学业评价(三-四) 排列与排列数 排列与排列数的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册课后案·学业评价（人教A版2019）

于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×： 10.C11=1,2！=2,3!=6,4！=24,5!=120 3×2=120(种). 而6！=6×5！，7！=7×6×5！，·，100！=100×99× 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工 …×6×5!,所以从5！开始到100！，个位数字均为0， 作分成三步来完成 所以S的个位数字为3. 第一步涂①④，有5种涂法：第二步涂②，有4种涂法： 11.解析当x≠0时，有A=24(个)四位数，每个四位数 第三步涂③，有3种涂法. 的数字之和为1十4十5+x, 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5X4× 故24(1+4+5+x)=288,解得x=2: 3=60(种). 当x=0时，每个四位数的数字之和为1十4+5=10， 综上可知，所求的涂色方法共有120十60=180（种）. 14.C由题意必得a1=0,ag=1,具体情况如下： 而288不能被10整除，即x=0不符合题意，综上可 知，x=2. 00001111,00010111,00011011,00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111, 答案2 01001011,01001101,01010011,01010101,共14个. :12.解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置， 15.解析完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考 从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5 虑为①，②，③，④这四个区城着色时各自的方法数，再 个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的 利用分步乘法计数原理确定出总的方法数， 招聘方案共有A2=5×4×3=60(种). (1)为①区城着色时有6种方法，为②区域着色时有5 答案60 种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区城着色时 13.解析根据原方程，x∈N·,且应满足 有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法： 有6×5×4×4=480（种）. 2x+1≥4·解得x≥3. x≥3. (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域 根据排列数公式，原不等式可化为(2x十1)·2x· 着色时有(n一1)种方法，为③区域着色时有(n一2)种 (2x-1)·(2x-2)<140x·(x-1)·(x-2). 方法，为④区域着色时有(n一3)种方法，由分步乘法计 x≥3，.两边同除以4x(x一1)， 数原理可得不同的着色方法数为n(n一1)(n一2)(n一3). 得(2x+1)·(2x-1)<35(x-2), ∴.n(n-1)(n-2)(n-3)=120, .(n2-3m)(n2-3n+2)-120=0, 即4z2-35x十69<0，解得3<x<53 即(n2-3m)2+2(n2-3n)-120=0. x∈N*,x=4或x=5. .n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去). 14.解析(1)因为当各效位上的数字之和能被3整除时， ,.n=5(负值舍去). 该数就能被3整除， 学业评价（三）排列与排列数 所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，所 以共有2×A号=12（个）. 1.C从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为： (2)显然x≠0，因为1,2,4，x在各个数位上出现的次 甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 数都相同，且各自出现A}·A号次，所以这样的数字之 2.D由题意可得从5本不同的书中选2本送给2名同 学，每人1本，不同的送法种数为A?=20. 和是(1+2+4+x)·A·A号， 3.B由A号+1-A号=10，得(n+1)n-n(n-1)=10,解得 即(1+2+4十x)·A}·A号=252， n=5. 所以7十x=14,解得x=7. 4.AD由排列的定义知A,D是排列问题 答案。(1)12(2)7 5.解析因为A=n(n-1)(n一2)…(n一m十1)=17× :15.(1)解析原不等式等价于 16×15×…×5×4, 8! 8! 所以n=17,又n一m十1=4，所以m=14. [8-(x+2<6×(82x1 答案1714 x+2≤8且x∈N*, 6.解析由题意知，m=1,2,3,4,由A8=A4,故集合P中 /x2-15x+50<0, 整理得 共有3个元素， x≤6且x∈N·, 答案3 即5<x≤6且x∈N",从而解得x=6. 7.解析在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得 (2)证明A时}-A-(n+1)！一n! 答案. =(n十1)n！-n！=n·n！=nAg. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，即任选4个 A+2A3+3A8+·+8A8=(A3-A)+(A3- 数字作全排列即可， A)+…+(A8-A3)+(A8-A8)=A号-A=9！-1 所以可组成A号=5×4×3×2=120（个）. =362879. 答案120 8.解析由题意可得A2+2一A=58, 学业评价（四）排列与排列数的应用 即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58,解得n=14. 所以原有车站14个，现有车站16个. 1.C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法 9.BD由排列数公式可知A=n(n一1)(n一2)…(n一m十1)， 种数为A8=720. 故B正确： 2.B根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在 A-n雨ANA=X n! 父母中间，将三人看成一个整体，有2种排法，将这个整 (m-m)1-(n=m1' 体与爷爷和奶奶全排列，有A=6种排法，则有2X6= ∴AAm}=A,故D正确 12种不同的排法. 27 @ 3.BC3男3女排成一排共计有A=720(种)不同的排： 13.解析法一（分类法）分两类： 法；男生甲排在两端的排法种数为2A=240;男生甲、 第1类，化学被选上，有A·A种排法； 乙相邻的排法种数为A虽A=240:男、女生相间的排法 第2类，化学不被选上，有A种排法 种数为2AA3=72. 故共有A}·A十A=300种不同的安排方法. 4.C先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3,4,5，再 法二（分步法）第1步，第四节有A}种排法： 排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得. 第2步，其余三节有A种排法，故共有A·A=300 ①先排3个音乐节目有A种排法，共6种排法； 种不同的安排方法 ②再排3个舞蹈节目只能排3,4,5位置，共A好=6种 法三（间接法）从6门课中选4门课有A种排法，而 排法； 化学排第四节有A种排法， ③再排3个曲艺节目，共A=6种排法： 故共有Ag一A=300种不同的安排方法. ∴.由分步乘法记数原理有6×6×6=216种排法。 14.B根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变 故选C. 5.解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插 换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平 入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A=30 移变换是向右平移灭个单位长度，所以要求左右平移 3 种情形. 答案30 变挑在周期变换之前，所以交换的方法共有 A =12(种). 6.解析可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方 15.解析(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个 案数，则所有不同的选派方案共有A号一A=186(种). 数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除 答案186 7,解析先在前3节误中选一节安排数学，有A}种安排 这个数字和0之外的8种不同取法.首末两位取定后， 十个数宇还有八个数字可供中间的十位、百位与千位 方法： 在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英 三个数位选取，共有A种不同的排列方法.因此由分 语课，有A种安排方法： 步乘法计数原理共有5×8×A2=13440个没有重复 其余4节课无约束条件，有A种安排方法. 数字的五位奇数 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A· (2)要得到偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比 A4=288. 30000大的五位偶数，可分两类： 答案288 ①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9 8.解析(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A 中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾 =24种坐法， 两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排 种取法.所以共有2X7A是种不同情况. 列，共有A1=24种坐法， ②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法. 8,9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数 (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A=24种坐法， 位仍有A种选法，所以共有3X6×A种不同情况. 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名 由分类加法计数原理，比30000大的无重复数字的五 女教师，有A=60种坐法，由分步乘法计数原理，共有 位偶数的个数共有2×7×A8+3×6×A8=10752. 60×24=1440种坐法. 9.B当A=B≠0时，表示同一直线x十y=0;当A=0, 学业评价（五）组合与组合数 B≠0时，表示直线y=0:当A≠0，B=0时，表示直线 1.AB x=0:当A≠0，B≠0，A≠B时有A条直线，故共有 2.A 1+1十1十A号-23条直线. 8+c8+cg-2+8×2x+8-120. 10.B个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有 3.D 2NA3=300(个). x=2x-4, x=14-(2x-4), 4.C由题意知2x-4≤14，或2x-4≤14， 11.解析把相邻的两个数捆绑（看成一个整体），三捆组 x≤14 x≤14， 内部都有A经种排列方法，它们与另外2个数之间又有 解得x=4或x=6. A种排列方法.根据分步乘法计数原理知，共有：5.解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共 A号A3A2A3=8X120=960个入位数. 号5×4X3 答案960 有CA 3×2×1 =10种不同方法。 12.解析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值 答案10 班的方案共有AA=1440(种)，其中满足甲、乙两人 3n38-n, 被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案 6.解析因为 3n≤n十21，所以2 共有AA=240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天 n∈N, n∈N', 值班且丁在10月7日值班的方案共有A号A=240(种)， 所以n=10. 满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日 30 值班、丁在10月7日值班的方案共有A号At=48(种). 所以原式= C3器+C8=281(30-28)1 因此，满足题意的方案共有1440一2×240十48= 31! 1008(种). 30！(31-30)1 30×29+31=466. 2 答案1008 答案466 28学业评价（三） 排列与排列数 [必备知识·基础巩固] 10.若S=A+A+A8+A+…+A,则S的个 位数字是 () 1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 A.8 B.5 C.3 D.0 ( 11.由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位 A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为 B.甲乙、丙乙、丙甲 288,则x= C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 12.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应 D.甲乙、甲丙、乙丙 聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大 2.从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1 学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 本，不同的送法种数为 () (用数字作答)种不同的招聘方案. A.5 B.10 C.15 D.20 13.解不等式：A2+1<140A 3.已知A1一A:=10,则n的值为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 4.(多选题)下列为排列问题的是 ( A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数 学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项 活动 C.从a,b,c,d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组 成一个两位数 [核心价值·探索创新] 5.若A"=17×16×15×…×5×4,则n= 14.由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的 三位数 6.若集合P={x|x=A,m∈N',则集合P中共 (1)若x=9,则其中能被3整除的共有个： 有 个元素 (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252 7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数， 则x= 可以组成 个四位数 15.(1)解不等式：A2<6A: 8.一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新 (2)证明A一A:=nA,并用此结论计算A+ 增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有 2A+3A+…+8A8. 多少个车站？现有多少车站？ [关键能力·综合提升] 9.(多选题)下列各式中与排列数A”相等的是( A (D B.n(n-1)(n-2)…(n-m十1) C.nA n一m+1 D.A.A 5 。数学·选择性必修第三册（配RJA版） 学业评价（四） 排列与排列数的应用 8.(2024·福州高二期末)根据张桂梅校长真实事 [必备知识·基础巩固] 迹拍摄的电影《我本是高山》上映，某学校政治组 1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种 有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影 数为 ( 片，他们的座位在同一排且连在一起.求： A.36 B.120 (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ C.720 D.240 (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 2.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加某节目的现场 录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则 不同坐法的种数为 A.6 B.12 C.24 D.48 3.(多选题)若3男3女排成一排，则下列说法错误 的是 ( ) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的排法种数为120 C.男生甲、乙相邻的排法种数为120 D.男、女生相间的排法种数为72 4.某校要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1 个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节 目要求排在2,6,9的位置，3个舞蹈节目必须相 邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序 排法种数为 ( A.144 B.192 [关键能力·综合提升] C.216 D.324 5.8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的：9.直线Ax+By=0的系数A,B可以在0,1,2,3， 情形有 种 : 5,7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不 6.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三 同直线有 项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不 A.30条 B.23条 同的选派方案的种数为 C.22条 D.14条 7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、 10.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位 艺术6门课各一节的课程表.要求数学课排在前 数，其中个位数字小于十位数字的数共有( 3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 A.210个 B.300个 (用数字作答). : C.464个 D.600个 6 11.用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位 [核心价值·探索创新] 数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这 样的八位数共有 个（用数字作答） 14.在探索系数A,w,p,b对函数y=Asin(x十p)十b 12.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班， (A>0,m>0)图象的影响时，我们发现，系数A 每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短， 甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日 通常称为“振幅变换”：系数ω对其影响是图象 值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案： 上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期 共有 种 变换”；系数9对其影响是图象上所有点向左或 13.有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程， 向右平移，通常称为“左右平移变换”：系数b对 从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不 其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称 排在第四节，共有多少种安排方法？ 为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数 f(x)=sinx的图象经过四步变换得到函数 g(x)=2sim(2x-否)+1的图象，且已知其中有 一步是向右平移受个单位长度，则变换的方法共 有 A.6种 B.12种 C.16种 D.24种 15.用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条 件且没有重复数字的排列？ (1)五位奇数： (2)大于30000的五位偶数，