5.3.1 等比数列-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第五章数列。 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 第1课时 等比数列的定义 学业标准 素养目标 1,理解等比数列的概念，掌握等比数列的判断 1.借助等比数列概念的学习，培养数学抽象核心素养 与证明方法.（重点）》 2.借助等比数列通项公式的推导，提升逻辑推理核心素养。 2.了解等比数列与指数函数的关系.（难点） 3.通过等比数列通项公式的运用，提升数学运算，逻辑推 3.会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公 理核心素养。 式解决一些简单问题.（重点、难点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (3)公比q是每一项（从第2项起）与它的 前一项的比，不要把分子与分母颠倒. 导学1等比数列的定义 (4)等比数列中的任何一项均不能为零。 问题1 阅读课本第29页，数列①②③有什 导学2等比数列的通项公式 么共同特点？ 问题1如果等比数列{an}的首项为a1,公 比为q,你能用归纳的方法给出数列{an} 问题2 能不能归纳出这三个数列的通项 的通项公式吗？ 公式？ ⊙结论形成 等比数列的定义 问题2 除了利用归纳法，你还有其他的方 如果数列{a,}从第2项起，每一项与它的 法推导等比数列的通项公式吗？ 前一项之 都等于同一个常数g,即 恒成立，则称数列{a,}为等比 数列，其中q称为等比数列的 [微点睛]对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项 没有前一项 ⊙结论形成 (2)每一项与它的前一项的比必须是同一 1.等比数列的通项公式 个常数（因为同一个常数体现了等比数列 如果等比数列{an}的首项是a1,公比为q, 的基本特征) 则等比数列的通项公式为 25 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 2.等比数列的单调性 (3)等比数列{an}中，a1,a4a7,a1o,…仍然 单 调 比 是等比数列， ) 性、 g>1 0<q<1 q=1 90 (4)数列（一1），（一2）2，（一1）3，…是等 首项 比数列 a1>0 数列 数列 摆动 2.已知数列a,a(1一a),a(1一a)2,…是等比 数列 a1<0 数列 数列 数列 数列，则实数a满足 ( A.a≠1 B.a≠0或a≠1 基础自测 C.a≠0 D.a≠0且a≠1 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 3.在等比数列{an}中，a1=8,a1=64,则a3= (1)一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于常数，这个数列一定是等比 A.16 B.16或-16 数列. ( C.32 D.32或-32 (2)当等比数列的公比q>1时，一定是递 4.在数列{an}中，a,=2,且对任意正整数n, 增数列. 3a+1一an=0,则an= 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等比数列的通项公式及应用 规律方法 (一题多解) a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两 例i在等比数列{an}中， 个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法， (1)a1=3,a3=27,求am; 先求a1,g,再求am,方法二是运用通项公式及方程 (2)a2十a5=18,a3+a6=9,um=1,求n. 思想建立方程组求a1和q,这也是常见的方法. [自主解答] [触类旁通] 1.(1)(2024·山东淄博高二期中)等比数列 {am}满足：a1十a2=3,a5=2a1,则a。等于 A.128 B.256 C.512 D.1024 (2)(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)已知 {an}是各项均为正数的等比数列，且a,= 3a3十4a2,则公比g ( A.-1或4 B.4 C.2 D.1 题型二等比数列的判定 (一题多变) 例2 已知数列{an}的前n项和为Sm,Sn= 3(a。-1)(n∈N). 26 第五章数列。 (1)求a1,a2； : [素养聚焦]本题主要考查等比数列的判定，突出 (2)求证：数列{an}是等比数列. 考查逻辑推理和数学运算核心素养 [自主解答] 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{a,}满足a,=q(q为常数且不 为零)或“，=q(n≥2，q为常数且不为零)，则数 a 列{a.}是等比数列. (2)通项公式法：若数列{a.}的通项公式为a. a1g"1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. (3)构造法：在条件中出现a+1=kam十b关系时， 往往构造数列，方法是把a+1十x=k(a,十x)与 [母题变式 a+1二ka。十b对照，求出x即可. 1.(变条件、变结论)将本例条件“S,= [触类旁通] 君a,-1m∈N,)”改为ra=1a2, 2.(2024·安徽合肥高二期末)已知数列{am} 2a十a,an+1”,试证明数列{an}是等比数 满足：a1=2,a+1= 2a。+2. 列，并求{an}的通项公式. (1)求证：{an一4}是等比数列： (2)求数列{an}的通项公式. 2.(变条件、变结论)将本例的条件改为“a1= 名且a10,十号”，求证数列a,一号引是 等比数列. 27 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型三等比数列的实际应用 (2)求数列{a,}的通项公式 例某人买了一辆价值13.5万元的新车， (3)求满足an≥240的最小正整数n. 专家预测这种车每年按10%的速度贬值. 「审题指导]根据第一问可知需构造数列 (1)用一个式子表示n(n∈N,)年后这辆 车的价值； b,=g十1，利用定义证明即可，进而求出 2 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他 an,第(3)问也迎刃而解。 大概能得到多少钱？（精确到0.1） [规范解答] (1)证明 …失分警示 [自主解答 若未能构造出新 因为an+1=4an十2+1 的等比数列，则 本题不得分. 所以岩=2·会+1， 2 所以2+1=2（经+小 ……（4分) 即bn+1=2bm …失分警示卜 未注明背项，公 +1=2, 又b,=2 比则扣1分。 所以数列{b,}是以2为首项，2为公比的等 规律方法 比数列.…(6分) 等比数列实际应用的求解步骤 (2)由(1)可得b,=2”,a,=4”一2”. 0年4g (1)构建等比数列模型。 (8分) (2)明确a1,9,n,an等基本量. (3)由4”-2"≥240， …小失分警示卜一 (3)利用a。=a1g求解. 未能准确解出n的 即4”-2"-240≥0， :范围、下结论的 (4)还原为实际问题. 扣2分. 解得2≥16(2≤-15舍去)， [触类旁通] (11分) 3.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找 解得n≥4， 回了5个伙伴：第二天，6只蜜蜂飞出去， 所以满足am≥240的最小正整数n为4. 各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴 的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归 (13分) 巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为 课堂小结 A.55989 B.46656 知识落实 技法强化 C.216 D.36 [缜密思维提能区 规范答题 (1)方程思想：等比数列的基本量 (1)等比数列 等比数列的判定与通项公式的应用 a,q. 的定义 [典例](13分)已知数列{an}满足a1=2, (2)等比数列的每一项都不等于零， (2)等比数列 am+1=4an+2"+1(n∈N). 判断等比数列时要特别注意，如若 的通项公式 am+1=2a。,则{an}未必是等比数列. （)令么=经十1，求证：数列6，)为等比 数列. 温馨 是 请完成[课后案」学业评价（七) 28 第五章 数列。 第2课时 等比数列的性质 学业标准 素养目标 1.理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项 1.借助等比中项的学习，提升数学抽象核心素养. 2.掌握等比数列中两项及多项之间的关系.（重点、易错点） 2.通过等比数列性质的探究与应用，培养逻辑 3.能灵活运用等比数列的性质解决问题.（难点） 推理、数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ⊙结论形成 1.等比数列的第二通项公式 导学1等比中项 等比数列的通项公式为：an 问题1 若三个数a,b,c成等比数列，那么 (g≠0)，推广形式为：am 它们之间的关系应如何表示？ (n,m∈N+,q≠0). 2.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，且s,t,p,q为正 问题2 等比数列中的任意连续三项之间什 整数， 么关系？ (1)如果s十t=p十q,则有 (2)如果2s=p十g,则a= 业基础自测 ©结论形成 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 等比中项 (1)等比数列{an}中a2·a6=a.（) 1.定义 (2)若G是a与b的等比中项，则G=√ab. 如果x,G,y是等比数列，那么称G为x与 y的 (3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定 2.表示 是等比数列. ( ) G=土xy. (4)在等比数列{an}中，a3aasa;=81,则 导学2等比数列的性质 a1ag的值为士9. 问题1类比等差数列通项公式的推广，你 2.(多选)2+3与2一√3的等比中项为( 能得出等比数列通项公式推广的结论吗？ A.-1 B.1 C.2 D.-2 3.已知各项均为正数的等比数列{an}中， 问题2 在等比数列{an}中，a号=a1ag是否 ajazas=5,aasas=10,a:asas=( 成立？a后=a3a,是否成立？a=aw-2an+2 A.52 B.7 (n>2)是否成立？ C.6 D.42 4.在等比数列{an}中，an>0,且a1·ao=27, log&a2十log3ag= 29 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等比中项及其应用 题型二等比数列性质的应用 (一题多解) 例等比数列{a,}的前三项的和为168， 例2(1)在等比数列{an}中，已知aa,= a2一a5=42,求a5,a7的等比中项. -512,a3十a8=124,且公比为整数，求a1o [自主解答] (2)已知数列{an}为等比数列，且an>0, a2a4十2a3a5十u1a6=25,求a3十a5的值. [自主解答] 规律方法 由等比中项的定义可知8=名>G=ab一 G G=士√ab.这表明：只有同号的两项才有等比中 项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反 数.异号的两数没有等比中项.反之，若G=ab,则 : 8=名甲e,66成等比数列.所以，G6虎等北 数列台G=ab(ab≠0). [触类旁通] 规律方法 1.(1)(2024·黑龙江齐齐哈尔高二期中)在 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐 各项为正的等比数列{an}中，ag与a1o的等 含条件，利用性质，特别是性质“若s十t=p十q, 比中项为3，则1oga十loga13=（ ) 则a,·a,=a。·a,”,可以减少运算量，提高解题 A.1 B.2 速度. C.3 D.4 [触类旁通】 (2)(2024·山东济南高二期末)设等差数 2.(1)(2024·安徽六安高二期中)已知等比 列{an}的公差d≠0，且a=0,若a是a6 数列{an}的各项均为正数，公比g=2,且 与a+6的等比中项，则k ( 满足a2a6=16,则a。= () A.5 B.6 A.2 B.4 C.9 D.10 C.8 D.16 30 第五章数列。 (2)(2024·河北承德高二期末)已知等比：2.（变条件、变结论）三个数成等比数列，其积 数列{an}满足a5aa,=一27，则a2a6十 为512，如果第一个数与第三个数各减去2， a2a1o十a6a1o有 ( 则这三个数成等差数列，求这三个数， A.最小值-9 B.最大值18 C.最小值27 D.最大值-81 题型三灵活设项求解等比数列 (一题多变) 例有四个数，其中前三个数成等比数列， [素养聚焦]本题主要考查等比数列的概念及其性 其积为216，后三个数又成等差数列，四个 质的应用，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养 数的和为21，求这四个数. 规律方法 [自主解答] 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为 -.a.aq. (2)四数成等比数列，一般可设为只，a,ag,ag2或 a,ag,ag,ag,但前一种设法的公比为g(只适合 数列的各项同正或同负) 3)五数成等比数列，一般可设为。， ,a,aq,aq. [触类旁通 3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减 去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和 是 缜密思维提能区] 规范答题 [母题变式 等比数列综合题 1.(变条件)若将本例的条件改为“前三个数 [典例](13分)在等比数列{an}中，a1=1, 的积为一8，后三个数的积为一80”，其他条 公比为q(q≠0)，且bn=a+1一an… 件不变，试求这四个数， (1)判断数列{b}是否为等比数列？说明 理由： (2)求数列{bn}的通项公式， [审题指导] 求a,的通项公式→ 分q=1和g≠1 分g=1和g≠1 分别判断 分别求b 工规范解答] (1)等比数 …失分警示卜 列{an}中，a1=1,公比为q, 若漏掉讨论q1, 则丢2分. …an=a1g-1=g-1(g≠0)， (2分) 若q=1,则an=1,bn=am+1一an=0, 31 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） {b}是各项均为0的常数列，不是等比 课堂小结 数列.…………… (4分) 若g≠1，由于b1=0+2一a出=g+1-g 知识落实 技法强化 b a+1一aaq"-g =9(g-1) (1)y是x与x的等比中项→y= (1)等比中项 g1(g-1)=4: x,反之未必成立。 的定义 .{b}是首项为b=a2-a1=g-1,公比 (2)运用等比数列项的性质的关键 (2)等比数列 为q的等比数列，……………(9分) 是发现各项的序号之间满足的 项的性质。 关系 (2)由(1)可知，当q=1时，bn=0: 当q≠1时，b=bg1=(q-1)·g”-, 温 请完成[课后案」学业评价（八） .bn=(q-1)g”-(n∈N+).…(13分) 5.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 学业标准 素养目标 1.掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的1.通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑 前n项和公式解决一些简单的求和问题.（重点） 推理核心素养。 2.掌握等比数列前n项和的性质的应用.（重点） 2.借助等差、等比数列求和公式的综合应用，提升 3.掌握等差数列与等比数列的综合应用.（重点） 逻辑推理、数学运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初咸 教材梳理 ○结论形成 1.等比数列的前n项和公式 导学1等比数列的前n项和公式 (g=1) 问题1 如何求等比数列{an}的前n项和Sn? 公比、 首项 (g+1) 等比数列前 n项和公式 q=1) 问题2 当91时S-4二4）=一4 1g9"+ g≠) 产，即等比数列1a,)的前n项和可以写 2.等比数列的前n项和的变式 (1)等比数列{an}的前n项和为Sw, 成S.=Aq”十B(q≠1且AB≠0)的形式， 其中A十B=0,反之成立吗？ 公比9≠1时，5.=a1-9)=a(g-1) 1-g 9-1 号兴g品当9-1时8 32[触类旁通] (3)a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项，q3为公比的等比 3.解析(1)设其公差为d, 数列 a1+7d=-6, (4)由于一1可能为0，所以此数列不是等比数列. 由题意可得 a+a=18 答案(1)×(2)×(3)√(4)X 2.D等比数列中不能有为0的项，故a≠0且a≠1. 解得a1=8,d=一2， 所以an=a1+(n-1)d=10-2r,n∈N+. 又：a1-@）=1-a=qg≠0，也需a≠1. (2)设数列{an}的前n项和为S,则由(1)可得 综上，a≠0且a≠1. S.=8m+nm21D×(-2)=-m2+9m,n∈N+, 2 3.C由a4=a1g,得q23=8,即q=2,所以a3=24=32. 由(1)知an=10-2n,令an=0,得n=5, 4.解析3aa+1一am=0, 当n>5时，an<0, an+=1 当n≤5时，可得Tn=|a1|十|a2|十…十|anl an ，因此a是以子为公北的等比数到， =a1十a2+…十an=-n2+9n, 当n>5时，可得Tn=a1|+la2十…十lan 又41=2，所以4，=2x(）广 =a1十a2十…十a5-a6-ag-…-aun =S5-(Sn-S5)=2S5-Sm, 答案2x(号) 因为55=45-25=20， 课堂案·互动探究 所以Tm=40-(-n2+9n)=n2-9n+40, [例1门[解析](1)a3=a1·g2, 所以27=3·g2,所以q=土3. -n2+9n,n≤5， 所以Tn=《 n2-9n+40,n≥6， ∈N+. an=3·3m-1或am=3·(-3)n-1: 即an=3"或am=-(-3)" 5.3等比数列 5.3.1等比数列 (2)方法一因为 /a2+a5=a1g+a1q-18,① a3十a6=a1g2+a1g5=9,@ 第1课时等比数列的定义 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学1 又a,=1,所以32（合）》=1 [问题1][提示]每一项与它前一项的比等于同一 即25-0=20，所以n=6. 常数. 方法二因为a3十a6=q(a2十a5), 1 [问题2】[提示]①a,=2-1,②a,=(合)； 所以q= 由a1q十a1g=18,知a1=32. ③am=1000×1.03". 由an=a1g-1=1,知n=6. ⊙结论形成 [触类旁通] 比中=g公比 1.解析(1)设等比数列{an}的公比为g, an 导学2 则a+ag=a11+g)=3, a3=2a4=2a3q, an≠0， [问题1][提示]根据等比数列的定义知：a1=a1g°， a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a39=a1q3,a5=a49= a11+q）=3解得a1 即 a1g,…,一般地，有an=a1g-1. a3=a1q2=2q, g=2, [问题2][提示]根据等比教列的定义得：2=q, 则a10=29=512. a2 (2)由a4=3a3+4a2,得a2q2=3a2q+4a2,显然a2≠0， -g“a=9> 所以q2=3q十4，解得q=一1或9=4，又{an}的各项均 a3 为正数，所以q>0,则q=4. 将上面n一1个等式的左、右两边分别相乘， 答案(1)C(2)B al az as [例2】[解折]由S=a-D,得a1=a-1D, 化简得2=q-1,即an=a1q-1 所以=-含又5=专a,-1D, 当n=1时，上面的等式也成立. 即a1十a2=号a2-1D,得ag=子 an=a1g-1(n∈N+). ○结论形成 (2)证明当n≥2时，an=Sn-Sm- 1.an=a1g-1 =3a,-1D-}@1-10 2.递增递减递减递增常 [基础自测] 得2=-又a=- 1.解析(1)应等于同一个常数 an-1 (2)当数列的公比q>1时，若a1<0,则是递减数列. 所以a,是首项为一号公比为一合的等比数到。 @ [母题变式] 第2课时等比数列的性质 1.证明由已知得a品+1一aam+1一2a员=0， 课前案·自主学习 所以(au+1-2an)(an+1十an)=0. [教材梳理] 所以an+1-2an=0或an+1十an=0, 导学1 (1)当a+1-2an=0时，0+中=2.又a1=1, [问题1][提示] an 8=分即=ac a 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列. [问题2][提示]a异=am-1·an+1 所以an=2-1 O结论形成 1.等比中项 (2)当a+1十an=0时，=-1，又a1=1, an 导学2 所以数列{an}是首项为1，公比为一1的等比数列， [问题1][提示]在等比数列中，由通项公式an= 所以an=1×(-1)m-1=(-1)n-1. a19-1,得2=419-1 综上，数列{an}是等比数列，且am=2m-1或an= ama1gn=gm,所以a:=am·g-m(, (-1)"-1. m∈N+). [问题2][提示]均成主. 2证明国为a41=字，十号 1 ○结论形成 所以1-号-+号-号-号(a-号》 1.a1g-1am·g-m 2.(1)a,·a,=ap·ag(2)ag [基础自测] 又a1-号-0，所以 1.解析(1)a2·a6=a. -号 2 (2)G=士√ab. (3)如0,0,0满足02=0×0，但不是等比数列. 所以口。一号}是首项为员公比为号的等比量列。 (4)因为{an}为等比数列，所以a3a?=a4a6=a1ag: [触类旁通] 所以(a1ag)2=81,即a1ag=士9. 因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相 1 2.解析()证明由a+1=20m十2， 同，所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 得am+1一4=乞(an-4), 2.AB设a为2十√3,2-√3的等比中项， 易知an一4≠0，则2+1一4=1 所以a2=(2十3)(2-√3)=1，所以a=±1. am-42 3.A由等比数列的性质知，a1a2ag,a4a5a6,a7agag成等 又a1-4=一-2，所以a,-4到是首项为-2，公比为号的 比数列，所以a4a5a6=5√2. 4.解析 等比数列。 因为a2ag=a1a10=27,log3a2十log3ag=log327 =3. (②)由G①可得a,-4=(a1-40x(侵） 答案 3 =-2x(合)-（合， 课堂案·互动探究 [例1门[解析]设该等比数列的公比为q,首项为1， 所以,=-(合）》+4 因为a2一a5=42,所以q≠1， 由已知，得 a1+a1q+a192=168, [例3][解析](1)从第一年起，每年车的价值（万元） a1q-a19=42, 依次设为a1,a2,a3,…,am, |a1(1+q+g2)=168,① 由题意，得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%), 所以 a1g1-g3)=42.② a3=13.5×(1-10%)2,… 因为1-g3=(1-q)(1+q+q2), 由等比数列定义，知数列(an}是等比数列， 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9. 所以由@除以①，得q1-9)=子 所以an=a1·q-1=13.5×0.9m-1, 1 42 所以q=2.所以a1 =96 所以n年后车的价值为am+1=13.5×0.9"万元. ( (2)由(1)得a5=a1·q=13.5×0.94≈8.9（万元）， 若G是a5,a7的等比中项，则应有G=a5a7=a1g: 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元 [触类旁通] 44-a1g"=96×(侵)-2. 3.B设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为am,根据题意得数列 所以as,a的等比中项是士3. {an}成等比数列，它的首项为6，公比q=6,所以{an}的 [触类旁通] 通项公式an=6×6m-1=6”, 1.解析(1)因为ag与a10的等比中项为3，所以a8a10= 到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=6 32=9,所以log3a5+log3a13=log8(a5·a13）= =46656只蜜蜂. logs (as a1o)=log39=2. 10 (2)由a3=0,得a2十d=0,则a2=-d, [母题变式] 所以a1=a2-d=-2d, 1.解析 由题意设此四个教分别为2，b,bg,a, 则an=a1+(n-1)d=(n-3)d, 9 因为a题是a6与ag+6的等比中项，所以a是=a6ak+6, b3=-8, 即(k-3)2d2=3d(k+3)·d,由d≠0，得k2-9k=0, 则有2bg=a十b, 由k≠0，解得k=9. ab2q=-80, 答案(1)B(2)C a=10, a=-8, [例2][解析](1)：3+8=4十7， 解得b=-2,或 b=-2, .由a4a7=-512,知a3a8=-512. q=-2, 5 解方程组a,=一512，且g为誉数， q=2· a3+ag=124, 得a4支a=128 所以这四个数分别为1，-24,10或-青-2，-5，-8 ag=1281a=-4(舍去)， 2.解析设三个数依次为 -,a,aqr 3a8一2 因为a·a·aq=512,所以a=8. .a10=a392=-4(-2)7=512. (2)方法一设此等比数列的公比为q,由条件得 因为（号-2+(ag-2》=2a a1q·a1g3+2a1q2·a1g+a1g3·a1q5=25, 所以2g2-5g十2=0， 即a1g(g+1)2=25,又am>0,故g>0, 所以q=2或9=2： 1 .a1g2(q2+1)=5, .a3+a5=a1q2+a1q=a1q2(q2+1)-5. 所以这三个数为4,8,16或16,8,4. 方法二a2a4十2a3a5十a4a6=25, [触类旁通] 由等比数列性质，得a号十2a3a5十ag=25, 3.解析设这四个数分别为a,aq,ag,aq3, 即(a3+a5)2=25,又am>0,∴a3十a5=5. 则a-1,aq-1,ag2-4,ag3-13成等差数列. [触类旁通] 2(aq-1)=(a-1)+(ag2-4), 即 2.解析(1)因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以 2(ag2-4)=(aq-1)+(ag3-13), a2a6=(a4)2=16,解得a4=4,所以a5=a4q=8,故 选C. 整理得a9D3,解得a二3， ag(q-1)2=6,1 (2)方法一因为数列{an)是等比数列， 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 所以a5a6a7=a2=-27,所以a6=-3, 答案45 所以a2= 5.3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 所以a2as十aao十a6a0=aga6十ag+ a2 课前案·自主学习 =-3a:+9>a(+9=2n, [教材梳理] a2 导学1 当且仅当-3a2=- 即a2=-3时等号成主 [问题1][提示]设等比数列(an}的首项是a1,公比是 q,前n项和为Sn 方法二因为数列{am}是等比数列， Sn写成：Sw=a1+a1g十a1g2+…+a1g"-1.① 所以a5a6a7=ag=-27,所以a6=-3, 则gSn=a1q十a1g2+…+a1g-1+a1g.② 所以a2a6十a2a10十a6a10=a号+a号+a号≥2a4a8+9= 由①-②得：(1-q)Sn=a1-a1g". 2ag+9=2×9+9=27, 当且仅当a4=a8=-3时等号成立. 当9≠1时，S,=41-2, 答案(1)C(2)C 1-g; 当q=1时，由于a1=a2=…=an,所以Sn=a1 [例3][解析]设这四个效为，a,aq,b, [问题2][提示]成立，即若数列{an}的前n项和Sn= 9 Aq+B(g≠1且AB≠0)，且A+B=0,则数列{an}是 由题意4·a·ag=a3=216,解得a=6, 等比数列. 则这四个数为5,6,5gb, 证明如下：当n=1时，a1=S=Aq十B=A(q一1)： 9 当n>2时，an=Sn-Sm-1=Ag-Ag-1=(q-1)· 12q-6+b, 由题意，得6+6十6g十b=21, Aq-1,又a1=A(g-1)满足am=(g-1)Ag1, g ∴.an=A(q一1)g”-1,故数列{an}是等比数列. 2 1 ○结论形成 解得 9=3'成或9=2' ! 6=2,6=0. 1.na1 a(1-g) alanq 1-q nai1-q 故这四个数为9,6,4,2或12,6,3,0. 2.(1)ma1 (2)-Aq+A 11