精品解析：广东省中山市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题

中山市第一中学2027届高一第二学期第一次段考 数学 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求值. 【详解】. 故选：D 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 3. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，由向量加法和数乘，结合平面向量的基本定理计算即得. 【详解】如图， 故选：B. 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解. 【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为， 则，解得， 故选:D. 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用诱导公式变形，结合二倍角余弦公式计算即可. 【详解】因为，所以 ， 则. 故选：A. 7. 如图，在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的运算以及数量积的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 即, 所以，即， 因为, 所以 ， 故选:C. 8. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数进行化简，再根据给定区间和余弦型函数性质确定的表达式，最后求出的最大值. 【详解】， 当时，； 最小正周期， 若取得最大值，则在上单调， 由对称性，不妨设在上单调递增， 令，解得：， 的单调递增区间为； 当， 即时， ， ， ， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则与共线 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若是两个单位向量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，根据条件得到，从而与可能垂直，即可求解；对于D，根据条件，利用模长的计算公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】对于选项A，因为为非零向量，且，所以，则与共线，所以选项A正确， 对于选项B，当时，显然有，但与可能不共线，所以选项B错误， 对于选项C，，得到，所以与可能垂直，不一定有，故选项C错误， 对于选项D，若是两个单位向量，且，则， 得到则，所以选项D正确， 故选：AD. 10. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点的坐标代入解析式，求得的值，根据周期公式可判断选项A，根据已知点可求得的值，可判断B，根据的取值范围得到的取值范围，再依据单调递增区间可判断选项C，根据零点个数以及整体代入法可求得选项D. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，而，所以，即， 选项A，的最小正周期是，则，A正确； 选项B，的图象关于点中心对称， 则（因为），B错误； 选项C，时，， 则，解得，C正确； 选项D，时，， 方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解， 则，解得，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图像关于对称，则的最小值为__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】运用对称轴的性质得到方程计算即可. 【详解】由，解得， 因为，所以则的最小值为. 故答案为：. 13. 已知，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 14. 已知且满足，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用三角函数两角差公式对展开，再结合同角三角函数的基本关系以及弦化切结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则. 所以. 即. 则. 等式两边同时除以得.. 则，即. 所以. 设，因为，所以， 则. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以.则的最大值. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简得，再由同角三角函数的商数关系得； （2）由得，由两角和的正切公式得，利用齐次式弦化切得的值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，所以， 即，所以， . 16. 已知，的夹角为，且，设. （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，列式计算得解. （2）利用共线向量定理列式求解. （3）利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【小问1详解】 由的夹角为，且，得， 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，而不共线，则，解得， 所以. 【小问3详解】 当时，，， ， 且，则， 所以与的夹角的余弦值为. 17. 青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅. （1）设，将四边形的面积表示成的函数； （2）如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个最大值. 【答案】（1），； （2）当时，四边形的面积最大为平方米. 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角形面积公式得，再结合三角恒等变换可得四边形面积； （2）由（1）得四边形的面积，，利用正弦函数的性质即可求其最大值. 【小问1详解】 由题意，要得到四边形，则， 利用直角三角形面积公式得到： ，. 【小问2详解】 由（1）知：，，所以， 所以当时，即时，四边形的面积最大， 即平方米. 18. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）求函数在的单调递增区间； （3）若在区间上有9个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）3. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式的逆用和辅助角公式将化成单角单函数的形式，从而求得最大值； （2）法1：先求出在上的单调递增区间，再令和，与取交集得到在上的单调递增区间； 法2：由得，再由在上的单调递增区间是和，求得的范围即为在的单调递增区间； （3）由得，从而转化成在上有9个根的问题，由结合正弦函数图象得，从而解出的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以函数的最大值为3. 【小问2详解】 法1：令，解得， 分别取和，得和， 因为，所以和， 所以在的单调递增区间为. 法2：令，则， 因为在和上单调递增， 因此， 解得， 所以在的单调递增区间为. 【小问3详解】 令，则， 由题可知：在上有9个根，即， 因此，即. 故实数的取值范围是. 19. 在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（或，记作. （1）设函数，求； （2）当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围. 【答案】（1）-2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围； ②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 所以. 【小问2详解】 ①因为 ， 又，所以当时， 当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，则， 所以， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市第一中学2027届高一第二学期第一次段考 数学 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 值是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若为非零向量，且，则与共线 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若是两个单位向量，且，则 10. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同实数解，则的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图像关于对称，则的最小值为__________. 13. 已知，，，，则__________． 14. 已知且满足，则的最大值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若，求的值. 16. 已知，的夹角为，且，设. （1）若，求实数； （2）若，求实数； （3）时，求与的夹角的余弦值. 17. 青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅. （1）设，将四边形的面积表示成的函数； （2）如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个最大值. 18. 已知函数. （1）求函数最大值； （2）求函数在的单调递增区间； （3）若在区间上有9个零点，求实数取值范围. 19. 在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（或，记作. （1）设函数，求； （2）当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$