精品解析：广东省东莞市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

东莞一中2024-2025学年度第二学期高二第一次月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. ， 2. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (0，1)(2，3) 3. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 4. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 5. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ） A 60 B. 48 C. 54 D. 64 6. 直线是曲线的切线，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在的展开式中，的系数是 B. 个不同颜色的球分成个、个、个三堆，有种分法 C. 已知函数，则 D. 设函数的导函数为，且， 10. 关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项二项式系数之和为 B. 各项系数之和为1 C. 只有第5项的二项式系数最大 D. 常数项为672 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数存在两个极值，则实数取值范围为 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为 D. 当时，若，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是______． 13. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 14. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求曲线在点点处切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 16. （1）名男生和名女生站成一排，男、女分别排在一起的站法有多少种排法？ （2）从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有多少种？ （3）某学校招收的名特长生中有名绘画特长生，现要将这名学生平均分配到个班中去，每班都分到名绘画特长生的分配方法有多少种？ （4）已知多项式． ①求； ②求． 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）设，试讨论函数零点的个数. 19. 给定两个正整数、，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足，，，（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）．已知函数． （1）记为在处的阶帕德逼近，求解析式； （2），，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞一中2024-2025学年度第二学期高二第一次月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用导数可求出原函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，且， 由可得，故函数的增区间为. 故选：B. 2. 已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ） A. (0，1) B. (1，2) C (2，3) D. (0，1)(2，3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论． 【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是． 故选：B． 3. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】先由可求出n，再代入式子即可求出. 【详解】，解得或（舍去）， . 故选：D. 【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题. 4. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解. 【详解】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 5. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ） A. 60 B. 48 C. 54 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，需分成两步完成，第一步安排甲，第二步安排乙和丙，运用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】因甲不选景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法； 第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法. 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种. 故选：B. 6. 直线是曲线的切线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出切线方程，使之与重合，建立方程关系，得出值. 【详解】设切点为，因，则，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 故且，得，. 故选：D 7. 已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数，若方程有三个不同实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图， 方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则， 由，得：，即， 而，，则， 于是得， 记，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在定义域上单调递减，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在的展开式中，的系数是 B. 个不同颜色的球分成个、个、个三堆，有种分法 C. 已知函数，则 D. 设函数的导函数为，且， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项展开式通项可判断A选项；利用组合计数原理可判断B选项；利用导数的运算法则可判断CD选项. 【详解】对于A选项，的展开式通项为， 由，可得，所以，展开式中的系数是，A对； 对于B选项，个不同颜色的球分成个、个、个三堆，分法种数为种，B对； 对于C选项，已知函数，则，故，C错； 对于D选项，设函数的导函数为，且， 等式两边求导得， 所以，，解得，D对. 故选：ABD. 10. 关于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项二项式系数之和 B. 各项系数之和为1 C. 只有第5项的二项式系数最大 D. 常数项为672 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可判断A、C；令可判断B，利用二项式展开式的通项公式可判断D. 【详解】二项式系数之和为，故A错误； 令，得各项系数之和为，故B正确； 展开式共有10项，故二项式系数最大项是第5项和第6项，故C错误； 二项式展开式的通项为， 令即，可得常数项为，故D正确． 故选：BD． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数存在两个极值，则实数的取值范围为 B. 当时，函数在上单调递增 C. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；对C选项：结合单调性，可转化为当时，有成立，求出最小值即可得；对D选项：采用同构法可确定，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对A选项：， 若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点， 令，则， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当时，恒成立， 当时，， 故当，函数有两个变号零点， 即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为， 故A错误； 对B选项：当时，， ， 令，则， 则当时，，当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故函数在上单调递增； 故B正确； 对C选项：当时，， ， 令，则， 则当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故在上单调递增， 则存在，使不等式成立， 等价于存在，使不等式成立， 则当时，有成立， 由当时，，且在上单调递增， 故，即实数的最小值为，故C正确； 对D选项：当时，由B、C可知，、均为定义域上的增函数， 由，，故有，， 由，则， 即，故， 又，故， 令，则，令， 则， 则当时，，当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 即，故在上单调递增， 故无最小值，即无最小值， 故D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，存在，使得，可得，结合反比例函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，存在，使得，可得， 因为函数在上为减函数，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 【答案】328 【解析】 【详解】利用分类计数原理，共分两类： (1)0作个位，共＝72个偶数； (2)0不作个位，共··＝256(个)偶数， 共计72＋256＝328(个)偶数． 14. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算. 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所以，，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求曲线在点点处的切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 【答案】（1） （2）极大值点为；极大值0，无极小值与极小值点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的极值点和极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而 所以所求切线方程为：. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值与极小值点． 16. （1）名男生和名女生站成一排，男、女分别排在一起的站法有多少种排法？ （2）从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有多少种？ （3）某学校招收的名特长生中有名绘画特长生，现要将这名学生平均分配到个班中去，每班都分到名绘画特长生的分配方法有多少种？ （4）已知多项式． ①求； ②求． 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）① ；②． 【解析】 【分析】（1）将男生、女生各视为一个整体，利用捆绑法可求得结果； （2）对男生、女生的人数进行分类讨论，结合组合计数原理可得结果； （3）先将名篮球特长生平均分配到个班中去，然后再将剩余的人平均分到三个班上去，结合分步乘法计数原理可得结果； （4）①利用二项展开式可求得的值；②利用赋值法可求得所求代数式的值. 【详解】（1）第一步：把男生和女生分别看成一个元素，有种排法， 第二步：男生和女生内部还有一个全排列有种排法， 总排法数为种． （2）解：分三种情况：①男女共有种选法； ②男女共有种选法； ③男女共有种选法； 总方法数为：种不同方法． （3）第一步：将名篮球特长生平均分配到个班中去，有种分法； 第二步：将名学生平均分配到个班中去，有种分法； 所以共有种分法． （4）①因为， 且. 所以，． ②令，得； 令，得， 所以，． 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可求出、的值，然后利用导数分析函数的单调性，即可得解； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵函数在和处取得极值． ∴，， 联立解得：，． ∴，令，解得和， 时，，函数上单调递增； 时，，函数在上单调递增． 时，，函数在上单调递减； 故和是的极值点， 函数单调递增区间为、；函数单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需， 由（1）可知：， ∴，即，解得：或． ∴取值范围是． 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）设，试讨论函数的零点的个数. 【答案】（1）； （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题可将函数的零点的个数转化为直线与函数的图象交点个数，利用导数研究函数的性质，利用数形结合即得. 【小问1详解】 ∵， ∴，，又曲线在点处的切线方程为， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 由，得， 令，则， 令，则， ∴函数在上单调递减，又， ∴当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴当时，函数有最大值， 画出函数的大致图象， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象没有交点，即函数没有零点， 当，即时，直线与函数的图象有一个交点，即函数有一个零点， 当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点. 综上，当时，函数的零点个数为0，当时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2. 19. 给定两个正整数、，函数在处的阶帕德逼近定义为，且满足，，，（注：为的导函数，为的导函数，为的导函数，以此类推）．已知函数． （1）记为在处的阶帕德逼近，求解析式； （2），，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分别求出、、的值，可得出、、，即可得出的表达式； （2）由题意可知，依题意得，构造函数，其中，且，对实数的取值进行分类讨论，验证对任意的能否恒成立，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， ，，， 由，得， 所以，则， 由，得， 所以，由，得， 所以． 【小问2详解】 依题意得在区间内恒成立， 可得， 令，其中，且， 则，令， 当时，对任意的，恒成立，即， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时， 对任意的，恒成立，即， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，则，函数有两个不等的零点、，设， 由韦达定理可得，必有， 所以，当时，，即，所以，函数在上单调递减， 此时，，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$