第7讲 一元二次方程及其应用-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

第7讲一元二次方程及其应用 8年2考 1,能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二 课 次方程 标 2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两实数根是否相等，会将一 要 元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系， 3.知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题 4.能根据具体问题的实际意义，建立一元二次方程的模型解决实际问题 教材知识梳理 回顺必备知识 基 础对练 左练 知人识梳理 1.【概念辨析】下列一元二次方程：①2xm-1+2x ★知识点一 一元二次方程及其相关概念 +3=0:②x2-5x=6;③x2+2x+c=0. 1.一元二次方程：只含有 未知数，且未 (1)方程①中，m的值是 知数的最高次数是 (二次)的整式方程. (2)方程②中，一次项系数是 ,常数项 2.一般形式为 (a≠0，d,b,c 是 为常数) (3)下列各数是方程②的解的是 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两 A.1 B.-1 C.0 D.2 边 的未知数的值，若x=m是ax2十 (4)若方程③的一个根是1，则c的值是 b.x十c=0(a≠0)的解，则am2十bm十c=0. 2.【串题练透考点】认真观察下列方程，指出使 *知识点二 一元二次方程的解法（高频考点）】 用何种方法求解比较适当. 解法 基本类型 适用情况 注意事项 (1)(x十6)2-9=0，应选用 x=a(a> 开方不要漏掉 直接 法： 0)或(ax 方程缺少一次项 开平 (2)x2+16x=5,应选用 法： +b)2=e 时常用 注：开方后取 方法 (c>0) 值是“士” (3)x2-3x=x-3,应选用 法； (4)x2+2x-2=0,应选用 先将方程化为 法 一般形式，再 【过程纠错】小华在解方程(1)解答过程如下： ax+br 适用于任意一 确定判别式△ 解：移项，得(x十6)”=9…第一步 公 +c=0(a 元二次方程，求 ≥0，最后利用 ≠0.b 根公式为x= 求根公式求解， 两边开平方，得x十6=3…第二步 4ac≥0)》 若△0， 所以x=一3… 第三步 则方程没有实 小华的解答从第 步开始出错，请写出 数根. 正确的解答过程， 25中考复习堂堂清·数学 续表 解法 基本类型 适用情况 注意事项 ax+br 十c=0变 配方时，给方 将二次项系数化 配 形为 程两边同时加 【实践应用】解下列方程： 为1后，一次项 方 (5)【人教九上P14例3交式】x2-3x=x-3. (+ 上一次项系数 系数为2的倍 一半的平方， 6-4ac 数 不要福加， 4a a,将方程右边化 a(x-x) 国式 为0后，左边可 两边不能同时 (x-x) (6)【人教九上P7例1变式】x2+2x-2=0. 分解 以因式分解：b. 约去含有未知 =0或4x 方程缺少常数 数的因式 =br 项 【温馨提示】解一元二次方程选择方法的一般顺序：直 接开平方法→因式分解法→配方法→公式法 3.【一材多题】【人教九上P16例4变式】已知一 *知识点三 根的判别式及根与系数关系 元二次方程x2十2.x十m=0. 1.根的判别式：△=？-4ac (1)若m=一1，则一元二次方程x2十2x十m (1)△>0且a≠0台方程有 的 =0的根的情况是 实数根； A.有一个实数根 (2)△=0且a≠0台方程有 的实 B.有两个不相等的实数根 数根； C.没有实数根 (3)△<0且a≠0台方程 实数根： D.有两个相等的实数根 (4)由此可知一元二次方程ax2+b.x十c=0(a (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根， 则m的值为： ≠0)有实数根的条件是 (3)若该一元二次方程没有实数根，则m的取 2.一元二次方程根与系数的关系(2022版新课 值范围为 标将选学内容改为必修内容)】 (4)若该一元二次方程有实数根，则n的取值 若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 范围为 的两根为，1和x2,则1十x2= (5)若该一元二次方程的一个根为1，则m的值 工1T2= 为 ,该方程的另一个根为 【温馨提示】利用根与系数的关系解题时，其前提是一 (6)若m=一2，且x1,x2是一元二次方程x 元二次方程有实数根，即b一4ac≥0. 十2x十m=0的两根，请回答下列问题. ①x1十x2= ,x1x2= ②x+2x1+2x1x2= ③x十xi= 引领学景备考新模式 26 4.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的 ★知识点四一元二次方程的应用 其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 1.握手问题、球赛中的单循环与双循环，相互送 72张，此小组人数为 礼物问题：注意区别在握手问题与单循环比 Λ.7 B.8 C.9 D.10 5.【人教九上P19探究1变式】有一个人患了流 赛问题需婴乘以·双循环与相互送礼物向 感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人 题不乘 数是 ( 2.平均增长率或下降率问题： A.1331B.1210C.1100D.1000 (1)若基数为a,末数为b,设平均增长率或 6.(2024·随州模拟)某药品原价每盒25元，为 下降率为x,时间的间隔是，则关系式 了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过 是 两轮连续降价，现在售价每盒16元，则该药 (2)传播问题类似于增长率问题， 品平均每次降价的百分率是 3.面积问题常见图形归纳如下： 7.(2019·襄阳)改善小区环 境，争创文明家园.如图所 示，某社区决定在一块长 B (AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD 图① 图②@ 图③ 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB (1)如图①，空白部分宽均为x,则阴影部分 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要 的面积表示为 使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽 (2)如图②，阴影道路的宽为x,则空白部分 应为 m. 的面积为 ； 8.(2020·东西湖区模拟)商场某种商品平均每 (3)如图③，阴影道路的宽为x,则空白部分 天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调 的面积可以转化为 查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天 (4)在篱笆上开门的问题：开多宽的门相当于 可多售出2件，据此规律计算：每件商品降价 增加了多长的篱笆， 多少元时，商场日盈利可达到2100元. 4.销售问题： (1)单件产品的利润= (2)利润率=利润÷ ×100%; (3)销售利润= 27中考复习堂堂清·学 核心考点解读 提升关键能力 核心考点①一元二次方程的解法及根的判别式 9.(2022·荆州)一元二次方程x2一4x十3=0 13.(2020·减宁)已知关于x的一元二次方程 配方为(x一2)”=k,则k的值是 mx2-(m+2)x+2=0. 10.(2021·孝感)若关于x的一元二次方程x (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数 一2x十m=0有两个不相等的实数根，则m 根； 的值可以是·（写出一个即可） (2)当m为何整数时，方程有两个不相等的 11.(2021·十堰)对于任意实数a,b,定义一种 正整数根. 运算：a⑧b=a2+b一ab,若x⑧(x-1)=3, 则x的值为 12.(2023·荆州)已知关于x的一元二次方程 kx2一(2k+4)x+k一6=0有两个不相等的 实数根， (1)k的取值范围是 (2)当k=1时，用配方法解方程. 核心考点②一元二次方程根与系数的关系（新课标改为必学内容） 14.(2023·宜昌)已知x1x是方程2x2一3.x十1 0的两根，则代数式骨器的值为 18.(2023·襄阳)关于x的一元二次方程x2+ 2x十3一k=0有两个不相等的实数根. 15.(2023·黄孝咸)已知一元二次方程x2一3x (1)求k的取值范围； 十k=0的两个实数根为x1,x,若1x:十 (2)若方程的两个根为a,3,且”=a3十3k, 2x1十2x2=1,则实数k= 求k的值. 16.(2021·鄂州)已知实数ab满足a一2+ b十3=0，若关于x的一元二次方程x2一 ax十6=0的两个实数根分别为则号 +1= 17.(2023·鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a +2=0,6-36+2=0,且a≠6，则日+6 引领学素备考新模式28 核心考点③由实际问题抽象出一元二次方程 19.(2021·襄阳)随着生产技术的进步，某制药 进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽 厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时 成本是5000元，现在生产一吨药的成本是 猪舍面积为80m? 4050元.设生产成本的年平均下降率为x, 住房墙 下面所列方程正确的是 () A.5000(1+x)2=4050 B.4050(1+x)2=5000 C.5000(1-x)=4050 D.4050(1-x)2=5000 20.(2020·湖北)如图，一农户要建一个矩形猪 舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另 外三边用25m长的建筑材料围成，为方便 中多新动向 导图内化目标 21.【新课标·跨语文学科】读诗词解题 一元二次方程 及其应用 (通过列方程算出周瑜去世的年 一元二次方程一般形式： 龄)： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物： 一元二次方 法、 法 程的解法 法、 法 而立之年督东吴，早逝英年两位数： 4 0一有两个不等实根 十位恰小个位三，个位平方与寿符： 根的 △=0一有两个相等实根 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 判别式 一元二次方 0问无实根 答日：周瑜逝世时的年龄为 程的应用 根与系数的关系 岁. 实际应用 备考满分演练 (见进阶作业本) 29中考复习堂堂清·数学导图内化目标 4.C5.A6.20%7.18.解：，降价1元， 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 1.≥a2.|a 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30十 第二单元方程（组）与不等式（组） 2.x)=2100.化简得：.x2一35.x十300=0.解得：x 第6讲一次方程（组）及其应用 =15,x2=20.,该商场为了尽快减少库存，∴.降 教材知识梳理 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 基础对练 20元时，商场日盘利可达到2100元. 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 知识梳理 等号右边的1漏乘了最小公倍数6x一2(2.x 知识点一 1)=6十3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 1.一个22.a.x2+bx十c=03.相等 解：由①，得y=3-5.x.③把③代入②，得3x 知识点二 2(3-5x)=7.解得x=1.把x=1代人③，得y 二之.所以原方程组的解为2。 负根 -b±√-4ac 方法二： 2a 知识点三 解：①×2+②，得13x=13.解得x=1.把x=1 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 代人①，得5十y=3.解得y=一2.所以原方程组 的解为26B7.C8,C9解：设每 (4)4>0且a≠02.-bc aa 知识点四 辆大货车一次可以运货x,一辆小货车一次可 2.(1)a(1士x)"=b3.(1)(a-2x)(b-2x) 以运货y,根据题意列方程组，得 (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 2y解得2.4X4十3X25 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 核心考点解读 以运货23.5t. 知识梳理 9.110.-111.2或-112.(1)k>- 号且大 知识点一 ≠0(2)解：x1=3+√14，x2=3一√14， 1.c 2.bc 13.解：(1)证明：△=(m十2)2一8m=m2-4m+4 =(m一2)2.，不论m为何值时，(m一2)2≥0， 知识点二 .△>0..方程总有实数根；(2)m=1.14.1 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数 分 母括号(2)相反 15.-516.- 3 1n.2 18.解：(1)k>2: 知识点三 y=4.xx+4.x=207x=14 (2)·方程的两个根为a,B,.邱=￡=3一k. a 核心考点解读 .k2=3一k十3k.解得k1=3,k2=一1（舍去）. 10.211.112.k<213.A14.A15.A 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 16.D17.30020018.53 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 中考新动向 2x十1)m,由题意，得x(25-2x+1)=80,化简， 19.3(x+4)=5(x-4) -4=+4 得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2.x= 导图内化目标 性质1性质2一元 代人消元法加减消元法 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m 中考新动向 第7讲 一元二次方程及其应用 21.36 教材知识梳理 导图内化目标 基础对练 a.x2+b.x十c=0(a≠0)直接开平方配方公 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 式因式分解 > 第8讲分式方程及其应用 (或者配方)二解：(x十6)2=9，.即x十6= 教材知识梳理 3,x十6=-3..x1=-3,x2=-9.(5)解：x 基础对练 =1,x2=3.(6)解：x1=-1十√3，x2=-1 1.-13(x一2)分母一1十6括号一1 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 十6十1移项6同类项31103 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母 19