教考衔接1 排列、组合-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

@ (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C18种选 2.解析 法：甲、乙两人都参加，则有C8种选法.故共有C生·C8 先平均分成三组，有CCC种分法，再分给3个 A +C8=6936(种). (4)法一（直接法）男生和女生都至少有一名的选法可分 人，所以分配方式共有CCiC.A=90(种. A 为四类：1男4女：2男3女：3男2女：4男1女.所以共有 [触类旁通] C2·C8+C2·C+C2·(Cg+C2·C=14656(种). 3.解析法一运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再 法二（间接法）由总数中减去5名都是男生和5名都 安排乙、丙岗位，则不同的安排方法共有CA写=18（种）. 是女生的选法种数，得C一(C十C2)=14656(种). 法二运用分类加法计数原理，若A不入选，有A=6 [触类旁通] 种安排方法：若A入选，则有CA=12种安排方法，所 1.解析(1)一名女生，四名男生.故共有C·C=350(种) (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 以共有6十12=18种不同的安排方法。 C号·C=165(种). 答案18 (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队 教考衔接1排列、组合 长.故共有C以·C+C号·C=825种，或采用排除法 [例1门[解析](1)利用插空法，第一步排列一个2，一 有C3-C1=825(种). 个1，一个7，共有A=6种排法，第二步最前面不能排 (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女 0,再把0插入其中3个空，所以有C=3种排法，所以 生，没有女生.故选法为C号·C十C·C十(C=966(种). 共有AC号=6×3=18个五位数. [例2][解析]法一以从共线的4个点中取，点的多少 故选A. 作为分类的标准. (2)对于A,从六门课程中选两门的不同选法有C=15 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共 种，A不正确： 有CC%=48个不同的三角形： 对于B,前5天中任取1天排“数”，再排其他五门体验 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共 课程共有5A=600种，B正确： 有CC=112个不同的三角形： 对于C,“礼”“书”排在相邻两天，可将“礼”“书”视为一 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有！ 个元素，不同排法共有2A=240种，C正确； C=56个不同的三角形. 对于D,先排“礼”“书”“效”，再用插室法排“乐”“射” 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48十112+ “御”，不同排法共有AA=144种，D不正确. 56=216(个). 故选BC. 法二（间接法）从12个点中任意取3个点，有C2= 220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构 [答案](1)A(2)BC 成三角形，即不能构成三角形的情况有C一4（种）. [例2][解析](1)由题意知这4人中恰有2人均预约 故这12个点构成的三角形有C2一C=216(个). 了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，首先将4人分成2 [触类旁通] 组，有C=3种不同的分法，下面分2种情况：若预约习 2.C满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱维的每个侧面上 个馆的2人预约完全相同，有A号=6种不同的结果： 除点P外任取3点，有4C种取 若预约2个馆的2人有1馆预约相同，有CCAA号= 法：第2类，在两个对角面上除点 24种不同的结果，所以每个馆恰有2人预约的不同方 P外任取3点，有2C种取法：第 案有3×(6十24)=90（种）. D 3类，过点P的四条棱中，每一条 故选D. 棱上的两点和与这条棱异面的两 条棱的中点也共面，有4C种取法，所以，满足题意的不 (2)根据题意得，将4名航天员分成3组有=6 同取法共有4C+2C+4C=56种，选C. 种方法，将3组人员分到3个航天舱，有A=6种不同 [例3][解析](1)分三步：先选一本有C种选法，再 的分法，所有不同的安排方案共有6×6=36（种）. 从余下的5本中选两本有C号种选法，最后余下的三本 [答案](1)D(2)36 全选有C种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共 6.3二项式定理 有C8·C号·C=60(种). 6.3.1二项式定理 (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上， 还应考虑再分配问題.因此，分配方式共有C·C唱· 课前案·自主学习 C·A8=360(种. [教材梳理 [母题变式] 导学 1.解析先分三组，有CCC子种分法，但是这里面出现 [问题1门[提示](a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, 了重复，不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取 (a+b)1=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b. 了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方 [问题2][提示](a十b)3的展开式有4项，每项的次数 法记为(AB,CD,EF),但CCC号种分法中还有(AB, 是3：(a十b)的展开式有5项，每一项的次数为4. EF,CD),(CD.AB.EF).(CD,EF,AB),(EF,CD. :[问题3][提示](a+b)'=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). AB),(EF,AB,CD),共A种情况，而这A种情况只 由多项式的乘法法则知，从每个(a十b)中选a或选b相 能作为一种分法，故分配方式有CCiC=15(种. 乘即得展开式中的一项. A 若都选a,则得CabP;●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 2.(变结论)本例的条件不变，6本不同的书 }2.解排列、组合综合问题时要注意以下几点： 分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不 (1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法， 同的分法？ 无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题. (2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分 析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步， 这是处理排列、组合综合问题的一般方法。 [触类旁通] 3.某地举办旅游节，在旅游节期间，需从4位 志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同 的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者A 不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种 数为 课堂小结 知识落实 技法强化 1.涉及具体数字的可以直接用公式 [素养聚焦]在解决计数问题时常用下面的结论： A 分类讨论、正 “无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 难则反、方程 m! 分配”问题列式后，再除以组数的全排列数：对于 思想是常用 计算. “无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配” 的方法和思 2.涉及字母的可以用阶乘式C%=想，解题时要 问题，前者只需分步完成，后者先分组，再排列，通 n! 注意分组分 过解决此类问题，培养数学建模、数学运算等核心 m!(n-m计算. 配中是否为 素养。 3.计算时应注意利用组合数的性质“平均分组” 规律方法 C=C"简化运算 1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后 4.分组分配问题， 排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对 元素或位置进行排列. 提示 请完成「课后案1学业评价（六） 教考 衔接 排列、组合 一、真题展示 二、真题溯源 (2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成 [教科书第38页复习参考题6第3题(2)] 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现 率是 ( 要安排一天中语文、数学、政治、英语、体 1 A.4 .3 育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在 上午，体育课排在下午，不同排法种数是 c.2 n号 16 第六章计数原理。 三、类法探究 凤思感悟 可以看到，无论是高考题，还是教科书例 相邻、相间问题的解题策略 题，解决这类问题的关键是进行分类讨论， (1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他 从近两年高考试题看，排列、组合是高考命 元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 题的热点，多与两个计数原理相结合，其中 (2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的#列， 捆绑法、插空法、间接法以及平均分组问题 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中， 是经常考查的，有时也同概率结合起来.解 类型二分组、分配问题 答这类问题时，应分析所完成的事情，并严 例②(1)某运动会A,B,C三个场馆对外免费 格按照题目限制条件，确定是分类还是分 开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观， 步完成 且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每 类型一相邻、相间及特殊元素（位置）问题 个馆恰有2人预约的不同方案有( 例1(1)某数学兴趣小组把两个0、一个2、一 A.76种B.82种C.86种D.90种 个1与一个7组成一个五位数（如20107）， (2)在中国空间站建造阶段，有4名航天员 若其中两个0不相邻，则这个五位数的个 共同停留在空间站.预计在完成某项任务 数为 中，需4名航天员在天和核心舱、问天实验 A.18 B.36 舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工 C.72 D.144 作，每个舱至少1人，则不同的安排方案共 (2)(多选题)为弘扬我国古代的“六艺文 有 种 化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐” “射”“御”“书”“数”六门体验课程，每天开设 一门，连续开设6天，则下列结论正确的是 ( A.从六门课程中选两门的不同选法共有 凤思感悟 30种 解决分组、分配问题的策略 B.课程“数”不排在最后一天的不同排法 (1)对于整体均分，分组后一定要除以A:(1为均 共有600种 分的组数)，避免重复计数 C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排 (2)对于部分均分，若有组元素个数相等，则分 法共有240种 组时应除以n!, D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三 温馨 天的不同排法共有72种 是下 请完成L课后案」学业评价阶段测评（一） 17