学业评价(十九) 一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 学业评价（十九）一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 [必备知识·基础巩固] 6.对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数 据如下表所示。 1.(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身 2 5 6 8 高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样 本数据(x,y)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建 y 30 40 60 50 70 立的经验回归方程为y=0.85x一85.71，则下列 若已求得它们的经验回归直线的斜率为6.5，这 结论中正确的是 条经验回归直线的方程为 A.y与x具有正的线性相关关系 7.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y B.回归直线过样本点的中心(x,y) (件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了 C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增 连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表： 加0.85kg 二月 二月 二月 三月 D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体 时间 上旬 中旬 下旬 上旬 重必为58.79kg 2.已知x与y之间的一组数据： 旬平均气温x/℃ 8 12 17 2 旬销售量y/件 55 m 33 24 0 由表中数据算出经验回归方程y=x十a中的 2 3 5.5 7 B=一2，样本点的中心为(10,38). 已求得关于y与x的经验回归方程为y=2.2x十 (1)表中数据m= 0.7,则m的值为 ( (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 A.1 B.0.85 22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬 C.0.7 D.0.5 的销售量约为 件 3.根据如下样本数据： 8.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分 3 4 6 7 8 统计数据。 4.0 2.5 -0.50.5 -2.0-3.0 年份/年 2015 2017 2019 2021 2023 得到的经验回归方程为y=ix十a,则 需求量/万吨 236 246 257 276 286 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 经验回归方程y=ix十a; 4.(多选题)对于经验回归方程y=bx十a(6>0), 下列说法正确的是 A.当x增加一个单位时，y的值平均增加个 单位 B.点(x,y)一定在y=bx十a所表示的直线上 C.当x=t时，一定有y=bt+a D.当x=t时，y的值近似为bt十a 5.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的 成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的经 验回归方程为y=6十0.4x.由此可以估计：若两 个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大 约相差 分 38 (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关： :11.(2024·十堰高二期末)已知一系列样本点(x, y)(i=1,2,3,…,9)满足y=5,之y=265,由最 小二乘法得到y与x(1,2,3,…,9)的回归方程， 现用决定系数R来判断拟合效果(R2越接近 1,拟合效果越好)，若之(y-)2=1.60,则 R2= 参考公式：决定系数R2=1一 (3)利用(1)中所求出的线性经验回归方程预测 -0 该地2025年的粮食需求量， 12.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球 时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5 号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮 的命中率： 时间x 2 3 命中率y0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 :用回 归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球 的投篮命中率为 [关键能力·综合提升] 13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件 所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据 9.对变量x,y进行回归分析时，依据得到的4个不 如下 同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度 零件的个数x/个 2 3 4 5 最高的是 ( 残差 残差 加工的时间y/小时 2.5 4.5 (1)求y关于x的经验回归方程y=bx十a; ■2血动迹80编号 0市2市3动4布愈而布血编号 (2)试预测加工10个零件需要多少时间？ -0.8 -0.8 戏4 残差↑ 0.8 0.6 0.4 2 24布5编号 0市力布血6边编号 -14 0.8 D 10.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存 在线性相关关系.根据一组样本数据(x,y:) (i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方 程为y=一5x十150，则下列结论正确的是() A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r= -5 C.当销售价格为10元时，销售量为100件 D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右 39 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） [核心价值·探索创新] (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得 低于7118元，请根据(2)求出的经验回归方程 14.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为 预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不 y=ea5,其一组数据如下表所示： 得超过多少年。 2 4 参考公式： e e es 2(x,-D(y-y Exy-nzy 若x=5,则预测y的值可能为 ( 2(x,-x) x-n =1 A.e B.e C.e D.e (x,-五(y-y =1 15.二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽 a=y-bx,r= 车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆) 进行整理，得到如下数据： 参考数据： 使用年数x 2 3 5 6 xy,=187.4,xz,=47.64,2x=139, 4 售价y 20 12 6.4 4.4 3 √2-≈4.18√2y-18.96， z=In y 3.002.482.081.861.481.10 √2-8≈1.53，la1.46*0.38 下面是之关于x的折线图. 1n0.7118≈-0.34. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 1234567元 (1)由折线图可以看出，可以用一元线性回归模 型拟合之与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y关于x的经验回归方程，并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少； (⑦，a小数点后保留两位有效数字) 40@ 9.A用残差图判断模型的拟合效果，残差，点比较均匀地 学业评价（十九）一元线性回归模型 落在水平的带状区城中，说明这样的模型比较合适，带 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高 1.ABCA,B,C显然正确，选项D中，当x=170时，y 10.D由经验回归方程知，y与x具有负的线性相关关 0.85×170-85.71=58.79,体重的估计值为58.79kg, 系，A错.若”表示y与x之间的线性相关系数，则 故D错误。 r≤1，B错.当销售价格为10元时，y=一5×10+ 2.D=0+1+2+3=1.5,y=m+3+5.5+7,将其代 150=100,即销售量为100件左右，C错，故选D. 4 4 (y-)2 -1 (y-)2 入y=2.2x十0.7，可得m=0.5,故选D 11.解析因为R2=1 =1 3.B画出散点图，知a>0,<0. 2(y,-)2 ↑ 1.60 1-265=9×5-0.96. 3 答案0.96 12.解析小李这5天的平均授篮命中率 1 9123本3678 y=吉(0,4+0.5+0.6+0.6+0.40=0.57=3. 3 2(x-x)(y4-y）_0.2+0+0+0.1+(-0.2) = 2(x,-x)2 (-2)2+(-1)2+0+12+22 4.ABD经验回归方程是一个模拟函效，它表示的是一系 =0.01,a=y-bx=0.47, 列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所 ∴.经验回归方程为y=0.01x十0.47， 以有些散点不一定在经验回归直线上. 则当x=6时，y=0.53. 5.解析令两人的总成绩分别为x1,x2,则对应的数学成 预测小李该月6号打6小时篮球的投蓝命中率 绩估计为y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2 为0.53. 所以y1-y2=10.4(x1-x2)=0.4×50=20. 答案0.50.53 答案20 13.解析(1)由表中数据得之xy,=52.5,7=3.5,y= 6.解析由题意可知x=2+4+5+6+8=5, 5 y=30+40+60+50+70=50. 5字对=，所以6=多，-4 -4绿 =0.7, 5 所以a=y-bx=1.05.所以y=0.7x+1.05. 设经验回归直线方程为y=6.5.x十a, (2)将x=10代入经验回归方程，得y=0.7×10十 经验回归直线过点(5,50)，∴.50=6.5×5十d, 1.05=8.05, 即a=17.5,.经验回归直线方程为y=6.5x+17.5. 所以预测加工10个零件需要8.05小时」 答案y=6.5.x+17.5 14.D将式子两边取对数，得到lny=x一0.5， 7.解析(1)由y=38,得m=40. 令2=lny,得到x=b.x-0.5, (2)由a=y-x得a=58,故y=-2.x+58,当x=22 列出x,之的取值对应的表格如下： 时，y=14,故三月中旬的销售量约为14件。 答案(1)40(2)14 1 8.解析(1)由所给数据看出年需求量与年份之间是近似 直线上升，下面来求线性经验回归方程，先将数据处理 如下： 则x=1+2+3+4=2.5,=1+3+4+6=3.5. 4 4 年份-2019 -2 0 2 (x,x)满足x=x-0.5, .3.5=i×2.5-0.5,解得i=1.6, 需求-257 -21-11 0 19 ∴z=l.6.x-0.5,y=e.ir-0.5, 对处理的数据，容易算得r=0,y=3.2. 当x=5时，y=e.6x5-.5=e. 6=(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29-5×0×3.2 ! (-4)2+(-2)2+22+42-5×0 15.解折1)由题意，知=日×(2+3+4+5+6+7) _260=6.5, 4.5, 40 a=y-ix=3.2. =g×8+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2. 由上述计算结果，知所求线性经验回归方程为 y-257=6.5(x-2019)+3.2, 又r=4.6424.18 即y=6.5(x-2019)+260.2. 2(,-2≈1.53， (2)用b=6.5>0,所以x与y之间是正相关. 47.64-6×4.5×2-6.36 (3)利用所求得的线性经验回归方程，可预测2025年的 所以r= 4.18×1.53 6.3954≈-0.99， 粮食需求量大约为6.5×(2025-2019)+260.2=6.5× 所以：与x的相关系数大约为一0.99，说明之与x的 6+260.2=299.2. 线性相关程度很高. 46 (26=47.64-6X4.5×2=-6.36≈-0.36. 13.解析对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量 139-6×4.52 17.5 XX 所以a=2-bx=2+0.36×4.5=3.62, 由表中数据列出焦虑是否与性别有关的抽样数据列 所以之与x的经验回归方程是交=一0.36x十3.62， 联表 又g=lny, 所以y关于x的经验回归方程是y=e0,6+32 心理 性别 总计 令x=9,得y=e-836×9+,62=e0,3器， 焦虑 不焦虑 因为1n1.46≈0.38，所以y=1.46, 即预测某柄A型号二手车当使用年数为9年时售价约 女生 5 25 30 为1.46万元. 男生 20 60 80 (3)当≥0.7118， 即e0.36r+3.62≥0.7118=eh0.118=e-0.34时， 总计 25 85 110 则有-0.36.x+3.62≥-0.34.解得x≤11， 因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不 可得 110×(5×60-25×20)2 30×80×25×85 ≈0.863<2.706， 得超过11年 同理，X= 110×(10×70-20×10)2 30×80×20×90 ≈6.366>3.841， 学业评价（二十）分类变量与列联表独立性检验 G-10X05×305x50)2≈1.410<2.706. 1.ACD独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的 30×80×65×45 方法，而B是概率问题，故选ACD. 因此，可以推断说谎与性别有关联，该推断犯错误的概 2C由但2释份品 率不大于0,05，并且没有充分的证据显示焦虑、懒情 与性别有关. 3.BX2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越小， 14.CD由题意可知 则“事件A与B有关系”的可信程度越大，X越小，“事 X2-65X[a(30+a)-15-a)(20-a)] 件A与B有关系”的可信程度越小， 20×45×15×50 4.C由题图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢 =13×(13a-60)2 20×45×3×2 >3.841, 理科的比为40%，故B、D不正确.由题图知，男生比女 根据a>5且15-a>5,a∈Z. 生喜欢理科的可能性大些。 求得当a=8或9时满足题意. 5.有 15.解析(1)零假设为H。:购买意愿与性别无关联， 6.解析X=30X37X43285X35)≈4.514. 122×178×72×228 根据列联表的数据可得， 答案4.514 X=10048X187X12=59≈7.143>6.635 60×40×70×30 7 7.解析因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观 众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27 =x0.01 依据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推斯H。 名观众收看新闻节目，即6 。中6器千器两者相 不成立，即认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的 差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄 概率不大于0.01. 是有关的 (2)X的可能取值为1,2,3,4， 答案是 P(X=1)= CC 3 8.解析(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为 -P-2)- 150=75%,乙机床生产的产品中的一级品的频率为 P(X=3)= 200 9-号，pX=4 cc1 C装14 120 =60%. 所以X的分布列为 200 X 1 2 3 22x-400150x80-120X50）=400>10>6.635 270×130×200×200 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品 P 14 37 14 质量有差异. 9.ABD由回归分析及独立性检验的特点知，选项C 所以00=1+2x号+3×号+4X- 5 正确」 10.D因为≈6.109>3.841=x0.05,所以认为文化程度 阶段测评（三）[范围8.1~8.3] 与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05. 1.C 11.解析因为X2>3.841=x0.05· 所以出错的可能性为0.05， 2.C依题意x=(1+2+3+4+5)=3, 5 答案0.05 12.解析根据题意，由于45十E=98,E=53,98+D= y=号(9+a+17+6+27)-3+g+也， 5 180,D=82,A=47,E+35=C,B+C=180,可知B= 又回归直线方程y=4.5x十3.7过点(x,y), 92,C=88,故答案为A=47,B=92,C=88,D=82, 所以53+a十b=4.5×3+3.7,解得4十6=33. E=53. 5 答案4792888253 故选C