5.3.2 等比数列的前n项和-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

O数学·选择性必修第三册（配RJB版） .{b}是各项均为0的常数列，不是等比 课堂小结 数列.……(4分) 若q≠1，由于6.1=0+2一a1=g1-g 知识落实 技法强化 am+1一aqg"-g”- =9"(9-1) (1)y是x与之的等比中项→y2= g(g-1)-g, (1)等比中项 x之，反之未必成立 的定义 .{6n}是首项为b1=a2-a1=q-1,公比 (2)运用等比数列项的性质的关键 (2)等比数列 为q的等比数列.……(9分) 是发现各项的序号之间满足的 项的性质。 关系 (2)由(1)可知，当q=1时，bn=0; 当q≠1时，bn=bg1=(q-1)·qg-1, 请完成【课后案】学业评价（八） ∴.bn=(q-1)g-1(n∈N+).…(13分) 5.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 学业标准 素养目标 1.掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的1.通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑 前n项和公式解决一些简单的求和问题.（重点） 推理核心素养。 2.掌握等比数列前n项和的性质的应用.（重点） 2.借助等差、等比数列求和公式的综合应用，提升 3.掌握等差数列与等比数列的综合应用.（重点） 逻辑推理、数学运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 >教材梳理 ◎结论形成 1.等比数列的前n项和公式 导学1等比数列的前n项和公式 (q1) 问题1 如何求等比数列{an}的前n项和S,? 公比 首项 (g≠1) 等比数列前 n项和公式 (g=1) 问题2 当时89-产 (g≠1) 兰g即等比数列1a,)的前n项和可以写 2.等比数列的前n项和的变式 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn, 成Sn=Ag+B(q≠1且AB≠0)的形式， 其中A十B=0,反之成立吗？ 公比9≠1时，S.=0,1-9)=a(g-1) 1-9 9-1 -g产气道9=1时8 32 第五章数列。 (2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和 ⊙结论形成 公式是S,=1-g 等比数列前n项和的性质 1-q ,它可以变形为S。 (1)连续m项的和（如Sn,S2m一Sm,S3m 2gg+2g设A=品g上式可写 S2m)不为零，则它们仍构成 数列 成Sn= .由此可见，非常数列的 (注意：g≠一1或m为奇数) 等比数列的前n项和Sn是由关于n的一 (2)S+n=Sn十qS,(g为数列{an}的公比). 个指数式与一个常数的和构成的，而指数 (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比 式的系数与常数项互为相反数， 数列，则=g 当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1 S 的相应函数是正比例函数（常数项为0的 >基础自测 一次函数). 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 3.等比数列的前n项和公式的函数特征 对于q≠1的等比数列{a.}的前n项和 (1)若等比数列的首项a1=1,公比为2，则 .-41g2=9+产若设 前n项和S.= 1-2m-1 1-2 1-9 (2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn= a=72g则5，=-ag+a(a≠0，q≠1). a-a,q" 1-q ( 由此可知，当a≠0，q≠1时，数列{Sn}是函 数y=一ag十a图象上一群孤立的点. (3)等比数列1，一1,1，一1，…的前n项和 对于各项均为同一常数的等比数列，即 等于0. ) q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1.由此可 (4)设等比数列{an}的公比为q,前n项和 知，数列{Sn}是函数y=a1x图象上一群孤 为S,则S,=a1-9) 立的点 1-q 导学2等比数列前n项和的性质 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=() 问题1等比数列{an}的前n项和为Sn,公 A.3 B.4 比为q,Sm+m与Sm及Sm有怎样的关系？ D.6 为什么？ C.5 3.设首项为1，公比为号的等比数列{口，)的前 n项和为Sn,则Sn= A. 3-2a. 问题2在等比数列{an}中，若连续m项的 2 B.2a-3 2 和不等于0，则它们仍组成等比数列.即 3-a. Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…仍组成等比数 C. D.,3 2 列.怎样证明这个关系？ 4.在等比数列a,}中，若a=2a4=-4,则 公比q= ;|a1|+la2|+…+lan 33 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等比数列前n项和公式基本运算 题型二 等比数列前n项和性质的应用 例1在等比数列{an}中， (一题多变) (1)S2=30,S3=155,求Sm; 例2 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记S。为等比 (2S,=7S,=2求a: 数列{an}的前n项和，若S,=一5，S。= 21S2,则Sg= (3)若Sn=189,g=2,an=96,求a1和n. A.120 B.85 [自主解答] C.-85 D.-120 (2)已知等比数列{a,}的前4项和为1，且 公比g=2,则前12项的和为 [母题变式] 1.(变结论)若例2(2)条件不变，则等比数列 {an}的通项公式为 2.(变条件、变结论)若例2(2)的条件“前4项 和为1，且公比g=2”改为“前4项和为S4, 公比为g”,探究S4与S2的关系 规律方法 等比数列前n项和运算的技巧 [素养聚焦]本题主要考查等比数列的前n项和性 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共 质的应用，突出考查数学运算与逻辑推理核心素养 涉及五个量：a1,an,n,9,Sn,其中首项a1和公比q 规律方法 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. 等比数列前项和性质的应用技巧 (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法， (1)在涉及奇数项和S与偶数项和S%时，常考虑 通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用 其差或此进行筒化运算，若项数为2m,则？=q S 到整体代换，如g一q 都可以看作一个整体。 (54≠0)：若项数为2m十1，则5二a=g(S4≠0). [触类旁通] (2)涉及S.,S2m,Sn,…的关系或S。与Sm的关系 1.(1①)在等比数列口，中，S=名S=2,则 考虑应用以下两个性质： a.= ①等比数列前n项和为S(且S.≠0)，则Sn,S2n (2)设等比数列{an}的前n项和为S.,a1= Sn,Sm一S2m仍成等比数列，其公比为q(q≠一1)； 1,S。=4S3,则a4= ②等比数列{a,}的公比为g,则S+m=S,十qSa 34 第五章数列© [触类旁通 [触类旁通] 2.(1)(2024·江苏连云港高二月考)设Sn是3.记S。为等比数列{an)的前nm项和，已知 等比数列{an}的前n项和，若S,=4,a4十 S2=2,S3=-6. 2= 4,十a,=8,则 (1)求{an}的通项公式 (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等 A.2 差数列. c. D.5 (2)(2024·安徽池州高二期末)已知等比数 列{an}的公比q=2,前100项和为S1∞=90， 则其偶数项a2十a4十…十a1oo为( ) A.15 B.30 C.45 D.60 题型三等比数列前n项和的综合应用 例3已知等差数列{an}和等比数列{b}满 足a1=b1=1,a2十a4=10,b2b4=a5: (1)求{an}的通项公式. (2)求和：b1十b3十b十…十b2m-1 [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)注意方程思想与整体思想在 (1)等比数列的 解决等比数列基本运算中的 前n项和公式 规律方法 应用。 及函数特征. 等比数列前n项和的应用技巧 (2)在解决与等比数列前n项和 (2)等比数列前 (1)求和时注意利用定义判断数列是否为等比数 有关的问题时，要有分类意识对 n项和的性质. 列，确定首项与公比是关键。 公比讨论 (2)等比数列的前n项和的应用往往结合等差数列 温馨 的项的性质，要综合应用数列知识解题， 提示 请完成[课后案」学业评价（九） 35 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 第2课时 数列求和（习题课） 学业标准 素养目标 1.通过具体实例，理解并掌握数列的分组转化求和法. 2.通过具体实例，理解并掌握数列的裂项求和法.（重点） 通过数列求和常用方法的学习与应用，培养 3.通过具体实例，理解并掌握数列的错位相减法.（重点、难逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养 点、易错点) 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 基础自测 ! 2.等比数列{an}前n项和为Sn=3-2十k,则 实数的值为 () 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） A号 (②)数列)的前m项和不能用错位 D-日 3.(多选)在等比数列{an}中，首项a1=1,若 相减法求和。 ( 数列{an}的前n项之积为T,且T= (3)数列n十D 的前5项和为导( 1024,则该数列的公比的值为 () (④数列(-)”门的最大值为子，最小值 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与 为-是 偶数项的和之比为 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 分组转化法求和 规律方法 例1已知数列{cn}的首项c1=3,cn=2"p十 分组求和法的常见类型及解法 nq(n∈N+,p,q为常数)，且c1,c4,c5成等 a,=b.±c(b.1.{c}为等差数列或等比数列 差数列.求： 求{a.】 a,bn为奇数 (b.,c}为等差数列或 分组 (1)p,q的值： 的前n cn为偶数 等比数列) (2)数列{cn}的前n项和Sn, 项和 a=b.±cm数列{bl,c】易于求得前n项利 [自主解答] [触类旁通] 1.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)已知{am》 是等差数列，{bn}是等比数列，且a=b=1, b2=3,a5=b3. (1)求{an}的通项公式； 36 第五章数列O (2)设cn=an十bn,求数列{cn}的前n项和.：[母题变式] (变条件、变结论)例2原有条件不变，令 (a.一1)(a+1-),设数列(c,}的前n an cn 项和为T.,求证：Tn<1 题型二裂项相消法求和 (一题多变) 例2在数列{an}中，a1=2,点(an,a+1) (n∈N+)在直线y=2x上， (1)求数列{an}的通项公式； 规律方法 裂项法求和是数列求和的一种常用方法，它的 (2)若bn=log2an,求数列 bn·b+1 的前 基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂成两 n项和Tn 项)，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数 [自主解答] 几项外，其余各项都能前后相抵消，进而可求出数 列的前n项和.常用到的裂项公式有如下形式： ① 1(1_1） (m十k)=友（n一n十k ② √n十k十n 是+-m. [触类旁通] 2.已知数列{an)}是递增的等比数列，且a,十 a6=40,a5=16, (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{am}的前n项和，bn= a+1,求数列{b)的前n项和. S,S+1 37 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型三错位相减法求和 [触类旁通] 例已知{an}为等差数列，前n项和为S, 3.(2024·全国甲卷·理)记S,为数列{an} (n∈N+),{b,}是首项为2的等比数列，且 的前n项和，已知4Sn=3am十4. 公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1, (1)求{a.}的通项公式； S1=11b4. (2)设bn=(-1)-1nan,求数列{b,}的前n (1)求{an}和{bn}的通项公式 项和Tm (2)求数列{a2,b2m-1}的前n项和(n∈N+). [自主解答] [缜密思维提能区] 规范答题 数列求和的综合应用 [典例](15分)设{a,}是单调递增的等差 数列，Sn为其前n项和，且满足3S4=2S, a5十2是ag,a12的等比中项 (1)求数列{an}的通项公式； [素养聚焦]本题通过求等差、等比数列的通项公 (2)若数列{6，}满足+红十…+=3+1 a a2 a。 式及运用错位相减法进行数列求和，主要提升逻辑 一3(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tm 推理、数学运算核心素养， [审题指导]根据3S4=2S5,a5十2是ag, 规律方法 a1z的等比中项以及等差、等比数列的性 (1)一般地，若数列{an}是等差数列，{b.}是等比数 质，列出方程组求解； 列且公比为q,求数列{a,bn}的前n项和时，可采用 错位相减法。 先求，得6，再求和。 (2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公 [规范解答](1)设公差为d(d>0),依题 比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类 讨论。 意得 3(a+43=2a+5, ②在写S.和qgS.表达式时，应特别注意“错项对 (a+4d+2)2=(a1+2d0(a+11d0, 齐”，以便于下一步准确写出Sn ……………………(4分） 38 第五章数列。 2 所以-2T.=4×3+4×32+…+4X3” a1=2, 11 解得 或 (舍去). 4n·3"+1 d=2, d=- 2 11 =4×(3十32+…十3")-4n·3m+1 (6分) =4X31-3") ,一失分警示卜 1-3 -4n·3+1 所以an=a1十(n-1)d=2m.…(7分) 未整理出最后结 =(2-4n)·3+1-6, 论扣2分 (2)由2++…+b=3+1-3(m∈N+) 所以Tn=(2n-1)·3+1+3. …(15分》 a 得2+++b=1=3-3(m≥2，m∈N), 课堂小结 aa @n-l 知识落实 技法强化 两式相减得 :1失分警示卜… 般的数列求和，应从通项 =2·3(n≥2)， 未验证n=1扣2分. 2n 数列求和的常用方人手，若无通项，先求通项， 所以bn=4n·3"(n≥2). (10分) 法有： 然后通过对通项变形，转 (1)分组转化法求和.化为与特殊数列有关或具 当n=1时，b1=12也满足bn=4n·3”, (2)裂项相消法求和.备某种方法适用特点的形 所以bn=4n·3"(n∈N+).…(11分) (3)错位相减法求和.式，从而选择合适的方法 T,=4×3+8×32+12×33+…+4n·3", 求和 所以3T.=4×32+8×33+12×34+…+ 温黑 请完成[课后案】学业评价（十）、 4n·3m+1 (12分) 提示 阶段测评（二） 教考 衔接 数列中的奇、偶项问题 一、真题展示 三、类法探究 (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数 数列中的奇、偶项问题是把一个数列分成 列，bn= an一6，n为奇数， 记S,Tn分别为 两个新数列进行单独研究，利用新数列的 2an,n为偶数， 特征（等差、等比数列或其他特征）求解原 数列{an),{b}的前n项和，S=32,T3=16. 数列的问题 (1)求{an}的通项公式； (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 (2)证明：当n>5时，Tn>Sm ①含有（一1）”的类型； 二、真题溯源 ②含有{a2n},{a2m-1}的类型； (人教B版选择性必修第三册P15习题 ③已知条件明确的奇、偶项问题； 5-1BT5) 写出数列1,2,2,4,3,8,4,16,5，…的一个 ④数列中连续两项和或积的问题(a,十 通项公式 am+1=f(n)或am·a+1=f(n). (人教B版选择性必修第三册P59复习题 (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an} B组T7) 求S。时，我们可以分别求出奇数项的和与 已知{am}中，an+1+（-1)"am=2n-1,求 偶数项的和，也可以把a2k-1十a2u看作一 Sg的值 项，求出S2,再求S2k-1=S2一a2w: 39(2)由a3=0,得a2十d=0,则a2=-d, [母题变式] 所以a1=a2-d=-2d, 1.解析 由题意设此四个教分别为2，b,bg,a, 则an=a1+(n-1)d=(n-3)d, 9 因为a题是a6与ag+6的等比中项，所以a是=a6ak+6, b3=-8, 即(k-3)2d2=3d(k+3)·d,由d≠0，得k2-9k=0, 则有2bg=a十b, 由k≠0，解得k=9. ab2q=-80, 答案(1)B(2)C a=10, a=-8, [例2][解析](1)：3+8=4十7， 解得b=-2,或 b=-2, .由a4a7=-512,知a3a8=-512. q=-2, 5 解方程组a,=一512，且g为誉数， q=2· a3+ag=124, 得a4支a=128 所以这四个数分别为1，-24,10或-青-2，-5，-8 ag=1281a=-4(舍去)， 2.解析设三个数依次为 -,a,aqr 3a8一2 因为a·a·aq=512,所以a=8. .a10=a392=-4(-2)7=512. (2)方法一设此等比数列的公比为q,由条件得 因为（号-2+(ag-2》=2a a1q·a1g3+2a1q2·a1g+a1g3·a1q5=25, 所以2g2-5g十2=0， 即a1g(g+1)2=25,又am>0,故g>0, 所以q=2或9=2： 1 .a1g2(q2+1)=5, .a3+a5=a1q2+a1q=a1q2(q2+1)-5. 所以这三个数为4,8,16或16,8,4. 方法二a2a4十2a3a5十a4a6=25, [触类旁通] 由等比数列性质，得a号十2a3a5十ag=25, 3.解析设这四个数分别为a,aq,ag,aq3, 即(a3+a5)2=25,又am>0,∴a3十a5=5. 则a-1,aq-1,ag2-4,ag3-13成等差数列. [触类旁通] 2(aq-1)=(a-1)+(ag2-4), 即 2.解析(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以 2(ag2-4)=(aq-1)+(ag3-13), a2a6=(a4)2=16,解得a4=4,所以a5=a4q=8,故 选C. 整理得a9D3,解得a二3， ag(q-1)2=6,1 (2)方法一因为数列{an)是等比数列， 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 所以a5a6a7=a2=-27,所以a6=-3, 答案45 所以a2= 5.3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 所以a2as十aao十a6a0=aga6十ag+ a2 课前案·自主学习 =-3a:+9>a(+9=2n, [教材梳理] a2 导学1 当且仅当-3a2=- 即a2=-3时等号成主 [问题1][提示]设等比数列(an}的首项是a1,公比是 q,前n项和为Sn 方法二因为数列{am}是等比数列， Sn写成：Sw=a1+a1g十a1g2+…+a1g"-1.① 所以a5a6a7=ag=-27,所以a6=-3, 则gSn=a1q十a1g2+…+a1g-1+a1g.② 所以a2a6十a2a10十a6a10=a号+a号+a号≥2a4a8+9= 由①-②得：(1-q)Sn=a1-a1g". 2ag+9=2×9+9=27, 当且仅当a4=a8=-3时等号成立. 当9≠1时，S,=41-2, 答案(1)C(2)C 1-g; 当q=1时，由于a1=a2=…=an,所以Sn=a1 [例3][解析]设这四个效为，a,aq,b, [问题2][提示]成立，即若数列{an}的前n项和Sn= 9 Aq+B(g≠1且AB≠0)，且A+B=0,则数列{an}是 由题意4·a·ag=a3=216,解得a=6, 等比数列. 则这四个数为5,6,5gb, 证明如下：当n=1时，a1=S=Aq十B=A(q一1)： 9 当n>2时，an=Sn-Sm-1=Ag-Ag-1=(q-1)· 12q-6+b, 由题意，得6+6十6g十b=21, Aq-1,又a1=A(g-1)满足am=(g-1)Ag1, g ∴.an=A(q一1)g”-1,故数列{an}是等比数列. 2 1 ○结论形成 解得 9=3'成或9=2' ! 6=2,6=0. 1.na1 a(1-g) alanq 1-q nai1-q 故这四个数为9,6,4,2或12,6,3,0. 2.(1)ma1 (2)-Aq+A 11 @ 导学2 [问题1][提示]Sm+m=Sm十gmS.证明如下： （3由S,1二2，a,=a1·q1以及已知条件得 1-9 左边=Smtm=(a1十a2十…十am)+(am+1十am+2十 189=a1-96×2 +am+n)=Sm+(aiqm+azqm+..+anqm) 1-2 =Sm十(a1十a2十…十an)qm=Sm十qmSn=右边， 96=a1·2m-1, ∴.Smtn=Sm十gmSa a1=3,2-1=95=32,n=6. [问题2][提示]：在等比数列{an}中有amtm=amg”, 3 ∴.Sm=a1十a2十…十am, [触类旁通] S2m一Sm=am+1十am+2十…十a2m=a1qm十a2gm+… 1.解析(1)由题意知{an}的公比g≠1， 十anqm=(a1十az十…十am)gm=Sm·qm. 由5=7s=2 同理S3m一S2m=Sm·q2m,…, a1(1-q3) 在Sm≠0时，Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,,仍组成等比 2 ，① 数列. 得 1-9 O结论形成 a4-2-9@ 1-g (1)等比 由②÷①，得1+q3=9, [基础自测] 1解折(S.-二登 g=2,代入⑩得a1=7a,=号×21=2 (2)当q=1时，不符合S6=4S3: (25.-a1二a9(g≠1D. 19 当g≠1时，10g）-4.@101二） s-贵-1四 1-9 1-g1 ∴1十g3=4,得g3=3, (4)不要忽略当q=1时，Sm=a1. 故a4=a1q3=1×3=3. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 答案(1)2"-2(2)3 2.B3S3-3S2=3a3=a4-a3→a4=4a3→q=4. [例2][解析](1)S6=21S2,∴.1-q5=21(1-q2), a.ca,-(侵)， +g-20-0d=4爱-1+0=1n, .S8=17×(-5)=-85,选C 所以Sn= =3-an 1-3 21 (2)因为S8-S4=a5十a6十a7十ag=qS4=24=16, 所以S8=17. 4.解析 “a4=292=-4g=-2. 又因为S4,S8一S4,S12-S8成等比数列， 所以(S8-S4)2=S4·(S2-S8), a.=2×(-2-1la,=2r3, 即162=S12-17,所以S12=273. [答案](1)C(2)273 Aal+la+…+2=21-29 [母题变式] 1-2 -=2-1 1 2 1.解析由S,=1,g=2,得11二2）=1， 答案-221-日 1-2 课堂案·互动探究 即(2-1)a1=1,所以a1=方： a1(1+g)=30, [例1][解析](1)由题意知 所以a,=a·g=2 a1(1+q+g2)=155, 1 解得a5· /a1=180, 答案a,=方·2- 5 g=5,q=-6 2.解析由S12=S4十a5十a6十a,十…十a12 =S4十q4(a1十a2十…+ag) 从而5=号×5t1-号或S 1o0×1-(-号)门 =S4+g(S4+a5+a6+a?+a8) 4 11 =S4十g[S4+g(a1+a2十a3十a4)] (2②：s≠28g1,又8=子s=2, =S4十g4S4+q8S4=S4(1+g+g8). [触类旁通] a1(1-g3)_7 ① 2.解析(1)由题意，得S6一S3=8,S6=S3十8=4十8= 1-9 2, a11-g)-63 12,因为S3,S6-S3,Sg-S6,S12一S9成等比数列，故 1-q 2 ② S6-S3_S-S5_S12-S9 ②÷①得1十q3=9,∴.q=2. S3 S6-S3 S9-S6' 将g=2代入①中得a1=2 1 即82=4(Sg-12),解得Sg=28, 则Sg-S6=28-12=-16, a,=a1g1=号21=22，pa,=2. 片以1g=85a28,5=0,故爱-8-5 12 (2)设S=a1十a3十…十ag9, (2)由(1)知cn=2m+n, 则a2十a4十…+a1o0=(a1十a3十…+ag9)q-2S, 所以S.=(2+22+…+2m)+(1+2+…+n)=2m+1- 又因为S10=a1十a2+…十a1o0=90, 所以3S=90,S=30, 2+n(n+1) 2 所以a2十a4+…十a1o0=2S=60. [触类旁通] 答案(1)D(2)D 1.解析(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, [例3][解析](1)设等差数列{am}公差为d, 因为a2十a4=2a3=10, 又a1-=16=3,所以g-答-3 所以a3=5=1十2d,所以d=2.所以an=2n-1. 则bn=b1×g-1=3m-1, (2)设{bn}的公比为q,b2·b4=a5→qg3=9, 所以q2=3,所以{b2m-1》是以b1=1的首项，9'=g2=3 则a6=bg=32=9,所以d=5二4=2， 5-1 为公比的等比数列，所以b1十b3十b5十…十b2m-1= 则an=2n-1. 1·(1-3")_3”-1 (2)由(1)可得cm=am十bn=2n-1十3m-1, 1-3 2 设数列{cn}的前n项和为Sn, [触类旁通] 3.解析(1)设公比为q,因为S2=2,Sg=一6， 则Sn=1+3°+3+31+5+32+…+2m-1+3m-1 所以S3-S2=a3=-6-2=-8, =(1+3+5+…+2m-1)+(30+31+32+…+3m-1) 又S2=a1十a2=2,可得g2+4q十4=0，所以q=-2. -n1+2m-D+3°×0-32=m2+3,1. 2 1-3 2 又a3=a1g2=-8,所以a1=-2, 所以an=a1·q-1=(-2)" ! [例2][解析](1)由已知得a+1=2a,所以2+中1=2. an (2)由(1)得5，-11二g2--21-(-20] 又因a1=2,所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比 1-9 1-(-2) 数列，所以an=a1·2m-1=2"(n∈N+). =号[(-2)-10， (2)由(1)知，an=2”,所以bn=log2an=n, 1 1 则5+1=号[(-2)+1-1,5+2=号(-2)+2-1， 11 所以6，+1…a+D元n中 所以S1+S+2=号[(-2+1-11+号[(-2+2-1 所以工.=(}-)+（合一3）+（号-）+…+ =号[2(-2-21=[(-20-1， ()=1 又25.=号(-2-10， [母题变式] 证明由例2(1)知an=2, 即Sn+1+Sn+2=2Sm, an 所以Sm+1,Sm,Sm+2成等差数列. 6.-a.-1Da+1-D(2"-D(2+1- 第2课时数列求和（习题课） 11 课前案·自主学习 2m-12+1-1 [基础自测] 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 工.=1+a+…+6=(2)十 2DS=33+k=号·3”+ (）+(品)++（马） 根据等比数列前m项和S。的有关性质可得及=一号 =1-21 2+i-1 3.AD设等比数列{an》的公比为q,因为首项a1=1, 1 T5=1024,所以15×g+2+3+4=1024,即g10=210,解 2+1-1>0,…T<1. 得q=士2. [触类旁通] 4.解析S特=n十1)(a:十a2+ 2.解析(1)设等比数列{an}的公比为q, 2 ,S%=n(a2十a2n) 2 “a1十a2x+1=a十a2a…st=+1 依题意得5十a59=40, S供n 答案刀十1 即16+16g=40, 课堂案·互动探究 解得q=2或9=2' 1 [例1][解析](1)由c1=3,得2p十q=3. 1 因为c4=24p十4q,c5=25p+5g, 所以=2，或q=2 a1=1,1 且c1十c5=2c4, a1=256. 所以3+2p+5q=25p十8g, 因为数列{an}是递增数列，所以q=2,a1=1. 解得p=1,9=1. 故an=a1q-1=2n-1. 13 ⑧@ (25-10二2_号=2-1. 1-91-2 所以当≥2时S1=”号a1十， aw+1- S+1-Sa=1-1 两式相减，得2an=nan十n-(n-1)a-1-(n-1), 又.-sSm+1S+1SSm+1 即(n-2)an=(n-1)am-1-1. 所以工.=++…十6=写司+写号+叶 所以(n-1)am+1=nan-1, S. 两式相减，得(n-1)aw+1一(n-2)au=nan一(n-1) 1 1 an-1,即2an=am-1十am+1 所以数列{an}是等差数列， [例3][解析](1)设等差数列{an}的公差为d,等比数 列{bn}的公比为q.由已知得：b2十b3=12, 当m=1时，a1=2a1十1D,解得a1=1, 即b1(q+q2)=12,又b1=2, 所以g2+q-6=0,因为q>0,所以q=2, 所以公差-写=1， 所以bn=2",由b3=a4-2a1,S11=11b4, 所以an=1十(n-1)=n(n∈N+). 得，3d-a1=8,a1+5d=16, (2)bn=(-1)a=(-1)nn2, 联立解得，a1=1d=3,所以an=3n-2, 当n为奇数时，Tn=-12+22-32+…十(-1)×n2= 所以，{an}和{bn}的通项公式分别为 [1+2+…+(n-1)]-2=-n2+n, 2 an=3n-2,bn=2". 当n为偶数时，Tn=-12+22-32+…十n2=1十2十… (2)设数列{a2nb2m-1}的前n项和为Tm, 由a2m=6n-2,b2m-1=2X4"-1, 十n=2+n 2 有a2b2m-1=(3n-1)×4", 故Tm=2×4+5×42+8×43+…+(3m-1)×4", （_2十n,m∈N+且n是奇数， 2 综上所迷，Tn= 4T.=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4m+ 心十n,mEN+且n是偶数. (3n-1)×4+1, 2 上述两式相减，得一3Tm=2×4+3×42+3×43+…十 [典例2][解析](1)因为a2十ag,ag十a4,a4十a5成等 3×4-(3m-1)×4+1=12X1-49）-4-（3m-1）× 差数列，所以2(a3十a4)=a2十a3十a4十a5, 1-4 所以as一a3=a4-a2, 4m+1=-(3n-2)X4m+1-8. 得(k-1)a2=(k-1)a3, 得T.=3n22×4+1+8 因为k≠1，所以a2=a3=2, 3 31 所以k=3=2, 所以，数列(a2b2-1)的前n项和为3m二2×4m+1十8 3 12宁，n为奇数， [触类旁通] 得an= 2,n为偶数. 3.解析(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4, 2m-1,n为奇数， 解得a1=4, (2)由(1)知，bn= 当n≥2时，4Sm-1=3am-1十4， 受n为偶数 所以4Sn-4Sm-1=4an=3am-3am-1, 当n为偶数时，设n=2k, 即an=一3aw-1, 可得Sn=S2a=b1十bg十…+b2k-1十b2十b,+…+b2 而a1=4≠0，故an≠0，故01=-3， an-1 =20+2+…+24-2+2(2+4+…+2) 所以数列{an}是以4为首项，一3为公比的等比数列，所 以an=4·（-3)-1 苦+号×2+号2+， 2 3 2 (2)bn=(-1)m-1·n·4·(-3)n-1=4m·3-1, 即8-”+at2, 3 所以Tm=b1十b2十b3十…十bn=4·30+8·31十12· 当n为奇数时，设n=2k-1, 32+…十4n·3m-1, 可得Sn=S2k-1=b1十bg+…+b2k-1+b2十b,+…+ 故3Tm=4·31+8·32+12·33+…+4m·3", 所以-2Tn=4+4·31+4·32+…十4·3"-1-4n·3m b-2=20+2++2-2+2[2+4+…+(2k-2】] =4+4.31-38-4n·3 1-3 -+x2+-=-山 2 =4+2·3·(3m-1-1)-4n·34=(2-4n)·3m-2, 4华-1+1D 3 2 所以Tm=(2n-1)·3+1. 教考衔接1数列中的奇、偶项问题 即Sn-2+1-1+2-1 3 8 [典例1]〔解折]①国为受-之a,+1D. 号+a专2n为%数， 综上，Sn= 所以S,=受a,+1), 2+1-1+21 3 8,n为奇数. 14