5.2.1 等差数列-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

⑧ 2.解析因为a1=1,且lnam-lnaa-1=1(n≥2)， [问题2][提示]猜想通项公式为am=a1十(n一1)d. 所以lnag-lna1=I ⊙结论形成 In a3-In a2=1, 1.a1+(n-1)d 2.(1)递增(2)递减(3)常 In a-In d-1=1, [基础自测] 以上各式相加可得lnam一lna1=n一l, 1.解析(1)由等差数列的定义知该数列为等差数列. 又lna1=ln1=0, (2)如数列2,7,9,1.虽然7一2=5,9一7=2， 所以lnan=n-1,所以an=e-1, 1一9=一8，每一项与前一项的差都是常数，但不是同一 经检验，当n=1时，a1=1也满足上式，所以an=e”- 个常数，故不是等差数列. [触类旁通] (3)因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常 2.D方法一（构造法）由已知， 数0. 参理得m+1a,=a…骨-会 (4)只雪将项数n代入即可求出数列中的任意一项」 答案(1)√(2)×(3)√(4)√ 4数列侣)是常数到，且货-9-1…0，= 2.A am+1-am=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴.{4}是公差为2的等差数列. 方法二（累乘法）当n≥2时，a1=” 3.D令1+3(n-1)=2026,解得n=676. aa-1n-11 4.解析因为a1=1,d=5,所以an=1十(n-1)×5=5n-4 二昌…碧-受品子两选分别指系， 0m-1=1一1… 答案5n-4 课堂案·互动探究 得=.a1=1,an=m. [例1][解析](1)该数列从第2项起，每一项与前一项 1 [例3][解析](1)a5十a6=S-S4=(-6)一(-4)=-2. 的差等于同一个常数2，所以该数列是等差数列. 当n=1时，a1=S1=1； (2)-3-3=一6,3-（一3）=6，不等于同一个常数，所 当n≥2时，an=Sn一Sm-1 以该数列不是等差数列， =(-1)+1·n-(-1)m·(n-1) (3)由题意得a1=6,a2=5,当n≥3时，am一am-1=-2. =(-1)+1·[n十(m-1)]=(-1)+1·(2m-1), 由于5一6=一1，而从第3项起，每一项与前一项的差等 又a1也适合此式，所以an=(一1)+1·(2n-1). 于同一个常数一2，所以该数列不是等差数列，但可以说 (2)因为当n=1时，a1=S1=6; 从第2项起该数列是等差数列， 当n≥2时.aH=Sn-Sm-1=(3"+2m+1)-[3”-1+ (4)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一 2(n-1)+1=2·3"-1+2, 个常数0，所以该数列是等差数列， [触类旁通] 由于a1不适合此式，所以an 6,n=1 2·3m-1+2,n≥2 L.解析数列{bn}是等差数列. [触类旁通] 理由：：数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列， 3.解析当n≥2时，S4-1=2(n-1)2十n, .am+1-am=d(n∈N+）. 则an=Sw-Sw-1=4n-1. ∴.bw+1-bn=(3am+1+4)-(3an十4)=3(aw+1-an) 经检验，n=1时，a1=S1=4,不符合上式， =3d. 4,n=1, 根据等差数列的定义，知数列(bm}是等差数列. 故an= 14n-1,n≥2 [例2][解析](1)方法一，a4=7,a1o=25, 14,n=1, 答案 则a十3d=7:得01=-2 4n-1,n≥2 a1+9d=25,ld=3. 5.2 等差数列 .am=-2+(n-1)×3=3n-5, 5.2.1等差数列 ∴.通项公式an=3n-5(n∈N-). 方法二：a4=7,a10=25,∴a10-a4=6d=18, 第1课时等差数列的定义 ∴.d=3,∴.aw=a4+(n-4)d=3n-5(n∈N+). 课前案·自主学习 5 [教材梳理] a3=4' /a+2d=5. 4 (2)方法一由 得 导学1 0=-.d1+6/= [问题1][提示]共同特点：从第2项起，每项与它的前 一项的差是同一个常数 解得a1= 1 3 [问题2][提示]能，如果用d表示那个常数，则可以 4d=- 表示成an+1一an=d. ∴as=a+15-1Dd-+14x(←）=- ©结论形成 am+1一an=d公差 方法二由a=as十(7-3)d,即-子-号+4d, 导学2 [问题1门[提示]a2-a1=d,即a2=a1十d: 解得d=一是 aa-a2=d,即a3=a2十d=a1十2d: as-a3=d,a=a3+d=a+3d. a6=as+a5-3d=号+12x(←是)=-1 [触类旁通] 第2课时等差数列的性质 2.解析(1)由题得3d=a4一a1=21,解得d=7, 课前案·自主学习 则an=a1十d(n-1)=7n-4. [教材梳理] (2)设等差数列(an}的公差为d, 导学1 因为@1=3a十4=4， [问题1][提示]b-a=c-b,即2b=a+c. [问题2][提示]2an=4m-1十am+1, 所以2a1+5d=4,解得d=3: 2 ○结论形成 1.等差中项 33 导学2 国为a,=3,所以3=警-了解得=50， [问题1][提示]设等差数列的首项为a1,则am=a1十 (m一1)d,变形得a1=am一（一1）d,则am=a1十(n 答案(1)7n-4(2)50 1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. [例3][解析](1)①aw+1一am=3(n+1)+2-(31十2) [问题2][提示]aw十a,=ap十ag =3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列. 因为a,+a,=a+(s-1)d+a1+(u-1)l=2a1+(u十s-2)d, ②因为ag+1一an=(n十1)2+(n+1)-(n2十n)=2n十2 而ap十ag=a+(p-1)d+4+(q-1)d=2a1+(p+g-2)d, (不是常数)，所以此数列不是等差数列 又因s十1=p十q,所以a,十a,=ap十ag: (2)证明证法-因为，1=1+34 ⊙结论形成 an+1 an 1.(n-m)d 所以1=1+3，所以1-1=3， 2.ap十agap十ag an+l an an+l an [基础自测] 又因为b,=L(6EN+),所以b+1-b,=3(n∈N+), 1.解析(1)如一2，一1,0,1,2是等差数列，但其绝对值 就不是等差数列. 所以数列{bn}是等差数列. (2)若等差数列(an}公差为d,则a1,ag,a5,a7,ag也是 证法二因为么且a1平a 等差数列，且其公差为2d. 1_1+3am=1+3=bn+3, (3)若数列{an}是常数列，则m十n=p十g不一定成立. 所以bm+1一an+1an、a (4)如等差数列1,3,5,7,9中，a1十a2≠a3. 所以bu+1-bn=3(n∈N+). 答案(1)×(2)/(3)×(4) 所以数列{b}是等差数列. 2.B在等差数列中，由性质可得a2十a10=a,十ag=16. [母题变式] 3.解析设方程x2+6x+1=0的两根分别为x1,x2,则 1.证明因为am-1=am-1一an（n≥2)： x1十x2=-6, 1 1=1(n≥2)： 所以12的等羞中项为A=十=一3. 2 an an-1 又因为6=，所以么，-6，-1=1m≥2. 答案一3 4.解析因为a3十a4十a5十a6十a,=5as=450, 所以数列{bn}是等差数列. 所以a5=90,a2十a8=2a5=2×90=180. 2.解析数列{b}是等差数列.理由如下： 答案180 因为数列{am}是首项为a1,公差为d的等差数列， 课堂案·互动探究 所以an+1-an=d(n∈N+).所以bn+1-bn=(3u+1十4) [例1门[解析](1)：-1，a,b,c,7成等差数列， (3an+4)=3(an+1-an)=3d. b是-1与7的等差中项，6=二1)+7=3. 所以根据等差数列的定义，数列{币}是等差数列. 2 [触类旁通] 又4是一1与3的等差中项， 3.解析(1)证明b+1一bn= 1 1 an+1-2an-2 a=-1,+3=1 2 1 1 1 又c是3与7的等差中项 (4-4）-2a。-22a,-2)a-2 c=31-5. 2 am-21 该数列为-1,1,3,5,7. 2(am-2)2· (2)由x1=3,得2p+q=3,① 1 1 又b1a1-22' 又x4=2p+4g,x5=2p+5g,且x1+xs=2x4, 得3+2p+5g=2p+8g,解得g=1.② “数列亿，是首项为2，公差为号的等差数列 将②代入①，得p=1. [触类旁通] L,证明因为am是1与aan+1的等差中项， =1+2=2+2 所以2a,=1+a4+1,即a+1-2a。-。 an 一致列{a,}的道项公式为@，=名+2. 所以+1-1=2a。-11=0- le 所以 1 [触类旁通] Can+1-1 an-1 an-1 an-1: 3.解析(1)因为等差数列{am}中， 即 1 1 =1,是常数 a3+a4+a5+a6十a=5a5=450, an+1-1an-1 所以as=90,所以a2十ag=2a5=180. 故数列}是等是数列 (2)由题可知，a1=a2-d,a,=a2十2d, [例2][解析]设此三个数分别为x一d,x,x十d. 故a号=a1·a4=(a2一d)(a2十2d),解得a2=2d, f(x-d)(x+d)=5x, 由题意得x+x十d=8r-dD, 由等差数列的性质可得1十a4十a1_3a4=a4=a+2d a2+a6+a83a5a5a2+3d 解得d=0· d=6, 故此三数分别为0,0,0或3,9,15. 答案1180(2)号 [母题变式] 5.2.2等差数列的前n项和 1.解析设所求数列为a-d,a,a十d(d>0), 第1课时等差数列的前n项和 根据题意得到方程组 课前案·自主学习 (a-d)+a+(a+d)=18,① [教材梳理] (a-d)2+a2+(a+d)2=116.@ 导学1 由①得a=6.将a=6代入②，得d=2,d=一2（舍）. [问题1][提示](4+9)×6=78. 所以所求数列为4,6,8. [问题2][提示] 2.解析设四个数为a一3d,a一d,a+d,a十3d, 合×78=39. gdigi-. [问题3][提示]Sw=a1+a2+…+am Sm=aw十an-1十…十a1 又递增数列d>0, 相加：2Sn=(a1十an)+(a2十am-1)+…+(am+a1)= 所以解得a=士号d=多 3 n(a1十an), 此等差数列为-1,2,5,8或-8，一5，-2,1. S,=n(a1+a) 2 [触类旁通] ⊙结论形成 2.解析设这四个数为a-3da一d,a十da十3公差为2l). na+Dd 依题意，2a=2,且(a-3d)(a十3d)=-8, 2 即a=1,a2-9d=-8, 导学2 即d2=1,d=1或d=-1. [问题1][提示] 由于S。=a1+02D4=号r+ 2 又四个数成递增等差数列，∴d>0. .d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. (a-号)，所以当d≠0时，S,相应的函教是二次函 [例3][解析](1)方法-一设{am}的公差为d, 数，且常数项为0 则/a1+4d-10, [问题2][提示]由二次函数的性质可以得出：当d>0 la1+14d=25, 时，Sm有最小值：当d<0时，S,有最大值：且n取最接 a1=4, 近对称轴的正整数时，S.取到最值. 解得 ⊙结论形成 1.(1)大(2)小 故as=a+24d=4+21×号=40， 2.小大 [基础自测] 方法二因为5十25=2×15，所以在等差数列{an}中有 1.解析(1)n>1且n∈N+. a5十a25=2a15,从而a25=2a15一a5=2×25-10=40. (2)等差数列具有a1十am=a2十am-1=a3十am-2=…特 方法三因为5,15,25成等差数列，所以a5a15,a25也 征，可用倒序相加法 成等差数列， (3)由数列的前n项和的定义可知此说法正确. 因此a5一a15=a15一a5, (4)设数列{an}的首项为a1,公差为d, 即a2s-25=25-10,解得a25=40. (2)由等差数列的性质，得 则 na:+u(n-Dd 2 aa十a7=a1十a6=2as=a1十ag, 所以a3十a4十a5+a6十a?=5a5=70, n+1 n 于是a5=14,故a1十ag=2a5=28. (3)令cn=an一bn,因为{am},{bn}都是等差数列，所以 :盘到倍为等差数列。 {cn}也是等差数列，设其公差为d,由已知， 答案(1)×(2)√(3)√(4)/ 得c1=a1-b=5,c7=17, 则5+6d=17,解得d=2, 2.B在等差数列中，5o=10(a十a0》=120. 2 故a1g-b19=c19=5+18×2-41. a1十a10=24第五章数列。 [触类旁通] 近的整数时，am最小，而a2=一24，a3= 3.(2024·四川眉山高二月考)已知数列{an} 一23，所以该数列的最小项为a2=一24. 的前n项和为Sn,且Sn=2n2十n十1，n∈ [纠错心得]解决数列问题时，可以借鉴函数 N,,则an= 的方法，但必须注意数列相对函数的特殊性，尤 缜密思维提能区 易错案例 其是数列中的项数n只能取正整数，在求解时应 息视数列中项数的特珠性致误 引起注意，避免出错 [典例]在数列{a,}中，am=3n2一14n一8， 课堂小结 求该数列的最小项. 知识落实 技法强化 [错解] 由于am=3n2-14n-8 (1)常用累加法、累乘法求 3m-}°-孕国此当n=号时，孩数列的 (1)数列的递推公式. 特殊数列的通项公式. (2)数列{a.}中a。与(2)由S。求a.时要有分类 最小项等于- 3 前n项和S.的关系. 讨论意识，对n=1时的结 [正解] a.=3㎡-14m-8=3(n-号)】 果进行检验 得，周为号∈(2,3)，所以当m取距高号最 提示 请完成「谍后案1学亚评价（二） 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义 学业标准 素养目标 1,理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断与1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象核心素养 证明方法.（重点） 2.借助等差数列通项公式的推导，提升数据分析核心 2.了解等差数列与一次函数的关系.（难点） 素养 3.会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式3.通过等差数列通项公式的运用，提升逻辑推理、数学 解决一些简单问题.（重点、难点） 运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 少教材梳理 (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10072,10144,10216,10288,10360. 导学1等差数列的定义 以上四个数列有什么共同的特征？ 问题1 数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. 9 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 问题2问题1中的数列的共同特征能不能 ◎结论形成 用一个式子表示？ 1.等差数列的通项公式 an= 2.等差数列的单调性 由an=a1十(n一1)d可以变形为a.= dn十a1一d,所以可以看出am是关于n的 ©结论形成 一次函数，根据一次函数的性质可以研究 等差数列的定义 函数的单调性等. 如果数列{a,}从第2项起，每一项与它的 等差数列{an}的公差为d, 前一项之差都等于同一个常数d,即 (1)当d>0时，数列{an}为 数列 恒成立，则称{a,}为等差数 (2)当d<0时，数列{an}为 数列. 列，其中d称为等差数列的 (3)当d=0时，数列{an}为 数列. [微点睛]等差数列概念的理解 基础自测 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项 没有前一项. 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (2)每一项与它的前一项的差必须是同一 (1)数列9,7,5,3，…，一2n十11，…为等差 个常数（因为同一个常数体现了等差数列 数列 ( 的基本特征). (2)若一个数列每一项与前一项的差是一 (3)公差可以是正数、负数、零， 个常数，则该数列是等差数列. () 导学2等差数列的通项公式 (3)常数列也是等差数列： 问题1若一个等差数列{an},首项是a1,公 (4)根据等差数列的通项公式，可以求出数 列中的任意一项 ( ) 差为d,你能用a1和d表示出a2,ag, a1吗？ 2.数列{an}的通项公式an=2n十5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 问题2由问题1中的a2,a3,a:的表示，你 3.若数列{an}是首项a1=1,公差d=3的等 能猜想等差数列的通项公式吗？ 差数列，如果a.=2026,则n= A.673 B.674 C.675 D.676 4.若{an}是等差数列，且a1=1,公差d=5, 则an= 10 第五章数列。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等差数列的定义 题型二 等差数列的通项公式及应用 例判断下列数列是不是等差数列，如果 (一题多解) 不是，请说明理由. 例2 (1)在等差数列{an}中，已知a=7, (1)3,5,7,9 a1o=25,求通项公式an: (2)3,-3,3,-3,…; 6,n=1, (2)已知数列{a》为等差数列，a=: (3)an= -2n+9,n≥2： (4)an=a且n∈N(a为常数). a,=一子，求a6的值. [自主解答 [自主解答] 规律方法 (1)等差数列的定义给出了等差数列的递推关系： aw+1=an+d(n∈N). (2)定义给出判断一个数列{a.}是否为等差数列的 基本方法 [触类旁通] 1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 数列{bn}中，bn=3an十4，问：数列{bn}是否 为等差数列？并说明理由， 规律方法 (1)应用等差数列的通项公式求41和d,运用了方 程的思想.一般地，可由am=a,a。=b,得 a1+(m-1)d=a, 求出a1和d,从而确定通项 a1+(n-1)d=b, 公式. (2)若已知等差数列中的任意两项am,a。,求通项 公式或其他项时，则运用am=an十(m一n)d较为 简捷 11 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [触类旁通] [母题变式] 2.(1)(2024·上海杨浦高二期末)等差数列 1.(变条件)本例(2)中，若将“a1=2,am+1= {an}中，a1=3,a4=24,则数列{am}的通项 公式an= 0”改为“a1=2,a,a-1=a-1一a 1+3am (2)(2024·山东济南高二期末)已知等差 (≥2)”，其他条件不变，如何求证？ 数列a中a=弓a十a,=4a.=3,则 题型三等差数列的判定与证明 (一题多解一题多变) 例(1)判断下列数列是否为等差数列. ①am=3n十2；②an=n2+n. (2)已知数列{am}满足a1=2,am+1三 “(n∈N+),b,=(n∈N+),求证： 1+3a a 数列{b,}是等差数列. 2.(变条件、变结论)已知等差数列{a,}的首 [自主解答] 项为a1,公差为d,数列{bn}中，bn=3an十4， 问：数列{b,}是否为等差数列？并说明 理由 [素养聚焦]本题主要考查等差数列的判定与证 明，突出考查数学抽象和逻辑推理核心素养， 规律方法 等差数列的判定方法 (1)定义法：aw+1-an=d(常数)(n∈N,)白{an}为 等差数列。 (2)通项公式法：a.=an十b(a,b是常数，n∈N.)台 {an}为等差数列. 12 第五章 数列。 [触类旁通] [解析] 当n≥2时， -|易错警示上… 本题容易由2am1-2an+3, 3.(2024·四川成都高二月考)已知数列{a,}满 由2an+1=2an十3，得 将1a.是，忽略- a1-=1不满足等差数列的 是a=4a-4。心.配么a之 an-1 an+l-a= 2但a, 3 定义，判断数列【a是 等差数列从而导致失误。 (1)试证明数列{b}为等差数列； a-1≠3 ,故数列{a,不是等差数列。 (2)求数列{an}的通项公式. [纠错心得]审题错误，没有注意条件n≥2 当n≥2时，a+1-a,= 号，这说明这个教列从第 三项起，后一项与前一项的差为同一个常数，而 a,-@,=1≠受.漏审条件而误认为是等差数列， 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)等差数列的(1)方程思维的运用：根据a1,d, 定义 n,a。中任何三个量可求解另一 (2)等差数列的个量. [缜密思维提能区] 易错案例 通项公式 (2)注意a+1一an=常数与an 等差数列的判断 (3)等差数列的a。-1=常数的不同，前者n∈N+ 单调性. [典例]已知数列{am}中，a1=1,a2=2, 后者需n≥2才成立. 2an+1=2an十3(n≥2，n∈N+),判断{an}是 温馨 否是等差数列 提 请完成[课后案」学业评价（一） 第2课时 等差数列的性质 学业标准 素养目标 1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项。 1.借助等差中项的学习，提升数学抽象核心素养 2.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.（重点、易错点）2.通过等差数列性质的探究和应用，培养逻辑推 3.能灵活运用等差数列的性质解决问题.（难点） 理、数学运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2 等差数列{a,}中的任意连续三项之 间什么关系？ 导学1等差中项 问题1若三个数a,b,c成等差数列，那么 它们之间的关系应如何表示？ 13 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） ⊙结论形成 3.等差数列的项的对称性 等差中项 语言 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离” 1.定义 表示的两项之和等于首、末两项的和 如果x,A,y是等差数列，那么称A为x n为偶数 a1十a=a2十a-1=…=ag十a号+】 与y的 符号 n≥2 2.表示 表示为奇数 a1十an=ag十a.-1=…=2a+ n≥3 A=z 2 4.由等差数列构成的新等差数列 导学2等差数列的性质 设{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差 数列 问题1已知等差数列{an}的首项a,和公 差d能表示出通项am=a1十(n一1)d,如 数列 结论 果已知第m项am和公差d,又如何表示通 公差为d,的等差数列(c为任 (c+a, 常数) 项an? 公差为cd,的等差数列(c为任 (c·ae} 常数) 公差为2d,的等差数列(k为常 {am十an+e 数，k∈N+) 公差为pd1十gd2的等差数列(p, (pa+qb 9为常数) 问题2对于任意的正整数s,1,p,q,若十( 基础自测 =p十g.则在等差数列{an}中，a,十a,与 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） a。十a,之间有怎样的关系？为什么？ (1)若{an}是等差数列，则{amI}也是等差 数列 () (2)若数列{an}是等差数列，则a1,a3,as, a,a。也是等差数列. () (3)在等差数列{an}中，若am十an=ap十a,' ⊙结论形成 则m十n=p十q也能成立(m,n,p,g∈N+). 1.等差数列通项公式的推广 () 在等差数列{an}中，已知a1,d,am,a,(m≠n), (4)在等差数列{an}中，若m十n=r,m,n, 则d=0,二4=a二0，从而有a,=an十 r∈N+,则am十am=a,: n-1 n-m 2.在等差数列{an}中，已知a,十ag=16,则 a2十a1o= ( 2.项的运算性质 A.12 B.16 C.20 D.24 在等差数列{an}中，若s十t=p十q(s,t,p, 3.方程x2+6.x+1=0的两根的等差中项为 q∈N+),则a,十a,= 特别地，当2s=p+q(s,p,q∈N+)时，2a :4.在等差数列{an}中，已知a3十a:十a5十 a6十a,=450,则a2十ag= 14 第五章数列。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等差中项及其应用 [触类旁通] 例(1)在一1与7之间顺次插入三个数 1.(2024·山东青岛高二月考)在数列{an》 a,b,c使这五个数成等差数列，求此数列： (an≠1)中，am是1与aan+1的等差中项， (2)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn= 2"p十nq(n∈N+,p,q为常数)，且x1,x4 求证：数列马 是等差数列。 x5成等差数列.求p,g的值. [自主解答] 题型二等差数列中对称设项法的应用 (一题多变) 例2已知三个数组成等差数列，首末两项 之积为中项的5倍，后两项的和为第一项 的8倍，求此三个数， [自主解答] 规律方法 等差中项的应用策略 (1)求两个数x,y的等差中项，根据等差中项的定 义得A=十y 2 (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两 边两项的等差中项即可，即若a,b,c成等差数列， 则a十c=2b:反之，若a十c=2b,则a,b,c成等差数列. 15 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [母题变式] :[触类旁通] 1.(变条件、变结论)三个数成单调递增等差 :2.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2， 数列，它们的和等于18，它们的平方和等 首末两项的积为一8，求这四个数。 于116，求此数列. 题型三等差数列的性质及应用 2.(变条件、变结论)已知四个数依次成等差 (一题多解) 数列且是递增数列，四个数的平方和为 例3 (1)已知等差数列{a,},a=10,a15=25, 94,首尾两数之积比中间两数之积少18， 求as的值； 求此等差数列. (2)已知等差数列{an},a3十a,十a十a6十a =70,求a1十ag的值； (3)已知数列{an},{bn}都是等差数列，且 a1=2,b1=-3,a1-b2=17,求a19-b19 的值. [自主解答] [素养聚焦]本题通过考查等差中项和等差数列 性质的应用，提升逻辑推理和数学运算核心素养 规律方法 等差数列的设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时， 可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立 方程求出a,和d,即可确定数列. (2)当已知数列有2n项时，可设为a-(2n-1)d, …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d, 此时公差为2d. (3)当已知数列有2n十1项时，可设为a一d,a (n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+ nd,此时公差为d. 16 第五章数列。 规律方法 3, …(7分) 等差数列中常用的两种运算方法 所以山=号成=-品 (1)利用基本量运算，借助于a1,d建立方程组进行 ①当d= 3时a二2d=1-4=一1 33 运算，这是最基本的方法， (2)利用性质运算，观察等差数列中项的序号.若满 a-d=1- 3 +d-1+号- 2=1 足m十n=p十q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am十a. 47 …………(9分) a十a=2a a+2d=1+3=3 [触类旁通] ⑧含=一号时， 失分警示 :若未能准确求出 3.(1)(2024·甘肃天水高二月考)等差数列 这5个数，会扣 {an}中，若a3十a1十a5十a6十a7=450,则 024-1+号-景 14分： a2十ag 。=1+号- (2)(2024·湖北武汉高二月考)已知等差 数列{an}的公差d≠0，且a号=a1·,则 a+d=1-?=1 33 a1十a,+a7 4 a2十a5十ag a+2d=1- 3 (12分) [缜密思维提能区] 规范答题 综上知，这个数列为 火分警示卜- 等差数列性质的应用 3 若未给出结论扣 1分. [典例](13分)已知5个数成等差数列，它 75 们的和为5，平方和为求这个数列。 3 (13分) [审题指导]设这5个数分别为a一2d, 课堂小结 a一d,a,a十d,a+2d,利用条件求出a,进 而求出这5个数. 知识落实 技法强化 [规范解答]由已知5个数成等差数列， (1)等差数列项的运算性质可推广到 设这5个数分别为a一2d,a-d,a,a十d, 三项的情形，即“m十n十1=p十g十s, a十2d,……… (2分) 且m,n,t,p,q,s∈N,→aw十a,十a,= 所以(a-2d)+(a-d)+ 失分警示卜“y ap十a,十a,”,还可以推广至四项乃至 (1)等差中 a+(a+d)+(a+2d)=5, 若未先求a,则可 能会失掉3分」 更多项的情形，只要两边项数一样，且 项。 解得5a=5,a=1,… 下标的和相等即可. (2)等差数 …(5分) (2)等差数列的巧设元问题 列的性质 (a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+ 当三个数（或者四个数）成等差数列且 2d02=85 和为定值时，常采用对称设元，即a d,a,a+d(a-3d,a-d,a+d,a+ 解得5a2+10d=9,把a=11失分警示1- 3d),以达到简化运算的目的. 若求值错误或只 求出一个解，都 代入，整理，得d=4 温馨 会扣4分： 请完成「课后茶1学业评价（四） 17