=k十1时，命题也成立. 也成立 由(1)(2)知，命题对n≥4，n∈N+都成立. 根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N+都成立， [触类旁通] 章末整合提升 3.证明(1)当n=3时，三角形的内角和为(3一2)×180° [深化提升] =180°，命题显然成立. [典题1][解析]由题意知，数表中的每一行都是等差 (2)假设当n=k(k≥3，k∈N,)时命题成立，即凸k边形 数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差 的内角和为(k一2)×180°，则当n=k十1时，由于由n= 为4，…第2019行公差为22018.第一行的第一个数 。到n=k十1，凸多边形增加了一条边，则其内角和增加 为2×21，第二行的第一个数为3×2°，第三行的第一 了180°，所以凸(k+1)边形的内角和为(k一2)×180°+ 个数为4×2，…第n行的第一个数为(n十1)X2n-2, 180°=(k一2+1)×180°=[(k+1)-2]×180°，所以n= 易知第2020行只有一个数M,则M=(1十2020)× k十1时，命题成立. 22018=2021×22018. 综合(1)(2)可知，命题对n≥3，n∈N+都成立. [答案]B 18