学业评价(五-六) 组合与组合数 组合与组合数的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

Le 3.BC3男3女排成一排共计有A=720(种)不同的排： 13解析法一（分类法）分两类： 法：男生甲排在两端的排法种数为2A=240:男生甲、 第1类，化学被选上，有A·A种排法： 乙相邻的排法种数为AA=240:男、女生相间的排法 第2类，化学不被选上，有A种排法. 种数为2A3A=72. 故共有A}·A十A=300种不同的安排方法. 4.C先排音乐节日，则舞蹈节目位置只能排在3,4,5，再 法二（分步法）第1步，第四节有A种排法： 排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得， 第2步，其余三节有A种排法，故共有A·A=300 ①先排3个音乐节目有A种排法，共6种排法： 种不同的安排方法 ②再排3个舞路节目只能排3,4,5位置，共A=6种 法三（间接法）从6门课中选4门课有A情种排法，而 排法； 化学排第四节有A种排法， ③再排3个曲艺节目，共A=6种排法： 故共有AA=300种不同的安排方法. ∴.由分步乘法记数原理有6×6×6=216种排法。 14.B根据题意，该图象变换的过程有振幅变换，周期变 故选C. 换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平 5.解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插 入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A?=30 移变换是向右平移灭个单位长度，所以要求左右平移 3 种情形. 答案30 变桃在周期变换之前，所以变换的方法共有 =12(种). 6.解析可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方 15.解析(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个 案数，则所有不同的选派方案共有A乎一A=186(种). 数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除 答案186 7,解析先在前3节深中选一节安排数学，有A}种安排 这个数字和0之外的8种不同取法，首未两位取定后， 十个数宇还有八个数字可供中间的十位、百位与千位 方法： 在徐了数学课与第6节课外的4节深中选一节安排英 三个数位选取，共有A种不同的排列方法.因此由分 语课，有A种安排方法： 步乘法计数原理共有5×8×A=13440个没有重复 其余4节课无约束条件，有A种安排方法 数字的五位奇数 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A{· (2)要得到偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比 A=288. 30000大的五位偶数，可分两类： 答案288 ①末位数宇从0,2中选取，则首位可取3,4.5,6,7,8,9 8.解析(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A 中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾 =24种坐法， 两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排 种取法，所以共有2X7×A是种不同情况. 列，共有A=24种坐法， ②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法. 8,9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数 (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A=24种坐法， 位仍有A种选法，所以共有3X6×A种不同情况. 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名 由分类加法计数原理，比30000大的无重复数字的五 女教师，有A=60种坐法，由分步乘法计数原理，共有： 位偶数的个数共有2×7×A+3×6×A=10752. 60×24=1440种坐法， 9.B当A=B≠0时，表示同一直线x十y=0;当A=0, 学业评价（五）组合与组合数 B≠0时，表示直线y=0:当A≠0，B=0时，表示直线 1.AB x=0:当A≠0，B≠0，A≠B时有A条直线，故共有 2.A 1+1十1十A号=23条直线. c++8-+8+8-12m. 10.B个位数要么小于十位数，要么大于十住数，故有 3.D ANA3=300(个. x=2x-4, x=14-(2x-4), 4.C由题意知2.x-4≤14，或2x-4≤14， 11.解析把相邻的两个数捆绑（看成一个整体），三捆组 x14 x≤14， 内部都有A号种排列方法，它们与另外2个数之间又有 解得x=4或x=6. A种排列方法，根据分步乘法计数原理知，共有 5,解析由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共 A号A号A号A3=8×120=960个八位数. A5×4×3」 答案960 有C= 3×2×1 =10种不同方法。 12.解析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值 答案10 班的方案共有AAg=1440(种)，其中满足甲、乙两人 3n≥38-n, 被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案 6.解析因为3m≤n十21，所以2 < 共有A号A=240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天 n∈N°， n∈N', 值班且丁在10月7日值班的方案共有AA=240(种)， 所以n=10. 满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日 30I 值班，丁在10月7日值班的方案共有A3A=48(种). 所以原式= C器+C8=281(30-28)刀 因此，满足题意的方案共有1440一2×240十48= 31! 1008(种). 30！(31-30)1 30×29+31=466. 2 答案1008 答案466 28 @ 7.解析因为1≤m<n≤5，所以Cm可以是C,C,C号， (2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果 C,C,C,C,C号，C,C,计算可知Cg=C贤，C=C, 组成的集合为A,A所包含的种数为C号C,所以共有 C=C,C号=C,故x2+Cmy2=1能表示6个不同的 CC=30种不同的结果. 椭圆， (3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成 答案6 集合为B,B包含的结果数是C十CC 8.解析(1)原方程等价于m(m一1)(m一2) 所以共有C十CC=34种不同的结果. 6×mm-1D(m-2)(m-3) 4×3×2×1 学业评价（六）组合与组合数的应用 ∴.4=m3,解得m=7. 1.A设男生人数为x,则女生有(6一x)人.依题意：C （2)由已知得工二1≤8x≤8，且x∈N, C=-16.即x(x-1)(x-2)=6×5×4-16×6=4×3×2 x≤8， x=4,即女生有2人 C>3C 2.B分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4 8! 3×8! x-1D1(9-x月>xl(8-xI 人每人去一个场地，不同的安排方法共有A=24种：二 是高山滑雪场只安排1人（甲），其余4人分三组(2,1， ->3,.x>3(9-x),解得x>27 1),再安排到各场地，有C导·A=36种..不同的安排 .x=7或x=8. 方法有24+36=60. .原不等式的解集为{7,8}. 故选B. 9.ABC组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D: 3.D从7人中选4人，共有C-35种选法，4人全是男 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、 生的选法有C=1种.故4人中既有男生又有女生的选 乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同 法种数为35一1=34. 的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC 4.C相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行 10.D此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所 排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.首先确定 以四边形的对角线的交点个数即为所求，所以交点有 相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种 C=126个. 读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列， 11.解析因为C,=C6十C61,所以C61=C+2,由 共有A号种，根据分步乘法公式则共有C·A=120 组合数公式的性质，得x-1=2.x十2或x-1十2x十2 种，故选C =16,解得x1=-3(含去)，x2=5. :5,解析可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有 答案{5} C·A{-240种选法：②甲、丙同不去，有A=360种 12.解析设餐厅至少还需准备工种不同的素莱，由题意， 选法，所以共有600种不同的选派方案 得C号·C2≥200，从而有C号≥20，即x(x-1)≥40.所 答案600 以x的最小值为7 :6,解析分类讨论是否有其他教援队与甲、乙两个救援队 答案7 一起，结合组合数运算求解」 13,解析1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成 若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排 的学员上场方案种数为C=12376. 方式共有CC3C=18(种)： (2)教练员可以分两步完成这件事情： 若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区， 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 则不同的安排方式共有CCC=18(种)： C}种选法： 所以不同的安排方式共有18十18=36（种）. 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种 答案36 选法。 7,解析当每个台阶上各站1人时有C浮A种站法：当两 所以救练员做这件事情的方式种数为C》×C= 个人站在同一个台阶上时有CCC种站法.因此不同 136136. 的站法种数为C号A3+C号CC=210+126=336. 14.解析(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向 答案336 街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组：8，解析(1)因为4名同学观看的影片均不相同，所以不 成矩形C号·Cg=A.A=210(个. 同的选择方法共有A=24(种). A号A号 (2)因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，所以不 (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道 同的选择方法共有4×4=16（种）. 被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定 (3)因为恰有2名同学选择观看同一部彩片，所以不同 至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相 的选择方法共有CCA号-6×4×6=144（种）. 同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东 :9.D每个被选的人员无角色差异，是组合问题.分两步 西方向的（剩下4段即是走南北方向的），共有C0·C 完成：第一步，选女工，有C}种选法：第二步，选男工，有 -是·斜=0种夫法 C号种.故有CC号种不同选法. 10.C不考虑特殊情况，共有C2种取法，取三张相同颜 答案(1)210(2)210 色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片（另一张非 15.解析(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结 红色)，共有CC种取法 果有C得-84个不同结果 所求取法种数为C2一4一C号C=189. 29 8⊙ 11.解析显然a,b,c,d均为不超过5的自然数，下面进 3.B根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的 行讨论： 编号，分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小 最大数为5的情况： 球，分情况讨论： ①25=52+02十02+02，此时共有A1=4种情况， ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 最大数为4的情况： =4种方法； ②25=42+32+02十02，此时共有A号=12种情况. ②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C喝 ③25=42+22+22+12，此时共有A=12种情况. =6种方法： 当最大数为3时，32+32+22+2>25>32+32+22+12， 则不同的放球方法有4十6=10（种）， 没有满足题意的情况 故选B. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(a,b,c,d) :4,D顺序排列分2步进行，(1)将“水立方”和“鸟檗”看成 的个数是4十12十12=28. 一个整体，与颐和园、798艺术区、首都博物馆全排列· 答案28 有A号A=48种情况. 12.解析若甲，乙选的景点没有其他人选，则分组方式为 (2)排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故 1,2,2的选法总数为CA=18: 宫和八达岭长城，有A号=20种情况，则有48×20=960 若甲，乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为1， 种不同的游览顺序 3的选法总数为A发A=18, 故选D. 5.D先将除武夷山大红袍和西湖龙井之外的4种茶排 所以不同的选法总数为18十18=36. 序，形成5个空，再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5 答案36 个空，则不同的排法有AA号=480（种）. 13.解析(1)易知四位数共有CC号A=216(个). 故选D. (2)上述四位数中，偶数排在一起的有C号CAA号= 6.D先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，第一辆车 108(个). 显然可占36个方格中任意一个，有36种放法，第二辆 (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216一108 车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列， =108(个). 有25种放法，同理，第三、四、五、六辆车分别有16,9,4,1 14.BD任意两位同学之间交换纪念品共要交换C层=15 种放法.再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同，故不同 次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每 人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次， 的放法共有36X25X16X9X4X1-(6×5×4×3×2X1) 3!×31 6×6 少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪 =7202 念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念 36 =14400(种). 品的同学有2人.故选BD. 故选D. 15.解析法一（直接法）从0与1两个特殊值着眼，可：7.D当实验小学站2人，则下车的不同方案有C唱XC呀X 分三类： A=540(种).当实验小学站3人，则下车的不同方案有 (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C×A=120(种).则下车的不同方案种数为540十120 C种方法：0可在后两位，有C种方法：最后需从剩下 =660. 的三张中任取一张，有C种方法：又除含0的那张外， 故选D. 其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同 :8.B根据题意，分为两种情况讨论： 的三位数有CCC·2个. ①第一次甲将球传给其余三人，有C=3种情况，第二 (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C号·22· 次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，有C=3种 A个. 情况，第四次再将球传给甲，此时共有3×3=9种情况： (3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个 ②第一次甲将球传给其余三人，有C=3种情况， 综上所述，共有不同的三位数：C·C以·C·22十 第二次将球传给甲之外的2人，有C是=2种情况， C·22·A+C·23·A8=432(个). 第三次依然将球传给除甲之外的2人，有C=2种 法二（间接法）任取三张卡片可以组成不同的三位数 情况， C·23·A好个，其中0在百位的有C号·22·A量个，这 第四次再将球传给甲，有1种情况， 是不合题意的，故共有不同的三位数：C学·23·A 此时共有3×2×2=12种情况， C·22·A=432(个). 由分类计数原理可得，第四次传球后，球又回到甲的脚 下的传球方式，共有9+12=21（种）. 阶段测评（一）[范围6.1~6.2] 故选B. kCA属+C=A8+Cg=6X5+-5:故选C 9.ABC用0到6这7个数字组成没有重复数字的三位 数，若不考虑最高位是否为0，则有A个，又最高位不能 2.B小明从，点E·F处最短一共会走四段，两段横向，两 为0，故当最高位为0时有A个，故可以组成没有重复 段纵向的，所以有C条路，再从F→G有3条，所以条数 数字的三位数的A一A号个，故C正确； 为3·C4=3×4X3=18. 2 首先排最高位，有A种，再排十位，个位，有A种，故共 故选B. 有AA个没有重复数字的三位数，故B正确： 30。数学·选择性必修第三册（配RJA版） 学业评价（五） 组合与组合数 [必备知识·基础巩固] 11.方程C,一C=C的解集是 12.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的 1.(多选题)给出下面几个问题，其中是组合问题的有 菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐 () 厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不 B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数 : 同的素菜品种 (结果用数字表示)种. C.由1,2,3组成两位数的不同方法数 13.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中 D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数 以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则，比 2.计算：C+C+C ( 赛时一个足球队的上场队员是11人.问： : A.120 B.240 C.60 D.480 (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种 3.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体 学员上场方案？ 育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法： (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中 作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名 事情？ 和200名学生，则不同的抽样结果共有( A.C5·C5种 B.C0·C9种 C.C·C0种 D.C8·Ca种 4,方程C=C的解集为 ( A.{4}B.{14}C.{4,6} D.14,2 5.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不 同方法的种数是 (用数字作答). 6.计算：C"+C1= 7.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m,,方程x2+: C”y2=1所表示的不同椭圆的个数为 8.(1)解方程：A=6C1: [核心价值·探索创新] (2)解不等式：C1>3C. 14.某区有7条南北向街道，5条 东西向街道（如图）. (1)图中有 个矩形： (2)从A点走向B点最短的 走法有 种 15.袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5 个，从中任取3个球。 [关键能力·综合提升] (1)共有多少种不同结果？ 9.(多选题)下列问题是组合问题的有 ( (2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果 A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多 有儿个？ 少次 (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有 B.平面上有2021个不同的点，它们中任意三点 几个？ 不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C.集合{a1a2a3…,an}中含有三个元素的子集 有多少个 D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分 别参加校庆晚会的独唱，独舞节目，有多少种 选法 10.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条 线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有() A.36个B.72个 C.63个D.126个 -8 学业评价（六） 组合与组合数的应用 8.(2024·丰台高二期末)2024年春节期间，全国各 [必备知识·基础巩固] 大影院热映《第二十条》《飞驰人生2》《热辣滚烫》 1.某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观 《熊出没·逆转时空》4部优秀的影片.现有4名 展览，至少有一名女生人选的不同选法有16种， 同学，每人选择这4部影片中的1部观看. 则该小组中的女生人数为 ( (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那 A.2 B.3 么共有多少种不同的选择方法？ C.4 D.5 (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择 2.甲，乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道 观看影片《第二十条》《飞驰人生2》，那么共有多 速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每 少种不同的选择方法？ 个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿 (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同 者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有 一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ A.96种 B.60种 C.36种 D.24种 3.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某 高校综合评价招生考试，若这4人中必须既有男 生又有女生，则不同的选法共有 ( A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 4.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读 物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中 恰有1种相同的选法共有 A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 5.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边 远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲 和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共 [关键能力·综合提升] 有 种 6.中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇 9.某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女 迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象， 工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有 增进了国际友谊.现有5支救援队前往3个不同 受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其 A.C种 B.A种 中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1： C.AA种 D.CC种 支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个： 10.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿 受灾地区，则不同的安排方式共有 种 色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片 7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台 不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同 阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位 的取法种数为 置，则不同的站法种数是 (用数字作答).： A.135 B.172 C.189 D.162 9 。数学·选择性必修第三册（配RJA版） 11.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，： 后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的： [核心价值·探索创新] 内容是任意正整数都可以表示为不超过四个自 :14.(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念 然数的平方和，例如正整数6=2+1十1+0. 品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进 设25=a2+b2+c2+d,其中a,b,c,d均为自然 行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同 数，则满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 (用数字作答). 的同学人数可能为 () 12.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主” A.1 B.2 等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游 C.3 D.4 城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴 15.有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与 一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔 3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放 滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天 在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三 在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景 位数？ 点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一 位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能 选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选 同一个景点，则不同的选法种数是 13.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数 组成没有重复数字的四位数.试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？（所得结 果均用数值表示). 10