5.1.1 数列的概念-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 学业标准 素养目标 1.理解数列的有关概念.（难点） 1.通过学习数列的相关概念，培养数学抽象核心 2.掌握数列的函数特性、数列的通项公式及应用.（重点） 素养 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.（易2.通过数列通项公式的学习及应用，提升逻辑推 错点) 理、数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (2)项：数列中的每一个数都称为这个数列 的项 导学1数列的概念 首项：数列的 问题1 按顺序分别写出满足下列条件 末项：有穷数列的最后一项。 的数： (3)项数：组成数列的数的个数. (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数： 2.数列按项的个数分类 (2)一1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂： 类别 含义 (3)正整数1,2,3,4,5,6，…的平方 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 导学2数列的通项 问题2问题1中的几列数有什么特点？ 问题1 观察数列1分子写…数列 的每一项与这一项的序号是否有一定的对 应关系？这一关系能否用一个公式来 ◎结论形成 表示？ 1.数列的概念 (1)数列：按照 排列的一列数称为 数列. 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 问题2如果知道了数列的每一项可以用 ◎结论形成 a,=1表示，这个数列的第10项是多少？ 1.数列与函数的关系 n 数列{a,}可以看成定义域为正整数集的子 第100项呢？ 集的函数，数列中的数就是自变量从小到 大依次取正整数值时对应的函数值，而数 列的通项公式也就是相应函数的解析式， ◎结论形成 2.数列按项的变化趋势分类 1.数列的通项 类别 含义 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…, 从第2项起，每一项都 它的 an…,其中an表示数列的 (也称 递增数列 前一项的数列 n为am的序号，其中n为正整数，即n∈ 从第2项起，每一项都 它的 递减数列 N,),称为数列的通项.此时，一般将整个 前一项的数列 数列简记为 常数列 各项 的数列 2.数列的通项公式 从第2项起，有些项 它的前一 如果数列的第n项a。与n之间的关系可 摆动数列 项，有些项 它的前一项的数列 以用 来表示，其中f(n)是关于 微点睛] 从函数角度看数列：数列与函 n的不含其他未知数的表达式，则称上述 定义域为N(或{1,2,3，…n) 关系式为这个数列的一个通项公式 数的关系为函数 3.通项公式的作用 数列，也就是说数列是一个特殊的函数， (1)求数列中的任意一项. 数列的通项公式就是相应的函数的解析 (2)检验某数是不是该数列中的项. 式，其图象是相应的曲线（或直线）上横坐 [微点睛](1)并不是所有的数列都有通 标为正整数的一些孤立的点， 项公式. 平基佛自测 (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 是不唯一的，例如数列一1,1，一1,1，一1， (1)数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列. 1,…的通项公式可以写成a,=(一1)”， an=(-1)+2,an=cosnπ等. (2){an}与an是一样的，都表示数列.( 导学3数列与函数的关系 (3)所有数列都能写出其通项公式且一个 已知函数/八x)=-十多，你能 数列的通项公式是唯一的. 问题1 根据这个函数构造出一个数列吗？ (④)数列十}是递增数列。 2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( A.a=n B.a,=n+1 C.an=n十2 D.a=2n 问题2 函数f(.x)= +号和通项公式 3.数列{an}的通项公式为am=25一2n,在下 为a,=一 +有什么根本不同？ 列各数中，不是{an}的项的是 ( A.1 B.-1 C.3 D.2 4.若数列1,2,4，m,16,…是递增数列，则实 数m的取值范围是 第五章数列。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一观察法求数列的通项公式 : [触类旁通] 例根据下面数列的前几项的值，写出数 1.写出下列数列的一个通项公式： 列的一个通项公式： (1) 1371531 (1)3,5,7,9,11,13,…: 2’4’8'16'32… 246810 (2) (2)3153563·99… (3)0,1,0,1,0,1,; 8-1号一-… (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,… (4)3,33,333,3333,… (5)2,-6,12,-20,30,-42,… [自主解答] 规律方法 根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等。 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变 化部分的规律与对应序号间的函数解析式 (3)对于符号交替出现的惰况，可先观察其绝对值， 再用（一1）或（一1）+1处理. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和 的形式，或者利用周期函数，如三角函数等， 3 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型二数列通项公式的应用 (一题多变) [素养聚焦]本例主要考查数列通项公式的应用， 例2 已知数列{an〉的通项公式为a。= 突出考查逻辑推理、数学运算核心素养 规律方法 n2+3n 求项或判断某项是否为数列的项的方法 (1)写出数列的第4项和第6项： (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代 (2)试问。是该数列的项吗？若是，是第 入通项公式，就可以写出数列中的指定项 (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数 几项？若不是，请说明理由 列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整 [自主解答] 数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. [触类旁通] 2.(2024·黑龙江鸡西高二期中)已知数列 am=n2-7n+6. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是，求出 它是第几项；若不是，请说明理由 (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [母题变式] (变条件)若将本例(2)的“”变为“。 27 其他条件不变，结果如何？ 第五章数列。 题型三数列的单调性及其应用 3.(2024·河南驻马店高二月考)已知数列 例已知数列{an}的通项公式为an= a,的通项公式为a, n∈N),数列{6，》的通项公式为 n2 (1)问是不是这个数列的项？如果是，为 b.=n2+1(n∈N+). 第几项；如果不是，请说明理由 (1)0.98是不是数列{an}中的一项？ (2)判断数列{a.}的增减性并证明. (2)判断数列{a}的单调性，并求最小项： (3)若cn=lgam十lgbn(n∈N+),求满足 cm>3最小的n的值. [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)运用观察、归纳、概括的 规律方法 (1)数列的有关概念 方法，研究数列的通项公式 判断数列的单调性的方法 (2)数列的通项公式， (2)因为数列是特殊函数， (1)利用数列{an》中a。和a。+1的大小关系判断，若 (3)数列与函数的 所以用比较法研究数列的 a。<am+1(an>a+1),则数列为递增（减）数列. 关系。 单调性，进而求最值， (2)利用数列的图象直观判断，图象上升（下降），则 数列为递增（减）数列， 温馨 提示 请完成「谍后案1学业评价（一） [触类旁通]高中同步学习方案 第五章 数列 5.1 数列基础 课堂案·互动探究 5.1.1 数列的概念 [例1门[解析](1)是从3开始的奇数列an=2n+1: 课前案·自主学习 (2)分子为偶数，分母为相邻两奇数的积， [教材梳理] 2n am-(2n-1)(2m+1) 导学1 [问题1][提示]1)1,234亏6 11111 (3)an= +（少我a,=m"分： 2 (4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1， (2)(-1)1,(-1)2,(-1)3,(-1)1 7+0,8+1…, (3)12,22,32,42.52,62, [问题2][提示]①都是一列数；②都有一定的顺序. 所以an=n+1+(-1)” 2 ○结论形成 (5)将数列变形为1×2，一2×3,3×4，一4×5,5×6，…， 1.(1)一定次序(2)第1项 所以an=(-1)+1n(n十1). 2.有限无限 [触类旁通] 导学2 1,解析所给4个数列的通项公式分别为 [问题1][提示]该数列的对应关系为数列的每一项 1)a=2”1 均为这一项序号的例量公式山。一日可表示这个载列， 20 [问题][提示]第10项为aw=第10项为0m 1(m=2k-1) 100 (3)am (其中k∈N+), ⊙结论形成 3(n=2k) 1.第n项{an} 由于1=2-1,3=2+1，所以数列的通项公式可合写成 2.am=f（n) 4m=(-1)".2+(-1) 导学3 [问题1门[提示]在函数f(x)=一 +号中，分别令 1 4a,=10-1. 工=1,2,3，…，n…,就可以得到数列2,21…，一20 3 1 : [例2][解析](1)因为an= 4 2+3m1 4 1 2 所以a4=42+3×4 7a6=62+3×627 [问题2][提示]变量的取值不同. (2哈7知品中+3颜-0=0， ©结论形成 2.大于小于都相等大于小于 解得n=5或n=一8，注意到n∈N+, 基础自测 故将川=一8含去，所以品是孩量列的第5项。 1.解析(1)两个效列相同，每一项都必须相同，而且数列 [母题变式] 具有顺序性， (2)因为{am}代表一个数列，而am只是这个数列中的第 : 解析令 ”则4r+12w-27=0. n项，故{an}与am是不一样的. (3)有的数列就没有通项公式，而且有的数列的通项公 解得n= 8或n=一 9 2 式不唯一 (由载列的通项a,一升知，a1-a,=}升 注意到nEN,所以号不是北载列中的项。 n+2n十1 [触类旁通] m十2m+D>0,即数列{n升}是运增数列。 1 2.解析1)a:=42-7×4+6=-6: (2)令am=n2-7n+6=150,即n2-7n-144=0, 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ 即(n-16)(n+9)=0, 2.B这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通 解得1=16或n=一9（舍去）， 项公式为am=n十1. 故150是这个数列的项，为第16项： 3.D25一2n不可能为偶数。 (3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0, 4.解析有递增数列的概念知4<m<16. 解得n<1或n>6,因为n为正整数，所以从第7项开始 答案(4,16) 都为正数」 [例3][解析](1)假设0.98是数列{an)中的一项，则 课堂案·互动探究 有-098，屏释=9，所以=7 : [例1门[解析](1)由a品+1一a4+2=(一1)"， a7+1-(-1)" 因此a?=0.98,即0.98是数列{am)中的第七项. 得an+2 d时 n2 1 又41=1，a2=3, 对任意n∈N+,ag+1一am=一 1 0-3=（-1D_32+1=10, +1)2+++ 1 2n+1 a4= 3-(-102_102-1=33. (n2+1)[(n+1)2+1万>0， a2 3 所以数列{a,是单调递增数列，最小项是第一项，@= as= a￥-（(-102_332+1=109. 10 ∴.数列{an}的前5项为1,3.10,33,109. 么ga,+g6g+gr+1D=g=2驱 (2)①证明 :a,=1-1(m≥2，m∈N. 由21g>3得n>10量，所以n的最小值为32 an-1 [触类旁通] …aw+3=1- 1=1-1 am十2 11 3解析（)是这个数列的第17项，理由如下： an+l -=1一 1 由a,n子可解得a-17,故是数列a的 1- 1 1、1 1-an an一1 项，是第17项. an (2)数列{am}是递增数列，证明如下： ②由①知(an}的周期为3， 由题知，a+1一an=nt一n 1 n+521+57 2028=a674×3+1=a1= =n+1)(n+51)-n(n+52 51 [触类旁通] (n+51)(1+52) =m十5D(u+52' ! 1.解析(1)由题，当n=1时，a2=4a1+3=7, n∈N+,.n+51>0,n+52>0, 当n=2时，a3=4a2+3=31,故选C 即am+1一au>0, (2)因为a山=1，a2=4, .数列{an}是递增数列. 所以a3=3,a4=-1,a5=-4,a6=-3,a7=1, 5.1.2数列中的递推 ag=4,…, 课前案·自主学习 所以{an}是以6为周期的周期数列，则 [教材梳理] a2024=a6×37+2=42=4. 导学1 答案(1)C(2)A [问题1门[提示]首项为1，从第2项起每一项等于它 [例2][解析]因为am=a-1十 的前一项的2倍再加1.即anm=2am-1十1(n>1). n+1+后n≥2)， 1 [问题2][提示]a2=3a1十2=5，aa=3a2十2=17， 1 所以am一am-1=- =√n+1-√m, a4=3a3十2=53. n+I+√ ◎结论形成 因为a1=1, 1.相邻两项或两项以上 所以ag一a1=3-2, 导学2 [问题1][提示]前5项的和为2+4+6+8+10=30. a3-a2=√4-5， 前6项的和为2+4+6+8+10+12=42. a4-a3=√5-√4， [问题2][提示]能求出第6项，相减就行 5… ⊙结论形成 am一an-1=√n+I-√n. 1.a1十a2十a3十十am 所以am=a1十(a2-a1)+(a3一a2)+(a4-a3)+…+ [基础自测门 (am-am-1)=1+(W3-2)+(W4-√3)+(5-4)+… 1.解析(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法. +(√n+I-√m)=n+I-√2+1. (2)并不是所有的数列都有递推公式.例如√2精确到1， 当n=1时，a1=1也适合上式， 0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数：1， 所以am=n十I一√2+1. 1.4.1.41,1.414,…就没有递推公式. [母题变式] (3)还需知道数列中至少一项的值. (4)该数列每一项都相同. 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ 1释折周为a=1.2-≥2 2.B由递推关系可得0：=号a=品a,=品 2 所以…-·号 41a2a3 dn-2 dn-1 1 2 3.Ca6十a7十ag+ag=Sg-55=93-53=604. …产2即a,=,经检险，当=1时， 2 2,n=1, 4.a 2n-1,n≥2 =1也满足上式，所以ann+卫 2