第8讲 分式方程及其应用-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

第8讲分式方程及其应用 8年4考 课 1.能解可化为一元一次方程的分式方程。 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 要 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效 求 数学模型 教材知识梳理 回顾必备知识 基对练 左练 X 1.【新课标·过程性学习】解方程： ★知识点一 分式方程的解法 1=x-1-3 2-xx-2 L.解分式方程 解：方程的两边都乘x一2，得 (1)基本思路 =x-1 。去 →去 分式方程两边同乘 =x-1-3x 去分母 →整式方程 -x十3.x= (2)一般步骤 2x= →合并 t= →系数化为 分式方程 ~整式方程解整式方程 检验：当x=3时， 最简公分 →检验 母为0 x=a不是分 x-2= 式方程的解 原分式方程的解是x= 最简公分 2.【串题练透考点】已知关于x的分式方程，乙3 母不为0 x=a是分式 方程的解 2=写m为常数). 口诀：一化二解三检验四写根 【易错警示】(1)去分母时，不要漏乘常数项：(2)移项 (1)以下是小敏同学解该分式方程的部分过 时，符号要改变：(3)解分式方程一定要验根.脸根的方 程，请认真阅读，并回答以下问题. 解：去分母，得x一2=m,第一步 法：①代入原分式方程检脸：②代入最简公分母检验. 移项，得x=m十2，第二步 2.增根的产生 … 使分式方程的分母为 的根是增根 从第 步开始出错，错误的原因是 【方法点拔】增根问题可按如下步骤进行：①让最筒公 、 分母为0，确定增根：②化分式方程为整式方程；③把增 则正确的结果为x= (用含m的 根代入整式方程即可求得相关字每的值。 代数式表示)： 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概念，分 (2)若分式方程的解为x=4,则m的值为： 式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整 (3)若分式方程有增根，则m的值为： 式方程无解：分式方程的增根是去分母后的整式方程 (4)若分式方程的解为非负数，则m的取值范 围为 的根，也是使分式方程的分母为0的根 引领学素各考新桃式30 3.【串题练透考点】 ★知识点二分式方程的应用 襄阳市准备对某公园景点进行改造， 1.用分式方程解实际问题的一般步骤 (1)工程队花费45000元用于购买建筑材料， 我等量关系 实际问题 ~列分式方程·解方程 一段时间后，又花费21000元第二次购买 设未知数 材料，第二次的购买量是第一次的一半， 答双检验 且第二次的单价（单位：元/1）比第一次少 【注意】双检验：(1)检验是否为分式方程的解；(2)检验 100元，求这两次分别购买材料多少吨： 是否符合实际问题】 2.列分式方程解实际问题的一般类型 (1)购买问题 基本关系式：数量=盘价，或单价=总价 单价 数量 常见应用题中的等量关系： 甲（第一次）总价 甲（第一次）单价 乙（第一次）总价=数 乙（第一次）单价 量差 (2)行程问题 (2)已知购买材料的地点距工地180km,工 基木关系式：时同-魔餐 程队第二次购买材料后，用卡车运回工 常见应用题中的等量关系： 地，匀速行驶1h后，司机接到工程队命 同一路程 令需提前到达，速度增加到原来的1.5 慢者速度 同一路程=时间差。 快者速度 倍，最终提前40min到达工地.求加速前 (3)工程问题 卡车的平均速度： 基本关系式：工作时间一工作效率 工作总量 常见应用题中的等量关系： 已做工作量 剩余工作量 原工作效率 改善后工作效率=工作时 间. 甲、乙合作问题： 甲的工作效率×甲的工作时间十乙的工 (3)已知甲工程队单独完成此项工程所需的 作效率×乙的工作时间=“1” 天数是乙工程队的2倍.若甲、乙两个工 【注意】当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工 程队合作施工，只需20天即可完成.则乙 作总量为1. 工程队单独完成此项工程需要 天 【方法点拨】列分式方程解应用题时，要险根后作答，不 但要检验是否为方程的增根，还要检验是否将合题意， 印“双重”验根. 31中考复习堂堂清·教学 核心考点解读 提升关仗能力 核心考点1)分式方程的解法 4.(2019:孝高方程号子的解为 6.(2023·仙桃)解分式方程： 5 =0. 5.(2021·荆州)若关于x的方程2+m+x-1 x+x x2-x r-22-t =3的解是正数，则m的取值范围为 核心考点②)分式方程实际应用 7.(2021·十堰)某工厂现在平均每天比原计划 球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格 多生产50台机器，现在生产400台机器所需 多20元，用1500元购进篮球的数量比用 时间比原计划生产450台机器所需时间少1 800元购进足球的数量多5个，如果设每个足 天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方 球的价格为x元，那么可列方程为 () 程正确的是 ( A.1500-800=5B.1500-800=5 A.400-450 x+20x x-20x x50-1 B.450-400=1 x-50x C.400450 c20-120=5n20-1529-5 xx-20 xx+1 =50 D.450-400=50 x+1 x 10.【新课标·数学文化】(2022·襄阳)《九章算 8.(2022·恩施)一艘轮船在静水中的速度为 术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其 30km/h,它沿江顺流航行144km与逆流航 白话译文为：一份文件，若用慢马送到900 行96km所用时间相等，江水的流速为多少？ 里远的城市，所需时间比规定时间多1天： 设江水流速为ekm/h,则符合题意的方程是 若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 () 3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定 A动。0。 B.,144=96 时间，设规定时间为x天，则可列出正确的 30-u0 方程为 () 144 96 C.30-u30+0 D.144=96 v30十v 4.900 2+3-2X900 B900 =2×900 x-1 x-3 x+1 9.(2023·十握)为了落实“双减”政策，进一步 900 D. 丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足 C.900 x-1 =2X900 x+3 x+1 =2X900 x-3 引领学量各考新桃式32 11.(2023·随州)甲、乙两个工程队共同修一条 可列出方程为 () 道路，其中甲工程队需要修9km,乙工程队 A是 1 x+12 B片 需要修12km.已知乙工程队每个月比甲工 程队多修1km,最终用的时间比甲工程队 C.9-12-1 x十1x2 D.29=1 xx+1=2 少半个月.若设甲工程队每个月修xkm,则 少多新动何 母国内化D标 12.【新课标·绿色环保】为了健全分时电价机 基本思想：将分式方程 制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某 为整式方程 市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段 分式方程 1.去分母化为 方程 的解法 (简称峰时)：7：00一23：00，用电低谷时段 2.解 方程 步骤 (简称谷时)：23：00一次日7：00，峰时电价比 3 谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽 分式方程 4.下结论 步骤：审→设→列→解→验→答 车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50 行程问题 元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷 分式方程 时用电量相等，求该市谷时电价。 的应用 工程问题 类型 购买问题 其他问题 备考满分演练 (见进阶作业本) 33中考复习堂堂清·教学导图内化目标 4.C5.A6.20%7.18.解：，降价1元， 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 1.≥a2.lal 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30十 第二单元方程（组）与不等式（组）】 2.x)=2100.化简得：x2一35.x十300=0.解得：x 第6讲一次方程（组）及其应用 =15,x2=20.该商场为了尽快减少库存，.降 教材知识梳理 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 基础对练 20元时，商场日盈利可达到2100元. 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 知识梳理 等号右边的1漏乘了最小公倍数6.x一2(2.x 知识点一 1)=6+3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 1.一个2 2.a.x2十b.x十c=03.相等 解：由①，得y=3-5x.③把③代入②，得3.x 知识点二 2(3-5.x)=7.解得x=1.把x=1代入③，得y -b士√b-4ac =一2.所以原方程组的解为x二1， 负根 y=-2. 方法二： 2a 知识点三 解：①×2+②，得13.x=13.解得x=1.把x=1 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 代入①，得5十y=3.解得y=一2.所以原方程组 的解为2.6B元C《C解：设每 (4)4≥0且a≠02.-bC aa 知识点四 辆大货车一次可以运货xt,一辆小货车一次可 2.(1)a(1±x)"=b3.(1)(a-2x)(b-2x) 以运货yt,根据题意列方程组，得 (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 2经解得.4X4+3x25 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 核心考点解读 以运货23.5t. 知识梳理 9.110.-111.2或-112.(1)k> 号且6 知识点一 ≠0(2)解：x1=3+√14，x2=3-√14. 1.c 2.be 13.解：(1)证明：△=(m十2)2一8m=m2-4m十4 =(m一2)2.，不论m为何值时，(m-2)2≥0， 知识点二 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数分 .△≥0.∴.方程总有实数根；(2)m=1.14.1 母括号(2)相反 15.-516.- 3 17. 18.解：(1)k>2: 知识点三 y=4xx+4.x=20 7x=14 (2):方程的两个根为a,3,明=后=3-k 核心考点解读 .k2=3-k十3k.解得k1=3,k2=一1（舍去）. 10.211.112.k<213.A14.A15.A 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 16.D17.30020018.53 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 中考新动向 2.x十1)m,由题意，得x(25-2.x+1)=80,化简， 19.3(x+4)=5(x-4) 青-4=+4 得x2-13.x十40=0，解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2.x 导图内化目标 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 性质1性质2一元代入消元法加减消元法 中考新动向 第7讲 一元二次方程及其应用 21.36 教材知识梳理 导图内化目标 基础对练 ax2十b.x+c=0(a≠0)直接开平方配方 公 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 式因式分解 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 第8讲分式方程及其应用 (或者配方)二解：(x十6)=9，.即x十6= 教材知识梳理 3,x+6=-3.∴.x1=-3,x2=-9.(5)解：x 基础对练 =1,x2=3.(6)解：x1=一1十√3，x2=-1 1.-13(x-2)分母-1十6括号一1 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 +6+1移项6同类项31103 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母 19 6-m(2)2(3)3(4)m≤6且m≠33.(1)解： 1.(2)去括号 (4)合并同类项(5)12.(1)每 设第二次购买材料xt,则第一次购买材料2.xt. 一个不等式 (2)公共(3)无解 根据题意，得45,000-100=21000.解得x=15. 知识点四 2.x 不等 经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意. 核心考点解读 .第一次购买材料为2x=30(t).答：第一次购 典例精 买材料30t,第二次购买材料15t:(2)解：设 加速前卡车的平均速度为mkm/h,根据题意可 【例1】 A【例2】解：经0曲①得 列方程为0-(2”+1）)-号，解得m=60, x>一2.由②，得x≤1.故此不等式组的解集为： V1.5m 经检验，n=60是所列方程的解，且符合题意. -2<x≤1，故不等式组g+3>1,0 2.x-1≤x② 的整数解 答：加速前卡车的平均速度是60km/h；(3)30 为一1、0、1.【例3】解：(1)设A型垃圾桶单 知识梳理 价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意，可得 知识点一 1.最简公分母去分母 检验2.0 3士y二580解得二60，答：A型垃圾桶单 16.x+5y=860. 1y=100. 核心考点解读 价为60元，B型垃圾桶单价为100元；(2)设至 4.x=15.m>一7且m≠-36.解：原方程变 少需购买A型垃圾桶a个.由题意，可得60a十 5 1 形为：x(x+1D厂x(x-D =0,两边同乘x(x十 100(200-a)≤15000，a≥125.答：至少需购买 A型垃圾桶125个. 1)(x-1),去分母，得5(x-1)-(x+1)=0,去 真题对练 括号，得5.x-5一x一1=0，移项，合并同类项得 8.5≤a<6 9.D10.(1)x≥>-3(2)x<1 4x=6,系数化为1，得x= 多，检验：将x=是代 之寸0之解：把不等式①和② (3) 人x(x+1x-1D中可得：号×（受+1）×( 的解集在数轴上表示出来如图所示.(4)一3≤ x<111.解：(1)设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的 一1)-号≠0，则原方程的解为：x= 3 单价分别为x元/棵，y元/棵，根据题意，得 · 7.B x+2y=110, 8.A9.A10.B11.A 2.x+3y=190 解得一0答：脐橙树首和黄 中考新动向 金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵： 12.解：设该市谷时电价为x元/度，则峰时电价 (2)设购买脐橙树苗α棵，则购买黄金贡柚树苗 +0,2)元/度，根据题意，得022解得 (1000一a)棵，根据题意，得50a十30(1000一a) ≤38000，解得a≤400.答：最多可以购买脐橙树 x=0.3,经检验x=0,3是原方程的解，答：该市 苗400棵。 谷时电价0.3元/度. 中考新动向 导图内化目标 12.(1)85(2)解：设可购进B型玩具a个，则 转化1，整式2.整式3.检验 购进A型玩具1360-50个，根据题意，得 第9讲一元一次不等式（组）及其应用 8 教材知识梳理 1360-50+4≤200.解得a≤80.答：最多可购 基础对练 1.(1)a+5≥7(2)D(3)B2.C3.B4.C 进B型玩具80个 5.6分母一36括号 2+3+611 导图内化目标 同类项 >-116.(1).x≥-2 (2)x<4 1.>2.>>3.< 括号移同类 项2.大小中间 (3)420123 解：不等式①和 第三单元函数及其图象 ②的解集在数轴上表示如图； (4)-2≤x<4 第10讲 平面直角坐标系及函数 (5)37.A 教材知识梳理 知识梳理 基础对练 知识点一 1.不等号2.值3.所有 .aa>号 (2)-1<a< (3)a<-1 知识点二 -1(5)42.(-2,2) (6,6)3.(1)2 >> 知识点三 22v23√2 (2)(0,2)2(3)(2,4)或(2， 20