5.2.2 等差数列的前n项和-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 学业标准 素养目标 1.借助等差数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理」 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程 数学运算核心素养 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.（重点、 2.通过等差数列前n项和的学习，培养数学运算、逻辑 难点) 推理核心素养。 3.会利用等差数列的通项公式、等差数列前n项 3.借助等差数列前n项和的最值研究，考查数学建模 和公式解决实际问题最值问题.（重点、易错点） 核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题3 能否利用前面问题推导等差数列前 n项和公式Sn=a1十a2十…十an? 导学1等差数列的前n项和公式 如图所示，某仓库堆放的一堆钢管，最上 面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上 一层多一根，最下面的一层有9根。 ⊙结论形成 等差数列(an}的前n项和公式：S。 n(a+a,) 2 导学2等差数列前n项和的最值 问题1 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样 一堆钢管，如图所示，则这样共有多少 问题1 将等差数列前n项和Sn=na1十 钢管？ nm。1Da变形为S关于n的函数后，该 2 函数是怎样的函数？为什么？ 问题2类比二次函数的最值情况，等差数 列的S,何时有最大值？何时有最小值？ 问题2原来有多少根钢管？ 18 第五章数列。 ◎结论形成 >基础自测 1.在等差数列{am}中， 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)当a1>0,d<0时，Sn有最 值， (1)对于a.=Sn-S-1成立的条件是n∈N+. an≥0， 使S,取到最值的可由不等式组 a+1≤0 (2)等差数列前n项和公式的推导方法我 确定； 们称为“倒序相加法” () (2)当a1<0,d>0时，Sn有最 值， (3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3十 a0, a1十a5=S5-S2: ( 使S,取到最值的n可由不等式组 a+1≥0 (4)若等差数列{a,}的前n项和为Sn,则 确定 数列 也是等差数列。 () 2.因为=号r+(a, 号)m,若d≠0，则从 2.在等差数列{an}中，S。=120,那么a1十a1o 的值是 () 二次函数的角度看： A.12 B.24 C.36 D.48 当d>0时，S,有最 值； 3.在一个等差数列中，已知a1o=10,则S1= 当d<0时，Sn有最 值； n取最接近对称轴的正整数时，S,取到 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2十a1 最值. =20,则S18= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一与前n项和有关的基本量的运算 规律方法 (一題多解) a1,n,d称为等差数列的三个基本量，a。和S 例1在等差数列{a.}中， 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1,,d, (1)已知a1=5,a1o=95,求S10; am,S。中可“知三求二”，一般是通过通项公式和前 (2)已知a1=100,d=-2,求S0: 项和公式联立方程（组）求解，这种方法是解决数 (3)已知d=2,S1=10000,求a1与am; 列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知 (4)已知S5=24,求a2十a4 与未知的联系及整体思想的运用 [自主解答] [触类旁通 1.(1)(2024·全国甲卷·理)记S,为等差 数列{an}的前n项和，已知S=So,a=1, 则a1= () A.-2 C.1 D.2 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)记S,为等差数 列{a,}的前n项和.若a3十a1=7,3a2十as =5,则S10= 19 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型二等差数列前n项和的最值 [触类旁通] (一题多解一题多变) 2.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项 例2已知等差数列{an}中，a1=9,a4十a=0. 和，且a2>0,a6十a<0,则 () (1)求数列{a.}的通项公式； A.数列{an}为递增数列 (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取 B.数列{an}为递减数列 得最大值？ C.当n=13时，S,取得最大值 [自主解答] D.当S.<0时，n的最小值为14 题型三等差数列前项和公式的实际应用 例3某房地产开发商投资81万元建一座 公寓，第一年装修费为1万元，以后每年增 加2万元，把公寓出租，每年收入租金 30万元，若扣去投资和各种装修费用，则 从第几年开始获取纯利润？ [自主解答] [母题变式 1.(变条件)若题中条件变为“等差数列{an》 中，a1=13,S3=S1”,则n= 时 S.取最大值 2.(变条件)若题中条件变为“等差数列{a.》 的前n项和为Sn,且S22o>0,S221<0”, 则n= 时，S。取最大值！ [素养聚焦]本题主要考查求等差数列前项和 的最值，突出考查逻辑推理和数学运算核心素养。 规律方法 规律方法 一般地，在等差数列{an}中，若a1>0,d<0, 应用等差数列解决实际问题的一般思路 则其前n项和S,有最大值；若a,<0,d>0,则其 (1)根据题设条件，建立数学模型 前n项和S。有最小值，具体求解方法如下： ①分析实际问题的结构特征； )形用S=号十(a,一号)，用配方法求得最 ②找出所含元素的数量关系： ③确定为何种数学模型. 值以及取最值时n的值. (2)利用相关的数列知识加以解决 (2)利用等差数列的性质，找出数列{a。}中正、负项 ①分清首项、公差、项数等： 的分界项.当an>0,d<0时，前n项和S。有最大 ②分清是a.还是S,问题； 值，可由a≥0，且a+t≤0，求得n的值；当an<0, ③选用适当的方法求解. d>0时，前n项和S.有最小值，可由a.≤0，且 (3)把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束 a+1≥0，求得n的值. 条件合理修正，使其成为实际问题的解 20 第五章 数列。 [触类旁通] [解析]方法一 由 易错警示 3.(2024·河北邯郸高二期末)一支车队有 于等差数列{an}的前 由受品水题 15辆车，某天下午依次出发执行运输任 n项和S。=an十bm 易设Sn=(7n+1)k, 务.第一辆车于14时出发，以后每间隔 T.=(4n+27)k,k≠0. 则au=S1-S1o, 10min发出一辆车.假设所有的司机都连 bn=T1-T10, 续开车，并都在18时停下来休息， 设Sn=(7n+1)×kn, 从而得到品 (1)截止到18时，最后一辆车行驶了多长 T.=(4n+27)×kn, 光-子这种始 时间？ 所以a11=S1一S1o 误解法 (2)如果每辆车行驶的速度都是60km/h, =(7×11+1)×11k -(7×10+1)×10k=148k, 求这个车队当天一共行驶的总里程. b,=T1-T。=(4×11+27)×11k-(4X 10+27)×10k=111k. 所以4=148k4 "bu 111k3 方法二 au_2a1=a1十a2 b12b1b1+b2 （a1+a1 多6+b S21 Ta' S1= 又 7×21+1148_4 T 4×21+2711131 故41=4 bu [纠错心得]错误的原因是“设S。=(7十1)k, T.=(4n十27)k,k≠0”.这种设法虽然可以使 三=7n+成立，但是相对于变量n来说，k是 T。4n+27 常数，故S.=(7n+1)k,T.=(4n+27)k是n的 一次函数，与公差不为零的等差数列的前n项和 为的二次函数不符合。 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)方程思想的应用：等差数 [缜密思维提能区] 易错案例 : (1)等差数列的前n列前n项和公式涉及五个 等差数列前项和公式的综合应用 项和公式. 量，可以“知三求二” [典例]已知两个等差数列{an},{b,}的前n (2)等差数列前n项(2)函数思想的应用：可以应 S 项和分别为S。,T,且 71+1 和公式的函数特征. 用二次函数法求等差数列前 4n+2 (n∈ n项和的最值， 温馨 提 请完成[课后奈】学业评价（五） 21 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 第2课时 等差数列前n项和的性质 学业标准 素养目标 1.通过等差数列前n项和性质的学习，培养数学运算 1.掌握等差数列前n项和的性质，并能简单应用. 等核心素养 2.能运用等差数列的公式、性质综合解决相关 2.通过等差数列知识的综合应用，提升逻辑推理、数学 问题. 建模核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (3)若等差数列的项数为2n(n∈N,), S侧=a2十a4十…十a2n, 导学 等差数列前n项和的性质 S奇=a1十a3十…十a2m-1, 记数列{2n一1}的第n项为am,前n项 则S一S奇=nd, Sa a+ 和为Sm 基础自测 问题1 数列 是不是等差数列？ 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则 Sn与am不可能相等. () (2)若等差数列{a}的前n项和为Sn,则 数列Sm,S2m,Sm,…(m∈N+)为等差数列. 问题2Sa,S。一S,S,一S。是否能构成等 () 差数列？ (3)若等差数列{a.}的公差d>0,则该数 列S,一定有最小值，d<0,则该数列S,一 定有最大值。 ( (4)若数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn (A≠0，A,B为常数)，则数列{an}一定是 等差数列： ( ◎结论形成 2.已知等差数列{an}的前3项和为30，后3项 等差数列前n项和的性质 和为90，且前n项和为200，则n=() (1)等差数列的前n项和S。是形如S。 A.9 B.10 pn2+qm的函数的形式，故 也是等差 C.11 D.12 3.在等差数列{an}中，其前n项和为S., 数列. S2=4,S,=9,则S6 (2)等差数列的依次每k项之和S。,S2一 4.已知Sn,T,分别是等差数列{an},{bn}的 S4,S一S2,…组成公差为d的等差 数列. 前项和，暖-品则 Tu 22 第五章数列。 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 等差数列前n项和性质的应用 题型二 等差数列的奇（偶）数项和问题 (一题多解) (一题多解) 例等差数列{a}中，前m项的和为30， 例2 一个等差数列的项数为偶数，奇数项 前2m项的和为100，试求前3m项的和. 之和与偶数项之和分别为24和30，最后 [自主解答] 一项与第一项之差为10.5，求此数列的首 项、公差、项数 [自主解答] 规律方法 等差数列前项和性质的应用 涉及此类问题时，可利用方程的思想方法确定 出系数，从而求出S。:也可利用等差数列的“片断 和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决. [触类旁通] 1.(1)(2024·山东潍坊高二期中)已知等差 数列{an}的前n项和为Sn,若S3=30, S6=51,则S。= ( A.54 B.63 C.72 D.135 (2)(2024·辽宁大连高二月考)已知等差 规律方法 数列{an},{bn}的前n项和分别为S。与 等差数列奇（偶）数项和的性质的应用 S. T且 3n+2,则2= 在涉及等差数列奇（偶）数项和的问题时，可以 2n-1 根据已知条件先求出首项a1,公差d,再求所求，这 A号 20 B. 是基本解法，但有时运算量大，如果适当运用等差 数列奇（偶）数项和的性质往往可以达到化繁为简 c 38 41 D. 的效果 23 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [触类旁通] 规律方法 2.(1)一个等差数列共2023项，求它的奇数 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a.|). 项和与偶数项和之比， 若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，则 (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇 {|anI}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a,} 数项和与偶数项和之比为1：2，求公差d. 的正负项分界点处的n值，再分段求和. [触类旁通] 3.(2024·河南开封高二期中)在等差数列 {an}中，ag=-6,S6=18. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设Tn=a1+|a2|+…+am|,求T 的值. 题型三求数列{|am|}的前n项和问题 例易数列{a.}的前n项和S.=33n一n2. (1)求证：{an}是等差数列： (2)问{am}的前多少项和最大： (3)设bn=a,|,求数列{bn}的前n项和S [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 易错点：若{|a,|}是等差数列，则 等差数列前n {an}未必是等差数列，求其前n 项和的性质。 项和要有分类意识. 温馨 请完成【课后案」学业评价（六） 提示 阶段测评（一） 24an a-1+1 [触类旁通] 所以1 1-1-1-1 3.解析(1)因为等差数列(a。中, 1 a+a4+as+a6+az-5as-450, {1-11=1,是常数, 所以a5-90,所以a+a-2a5-180$ 数烈#是等差数列。 (2)由题可知,a-a-d,a-a+2d, 故^{}=aì·a=(a-d)(a+2d),解得a-2d [例2] [解析]设此三个数分别为x一d,x,x+d. 由等差数列的性质可得1+a+a?3a4_24a2+2d ((x-d)(x+d)=5x, 由题意得 a+a+ag 3a5 a5 az+3d x+x+d=8(x-d). ## (7 解得 答案(1)180 (2 故此三数分别为0,0,0或3,9,15. [母题变式] 5.2.2 等差数列的前n项和 1.解析 设所求数列为a一d,a,a十d(d>0), 第1课时 等差数列的前n项和 根据题意得到方程组 课前案·自主学习 ((a-d)+a+(a+d)-18,① [教材梳理] l(a-d)?+a2+(a+d)?-116.② 导学1 由①得a=6.将a-6代入②,得d-2,d=-2(舍). [问题1] [提示](4+9)×6-78 所以所求数列为4,6,8. [问题2] [提示] 1×78-39. 2.解析 设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d; ((a-3d)2+(a-d)②+(a+d)②+(a+3d)2=94 [问题3] [提示] S.-a十a2十...+a 则 (a-3d)(a+3d)+18-(a-d)(a+d). S.-a.+a-1+..+a1 又递增数列d>0, 相加:2S=(a+a)十(a2+a-1)十.十(a+a)= n(a十a). .s.n(a+a。) 此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 2 [触类旁通] 结论形成 2.解析 设这四个数为a-3d,a-d,a十d,a+3d(公差为2d). 依题意,2a-2,且(a-3d)(a+3d)--8, 导学2 即a-1,a2-9d2--8, [问题1][提示] 由于S.na+n(n-1)-2+ 即-1,:d-1或d--1. 2 又四个数成递增等差数列,'.d>0 (a一)n,所以当d≠o时,S.相应的画数是二次函 'd-1,故所求的四个数为一2,0,2,4. [例3] [解析] (1)方法一 设{a。)的公差为d, 数,且常数项为0. fa1+4d-10, [问题2] [提示] 由二次函数的性质可以得出:当d0 则 la.+14d-25, 时,S.有最小值;当d<0时,S.有最大值;且n取最接 (a,-4. 近对称轴的正整数时,S.取到最值. 解得 结论形成 1.(1)大(2)小 故a25=a1+24d-4+24x3-40. 2.小 大 [基础自测] 方法二 因为5十25-2×15,所以在等差数列(a)中有 1.解析(1)n>1且nN.. $a$ +$a5=2a15,从而a25-2a5-a5-225-10-40 (2)等差数列具有a+a=a2+an-1-a+an-?=..特 方法三 因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也 征,可用倒序相加法. 成等差数列, (3)由数列的前n项和的定义可知此说法正确. 因此a25-a15=a15-as. (4)设数列(a.)的首项为a,公差为d, 即a25-25-25-10,解得a25-40. nan(n-1)d (2)由等差数列的性质,得 a+az-a +a-2a=a+a $1-_5-(#+2)-(+-)- 所以aa+a+a+a+ay-5a5-70. 于是a-14,故a+aq-2a5-28. #数烈{#为等差数烈列。# (3)令c=a一b,因为a),(b)都是等差数列,所以 (c.)也是等差数列,设其公差为d,由已知, 答案(1)×(2)/(3) (4)/ 得c1-a-b-5,c-17, 10(a+a1o)-120, 则5十6d-17,解得d-2, 2.B 在等差数列中,S1o= 2 故a-b。-c1-5+18×2-41. '.a+alo-24. 19(a+as)19(aì。+ao) 2.解析 由等差数列的性质知,S2o21-2021a10110, 3.解析 S- 2 -19ao-19x 2 所以a11<0. 10-190. 2 020(a+a2 020)=1010(a o1o+a1 o)>0, 答案 190 又 S2020= 2 4.解析 因为a+aìs=a2+aì=20, 所以aìouo+aìoìì>0,而aì oìì<0,故aì uìo>0 18x(a+a1s)18x(a2+a17) 因此当n-1010时,S.最大. 所以S -180. 答案 1010 答案 180 [触类旁通] 课堂案·互动探究 2. BD 因为a+a=a+a<0,且a>0,所以a<0,所 10(a+a1o)10×(5+95)-500. 以公差d-a8-a0,故数列{a。)单调递减,即选项B [例1] [解析](1)S。= 2 2 正确,A错误; (2) Sso-50a+50×(50-1)d-50×100+50×49 因为a>0且a8<0,所以n-7时,S。取得最大值,故C 2 2 错误; 13(a+a1s)-13a→0, (-2)-2550. 100×(100-1)x2-10000 因为S3一 (3)因为S1oo-100a+ 2 14(a+a1)-7(a?十ag)<0, 所以a=1,所以a=a +(n-1)d-2n-1. S= 2 (4)方法一设等差数列(a。)的首项为a,公差为d, 则S$-5a5×(5-1d-24,得 5at+10d-24, 所以当S.0时,n的最小值为14,即选项D正确.故选 BD. 2 [例3] [解析] 设第”年获取利润为y万元, n年共收入租金30n万元,付出装修费构成一个以1为 首项,2为公差的等差数列,则装修费共有 n”(n-1)x2-n2。 5(a+as)-24,得a+as=4 48. 2 方法二 由S一 2 因此利润y=30n-(81十n^{}),令y>0. 所以a2+a:-a1+as-4. 48 解得3<n<27, 所以从第4年开始获取纯利润 [触类旁通] [触类旁通] 1.解析 (1)由So-S-a+a+a+a+ao=5a=0, 3.解析(1)第一辆车出发时间为14时,每辆车的间隔时 3 a1-a-4d=1-4x(-)-.# (2)因为数列a.)为等差数列,则由题意得 {a+2d+a+3d-7, 解得/“=-4,” 40分钟. l3(a+d)+a+4d-5, ld-3. (2)设每辆车行驶的时间构成数列{a。),由题意可得 答案(1B(2)95 [例2] [解析](1)由a-9,a4十az-0, 2 得a+3d+a+6d-0,解得d--2, (-)-85小时, 'a=a+(n-1)·d-11-2n. (2)方法- a-9,d--2. 2 第2课时 等差数列前n项和的性质 '当n-5时,S.取得最大值 方法二 由(1)知a=9,d--2<0, 课前案·自主学习 [教材梳理] ..a是递减数列. 令a0,则11-2n→0,解得n11. 导学 [问题1][提示] 是,因为{a)是首项为1,公差为2的 .nEN,..n<5时,a0,n6时,<0.'.S最大. 等差数列,所以S.一n2。 [母题变式] #即n,故{是等差数列。# 3+11-7. 1.解析 方法一 S一S,所以其对称轴为n= 2 [问题2] [提示]能,因为S+S-S-a1+a2+a3十 知”一7时S,取最大值 a+a+a-aì+a+a2+a+a3+a-2(a4+a+ 方法二 因为S-S, a)-2(S-S). 所以a4+a+..+au=4(az+a)=0, 所以S,S-S,S。-S成等差数列 又a=13→0,故a>0,aa<0,所以n-7时,S,最大. [基础自测] 答案7 1.(1)×(2)×(3)(4) 2.B 依题意,a+a+a3=30,a-2+an-1+a=90, 解得a1-3,--,6-4# 所以a+a+a+a-2+a-1+a=3(aì+a)-12 0, 所以a+a.-40, .此数列的首项为3,公差为,项数为8. 所以S.-200-+..n-20n 2 方法二 设此数列的首项为a,公差为d,项数为2k 解得n-10. (N). 3.解析 因为S,S.-S,S6-S. 成等差数列, [S-24. 所以4+(S-9)-2×5,解得S-15 根据题意,得5&二30. 答案 15 #a--1 4.解析 $$-S4-6. #- 13 . 答案 /^d-6. 课堂案·互动探究 [例1] [解析] 方法一 利用等差数列{a。)的前”项和 公式S.-na+n(n-1)d. .此数列的首项为,公差为,项数为8.# s-ma+m(m-1)d-30. 由已知,得 2 $n-2ma 2m(2m-1)d-100, [触类旁通] 2 2.解析(1)等差数列{a。)有1012个奇数项,1011个偶 数项,.S1012(a+a2o0a). 解得a10m+20 0,-40 m2} ## 所以Ssm-3ma+3m(3m-1)d-210. 1011(az+a2o22) S二 2 2 方法二记数列(a。)的前n项和为S。,由等差数列前n .:a+a2 023-a2+a2 o22 行10 项和的性质知S..S2m-S.S3m-S2m成等差数列, 则2(S2-S)-S+(Sm-S). 又S -30,$2-100,所以Sm-S-100-30-7 0 所以Sm-S2m=2(S2m-S)-S-110, 所以S-110+100-210. 偶数项和S&-2×75=50 [触类旁通] 1.解析(1)因为a.)是等差数列,所以S,S-S,S- 又S-St-10d, S. 为等差数列,即30,51-30,S。一51成等差数列,所 .a-50-25-2.5. 以2X(51-30)-30+(S -51),解得$$-63. 10 (2)因为(a。),()均为等差数列, [例3] [解析] (1)证明 当n二2时,a。=S 一S-1= 1,- S. 3n十2 34-2n. 又当n-1时,a-S.-32-34-2x1,满足a.-34-2n 故(a)的通项公式为a.-34-2n(n-N). 所以a+1-a-34-2(n+1)-(34-2n)=-2. 答案(1)B(2)A 故数列(a)是以32为首项,一2为公差的等差数列 [例2] [解析] 方法一 设此数列的首项为a,公差为 (2)令a.0,得34-2n>0,所以n17. d,项数为2(N+). 故数列a。)的前17项大于或等于零. (S-24, 又a一0,故数列(a。的前16项或前17项的和最大 根据题意,得{S线-30, (3)由(2)知,当n17时,a二0; 当n18时,a.<0. (1}a(a+2-1)-24, 所以当n<17时,S.-b+b+..+b -lal+lazl+.+lal {2(a(az+)-30.# 即{ -a+a2十..+a.-S-33n-n2. (2-1)-21. 当n18时, S=lal+la2l++la7l+lal+..+la ([a+(-1)d]-24. -a+a2十...+al7-(ais+al+...+a) .(a+hd)-30. -$-(S -S)=2S -S=n2-33n+544 故S二 (33n-n2(n17), 12-33n+544(n>18). [触类旁通] (3)a,a,az,alo,...是以a1为首项,g③为公比的等比 3.解析(1)设其公差为d, 数列。 (a十7d--6. (4)由于一1可能为0,所以此数列不是等比数列. 由题意可得 答案(1)×(2)×(3) (4)× 2.D 等比数列中不能有为0的项,故a去0且a去1. 解得a1-8,d--2, 又..a(1-a)-1-a-a,q≠0,也需a≠1. 所以a=aì+(n-1)d=10-2n,nN+. a (2)设数列a-)的前n项和为S.,则由(1)可得 综上,a去0且a≠1. $.-8n+“án-1)x(-2)--n2+9n,n, 2 由(1)知a.-10-2n,令a.=0,得n-5 4.解析 .3a+1-a.-0, 当n>5时,a<0, ..1-,因此({an)是以为公比的等比数列, 当n5时,可得T=lal+la2l+..+la dn 又a-2,所以a,-2x()”“1. -a+a十..+a.--n2+9n, 当n>5时,可得T.-lal+la2l+.+lal -a+a2+..+a-as-a?-...-an 答案2x()~1 -S -(S-S)-2S-S. 课堂案·互动探究 因为S-45-25-20 [例1] [解析](1)a-a1·q^{}, 所以T-40-(-n2+9n)-n2-9n+40, (-n2+9n,n<5. 所以27-3·q2,所以q-士3. 所以T.一 nEN. 1n2-9n+40,n>6, a-3·3”-1或a.-3·(-3)n-1; 5.3 等比数列 即a-3”或a.=-(-3)”. la+a-aq+a1q4-18, (2)方法一因为 ① 5.3.1 等比数列 la+ag-aq{②+a1a5-9, ② 第1课时 等比数列的定义 由{得-,从而a1-32. 课前案·自主学习 又a.=1,所以32·()”--一1, [教材梳理] 导学1 即26-n-20,所以n-6. [问题1] [提示] 每一项与它前一项的比等于同一 方法二 因为a3+as-q(a+a:). 常数。 #以-一}# [问题2][提示]①an-2”-1;②a,-()”; 由aq+a94-18,知a1-32. ③a.=1000×1.03”. 由a=aq”-1-1,知n-6. 结论形成 [触类旁通] a#t1- 公比 比 1.解析(1)设等比数列(a。)的公比为q, &析2a(1+o)-3且az0, 导学2 则 [问题1] [提示] 根据等比数列的定义知:a1=a^{}, 。{a(1十#3,#解得{ la}-2a-2aaq, $-ìq,a3-a2q-aq{②},a4=aaq=ìq3,a-- /a-1, 品 la-aq2-2q, 2, aq4,.,一般地,有a三aq”-1. a- 则a1o-2*-512. (2)由a4=3a3+4a,得a2q{②-3a2q+4a2,显然a-0 所以q②-3q+4,解得q--1或q-4,又{a)的各项均 为正数,所以q0,则q-4. 将上面n一1个等式的左、右两边分别相乘, 答案(1)C(2)B 得{}3.24...n_-1, [例2] [解析](1)由S-(-1),得a-](a-1) a2a3” an-1 化简得{-”-1,即a,-a1q”-1. 当n一1时,上面的等式也成立. .a=aqn-1(nN.). (2)证明 当n>2时,a.-S.-S-1 结论形成 -(-1)(0-1) 1.a.-a1q"-1 2.递增 递减 递减 递增 常 [基础自测] 1.解析(1)应等于同一个常数. 所以(a,)是首项为一,公比为一的等比数列. (2)当数列的公比q1时,若a0,则是递减数列