5.1.2 数列中的递推-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

[例3][解析](1)假设0.98是数列{an)中的一项，则 : 课堂案·互动探究 有-098，释=9，所以1=7 [例1门[解析](1)由a品+1一am+2=(-1)", 因此a?=0.98,即0.98是数列(am}中的第七项. 得an+2 a元+1-(-1)" d时 n2 1 2a.+11市 又a1=1,a2=3, 1 0-3=（-1D_32+1-10, 对任意n∈N4a+1一a,=一m十1)++n 1 2n+1 04= }-(-1)2_102-1=33. (n2+1D[n+1)2+1万>0. a2 3 所以数列{a,是单调递增数列，最小项是第一项，@=2 d5= ￥-(-1)2_332+1=109. 10 .数列{an}的前5项为1,3,10,33,109. G,ga,+lg6,g+g㎡+1D=g2驱 (2)①证明 am=1-(n≥2n∈N+), 由2lg>3得n>10量，所以n的最小值为32. dn-1 [触类旁通] an+3=1- 1=1-1 am十2 11 3解析（1)是这个数列的第17项，理由如下： an+l -=1一 1 由a,n寻，可解得n=17,故是数到a,的 n 1 1-an dw 1- 11 an-1 项，是第17项. an (2)数列{am}是递增数列，证明如下： ②由①知(an}的周期为3， 由题知，a+1一an=n十一n 1 n+52n+5] a2028=a674X3+1=a1= =n+1)(n+51)-n(m+52) 51 [触类旁通] (n+51)(n+52) (n+51)(n+52)' 1.解析(1)由题，当n=1时，a2=4a1+3=7, n∈N+,.n+51>0,n+52>0, 当n=2时，a3=4a2十3=31，故选C 即an+1一au>0, (2)因为a1=1,a2=4, .数列{am》是递增数列. 所以ag=3,a4=-1,a5=-4,a6=-3,a7=1, 5.1.2数列中的递推 a8=4,…, 课前案·自主学习 所以{an}是以6为周期的周期数列，则 [教材梳理] a2024=a6×37+2=42=4, 导学1 答案(1)C(2)A [问题1门[提示]首项为1，从第2项起每一项等于它 [例2][解析]因为am=a-1十 1 的前一项的2倍再加1.即an=2am-1十1(n>1). a+1+后n≥2)， [问题2][提示]a2=3a1十2=5，aa=3a2十2=17， 1 所以am一am-1= =√m+1-n, a4=3ag十2=53. n+I+√m ◎结论形成 因为a1=1, 1.相邻两项或两项以上 所以a2一a1=3-2, 导学2 [问题1][提示]前5项的和为2+4+6+8+10=30. a3-a2=√4-5， 前6项的和为2+4+6+8+10+12=42. a4-ag=√5-√4. [问题2][提示]能求出第6项，相减就行 4 ⊙结论形成 am一am-1=√n+I-√n. 1.a1十a2十43十十an 所以am=a1十(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)十…十 [基础自测] (am-aw-1)=1+(W3-2)+(W4-√3)+(W5-4)+… 1.解析(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法. +(√n+I-√m)=n+1-√2+1. (2)并不是所有的数列都有递推公式.例如√2精确到1， 当n=1时，a1=1也适合上式， 0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数：1， 所以an=n十I一√2+1. 1.4.1.41,1.414,…就没有递推公式. [母题变式 (3)还需知道数列中至少一项的值. (4)该数列每一项都相同. 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ 1释折周为a=1.2一片≥2 2.B由递推关系可得0：=号a=品a,=器 2 所以…-·号 41a2a3 dn-2 dn-1 1 2 3.Cag+a7+ag+ag=Sg-S5=93-53=604. …产2脚a,=,经检险，当=1时， 2 2,n=1, 4.a 2n-1,n≥2 =1也满足上式，所以an=nn+》 2 3 @ 2.解析因为a1=1,且lnam-lnaa-1=1(n≥2)， [问题2][提示]猜想通项公式为an=a1十(n一1)d. 所以lnag-lna1=I, ⊙结论形成 In a3-In a2=1, 1.a1+(n-1)d …, 2.(1)递增(2)递减(3)常 In an-In da-1=1, [基础自测] 以上各式相加可得lnam一lna1=n一l, 1.解析(1)由等差数列的定义知该数列为等差数列. 又lna1=ln1=0, (2)如数列2,7,9,1.虽然7一2=5,9一7=2， 所以lnan=n-1,所以an=e”-I, 1一9=一8，每一项与前一项的差都是常数，但不是同一 经检验，当n=1时，a1=1也满足上式，所以an=e”- 个常数，故不是等差数列. [触类旁通] (3)因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常 2.D方法一（构造法）由已知， 数0. 参理得m+1a,=a骨-会 (4)只雪将项数n代入即可求出数列中的任意一项。 答案(1)√(2)×(3)√(4)√ 数列侣}是常盘到，且货-9-10，= 2.A am+1-aw=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴.{am}是公差为2的等差数列. 方法二（累乘法）当n≥2时，a1=” 3.D令1十3(n-1)=2026,解得n=676. ag-1n-11 4.解析因为a1=1,d=5,所以an=1十(n-1)×5=5n-4 二-…器号会-导两边分别和案。 0m-1=1一1 答案5n-4 课堂案·互动探究 得=.a1=1,am=m [例1][解析](1)该数列从第2项起，每一项与前一项 [例3][解析](1)a5十a6=S-S,=(-6)一(-4)=-2. 的差等于同一个常数2，所以该数列是等差数列. 当n=1时，a1=S1=1: (2)-3-3=-6,3-(-3)=6,不等于同一个常数，所 当n≥2时，an=S,n一Sw-1 以该数列不是等差数列， =(-1)+1·n-(-1)m·(n-1) (3)由题意得a1=6,a2=5,当n≥3时，am一am-1=-2. =(-1)+1·[m+(m-1)]=(-1)+1·(2m-1), 由于5一6=一1，而从第3项起，每一项与前一项的差等 又a1也适合此式，所以an=(一1)+1·(2n-1). 于同一个常数一2，所以该数列不是等差数列，但可以说 (2)因为当n=1时，a1=S1=6: 从第2项起该数列是等差数列， 当n≥2时，am=Sn-Sm-1=(3"+2m+1)-[3m-1+ (4)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一 2(n-1)+1]=2·3"-1+2, 个常数0，所以该数列是等差数列， [触类旁通] 由于a1不适合此式，所以an= 6,n=1 2·3-1+2,n≥2. 1.解析数列{bn)是等差数列. [触类旁通] 理由：：数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列， 3.解析当n≥2时，S4-1=2(n-1)2十n, ∴.an+1-am=d(n∈N+). 则an=Sw-S4-1=4n-1. ∴.bw+1-bn=(3an+1+4)-(3am十4)=3(aw+1-an) 经检验，n=1时，a1=S1=4,不符合上式， =3d. 4,n=1, .根据等差数列的定义，知数列{n}是等差数列. 故an= 4n-1,n≥2 [例2][解析](1)方法一，a4=7,a1o=25, 14,n=1, 答案 则a十3d=:得01=-2 4n-1,n≥2 a1+9d=25,ld=3. 5.2 等差数列 .am=-2+(n-1)×3=3n-5, 5.2.1等差数列 ∴.通项公式an=3n-5(n∈N-). 第1课时等差数列的定义 方法二a4=7,a10=25,∴.a10-a4=6d=18, ∴.d=3,∴.aw=a4+(n-4)d=3n-5(n∈N+. 课前案·自主学习 5 [教材梳理] (2)方法一由 a3=4 /a+2d=5. 4 得 导学1 7d,=-，正1+6/=71 [问题1][提示]共同特点：从第2项起，每项与它的前 一项的差是同一个常数 解得a1= 1 3 [问题2][提示]能，如果用d表示那个常数，则可以 4d=- 表示成an+1一an=d. ∴as=a+15-1Dd-+14x(←-)=- ©结论形成 am+1一an=d公差 方法二由a=as十(7-3)d,即-子-号+4d, 导学2 [问题1门[提示]a2-a1=d,即a2=a1十d: 解得d=一是 a3-a2=d,即a3=a2十d=a1十2d: as-a3=d,a=a3+d=a+3d. a6=as+a5-3d=号+12x(←是)=-8。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 5.1.2 数列中的递推 学业标准 素养目标 1.借助利用数列的递推公式求具体项，培养数学运算 1.理解递推公式及数列的前n项和的含义，（重点） 核心素养. 2.掌握递推公式的应用.（难点）》 2.利用数列的前n项和求数列的通项公式.培养数学 3.能根据前n项和S。求通项公式a.(重点) 建模、逻辑推理核心素养 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 教材梳理 [微点睛]对递推公式的理解 (1)与数列不一定都有通项公式一样，并不 导学1数列的递推关系 是所有的数列都有递推公式： 问题1 观察1,3,7,15,31,63这些数有什 (2)递推公式也是给出数列的一种重要方 么规律吗？如何用一个代数式表示出该数 法，递推公式和通项公式一样都是关于项 列的规律？ 数n的恒等式，如果用符合要求的正整数 依次去替换n,就可以求出数列的各项. (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项， 直至求出数列的任何一项和所需的项， 问题2已知数列{an}的首项a1=1,且有 导学2数列的前n项和 an=3a,-1+2(n>1),如何求出a2,a1,a,? 问题1 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，它 的前5项的和是多少呢？前6项的和呢？ ⊙结论形成 1.递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列 问题2对于一个数列，如果已经知道它的 的 的关系都可以用 前5项的和为30，前6项的和为42，能求 出哪一项？怎么求？ 个公式来表示，则称这个公式为数列的 递推关系（也称为递推公式）. 2.递推公式与通项公式的区别与联系 不同点 相同点 ○结论形成 通项可根据某项的序号，直接 1.数列的前n项和 公式用代入法求出该项 都可确定一个 给定数列{an},称S。= 可根据第1项或前几项 数列，都可求 为数列{an}的前n项和。 递推的值，通过一次或多次赋 出数列的任何 : 2.数列前n项和与a。的关系 公式值逐项求出数列的项，直 一项 S1,n=1, 至求出所需的项 S.-S-1n>1. 6 第五章数列。 基础自测 2.在数列a,中a1=13a.a=2,则a, 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） ( (1)递推公式不能用来表示数列.( A.S B号 c n.9 (2)所有的数列都有递推公式. ( 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n3,则a6十 (3)由公式aw+1=a.一2(n≥1)可写出数列 a,十a8十ag等于 {an}的所有项. ( A.729 B.387 C.604 D.854 (4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是 4.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n+1, 常数列. ( ) 则数列{a.}的通项公式是 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 由递推公式求数列的指定项 [触类旁通] 例1(1)数列{an}中，a1=1,a2=3,am+1 1.(1)(2024·内蒙古赤峰高二月考)已知数 a4m+2=(-1)",求{an}的前5项. 列{an}满足a1=1,an+1=4am十3，则ag= ( (2)在数列(a,}中，a=2a,=1- an-1 A.67 B.115 C.31 D.127 (n≥2，n∈N+). (2)(2024·河南郑州高二月考)已知数列 ①求证：aw+3=am； {an}满足a+2=a+1一a,且a1=1,a2=4, ②求a2023 则a2024= [自主解答] A.4 B.1 C.3 D.-1 题型二 由递推关系求通项公式（一题多变） 例2已知数列{an}满足a1=1,an=a.-1十 1 =(n≥2)，求an n+1+ [自主解答] 规律方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公 式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)数列的周期性往往隐藏于数列的递推公式中， 解决周期数列的关键在于利用递推公式算出前若 干项或由递推公式发现规律，得出周期而求解 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） [母题变式 [触类旁通] 1.(变条件)将本例中的条件“am=aw-1十 2.已知a=1,an=n(a+1-an)(n∈N+),则 1一”改为“=十1”，其他条件 数列{an}的通项公式是 n+1+√n a n-1 A.am=2-1 不变，求an a- C.a,=n2 D.a=n 题型三an与Sm关系的应用 例3已知数列{a.}的前n项和为S (1)若Sn=(-1)+1·m,求a十a6及an: (2)若Sn=3”+2m十1，求an [自主解答] 2.(变条件)将本例中的条件“am=a。-1十 ”改为“lna,-lnam-1=1”,其 √n+1+√m 他条件不变，求a [素养聚焦]本题主要考查根据递推关系求数列的 通项公式，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养 规律方法 由递推公式求通项公式的两种方法 规律方法 (1)票加法：当an=a,-1十f(n)时，常用a.=(an 用an与S.的关系求a。的步骤 aw-1)+(aw-1-aw-2)+…+(a2-a1)十a1求通项. (1)先确定n≥2时an=S。-S,1的表达式. (2)累乘法：当=g(n)时，常用a=·= (2)再利用S.求出a1(a,=S,). (3)验证a1的值是否适合a。=S。一S。-1的表达式. ,4·a,求通项. (4)写出数列的通项公式， 8 第五章数列。 [触类旁通] 近的整数时，am最小，而a2=一24，a3= 3.(2024·四川眉山高二月考)已知数列{an} 一23，所以该数列的最小项为a2=一24. 的前n项和为Sn,且Sn=2n2十n十1，n∈ [纠错心得]解决数列问题时，可以借鉴函数 N,,则an= 的方法，但必须注意数列相对函数的特殊性，尤 缜密思维提能区 易错案例 其是数列中的项数n只能取正整数，在求解时应 息视数列中项数的特珠性致误 引起注意，避免出错 [典例]在数列{a,}中，am=3n2一14n一8， 课堂小结 求该数列的最小项. 知识落实 技法强化 [错解] 由于am=3n2-14n-8 (1)常用累加法、累乘法求 3m-}°-孕国此当n=号时，孩数列的 (1)数列的递推公式. 特殊数列的通项公式. (2)数列{a.}中a。与(2)由S。求a.时要有分类 最小项等于- 3 前n项和S.的关系. 讨论意识，对n=1时的结 [正解] a.=3㎡-14m-8=3(n-号)】 果进行检验 得，周为号∈(2,3)，所以当m取距高号最 提示 请完成「谍后案1学亚评价（二） 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义 学业标准 素养目标 1,理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断与1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象核心素养 证明方法.（重点） 2.借助等差数列通项公式的推导，提升数据分析核心 2.了解等差数列与一次函数的关系.（难点） 素养 3.会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式3.通过等差数列通项公式的运用，提升逻辑推理、数学 解决一些简单问题.（重点、难点） 运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 少教材梳理 (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10072,10144,10216,10288,10360. 导学1等差数列的定义 以上四个数列有什么共同的特征？ 问题1 数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. 9