7.3 离散型随机变量的数字特征-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

P(e=4)= 4×3×2×33 课堂案·互动探究 7×6×5X435 [例1门[解析](1)个位数字为4的“三位递减数”有： 4×3×2×1×31 P(g=5)=7×6X5×4×335 984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共 10个. 所以：的分布列为 (2)由题意，不同的“三位递减数”共有C0=120(个). 2 小明得到的优患金额X的取值可能为5,3,1. 当X=5时，三个数字之和可能为20或10， 3 2 6 7 35 3 35 当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个 “三位递减数”， [母题变式] 当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640， 解析因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次 631,541,532,共8个“三住递减数”， 和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A, 则P(A)=P(=1)+P(=3)+P(E=5)= 22 所以PX=5)-器-0 3 当X=3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数 [触类旁通] 字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被 3.解析将O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则 10整除的“三位递减数”， X的可能取值为1,2,3,4. 故P(X=3)=C号+C号C-12_48-2 -号P0X= C24 120 1205 P(X-D- C5151 故PX=D=1-P0X=)-PX=80=1-0-号- 1 P(X=3)= 所以他得到的优惠金额X的分布列为 C45 P(X=4)= 故X的分布列为 X 1 2 3 4 10 5 2 4 8 1 9 15 45 3 数学期塑E(X)=5×0+3×号 +1X =2.2(万元)」 7.3 离散型随机变量的数字特征 [触类旁通] 7.3.1离散型随机变量的均值 1.解析(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A, 课前案·自主学习 “取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B,则 [教材梳理] P(B)= CC281 导学 C8843' [问题](1)[提示]X=5,6,7. 所以PA)=1-P(B)= 3 (2[提示]PX-5)-是号 (2)X的取值为1,2,3,4. pPX=60=- P(X=1)= CC号+CC- C 84 P(X=7)=i2 P(X=2)= CC+ccl C 84 (3)[提示] X4+63+7X5=5×号+6×号+7X C肾+C3C_9 12 P(X=3)= C 4 是-得 P(X=0=G84 1 1 ⊙结论形成 所以X的分布列为 1.(1)x1p1十x22+…+xnpn 含xp:(2)平均水平 X 1 2 (3)aE(X)+b 2.p P 49 25 1 84 4 84 84 [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ X的数学期望E(X)=1 4 25 9 2ABX0=1X号+2x0+3X品-号 84+2×84+3× +4×84 =130_65 3A国为PX=1D=合P(X=-D=2,所以由均值 8442 [例2][解析](1)由A表示事件“购买该商品的3位 的定义得EX)=1X号+(-1DX号=0， 顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买 该商品的3位顾客中无人采用1期付款” 4.解析E(2X-5)=2E(X)一5=3. P(A)=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P(A)= 答案3 1-0.216=0.784. 14 (2)Y的可能取值为200元，250元，300元. 7.3.2离散型随机变量的方差 P(Y=200)=P(X=1)=0.4, 课前案·自主学习 P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4, [教材梳理] P(Y-300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2, 导学 因此Y的分布列为 [问题](1)[提示] Y 200 250 300 EX)=0×品+1×0+2x= 7 P 0.4 0.4 0.2 B)=0x高+1×是+2x品-0 E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). (2)[提示]不能，因为E(X)=E(Y). [触类旁通] (3)[提示] 方差 ©结论形成 2.解析(1)设下周一无雨的概率为p, 1.(2)偏离程度越小越大 由题意知，p2=0.36,p=0.6, 2.a2D(X) 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， [基础自测] 则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24, 1.(1)×(2)√(3)√(4)× P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16, 2.B D(X)>D(X), 所以基地收益X的分布列为 所以乙种水稻比甲种水稻分菜整齐 X 20 15 10 7.5 3.ACD 由分有列可知，E(X)=(-1D×2+0X号十 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10× 1-日故A正确：D(X)=(-1+号×+ 0.24+7.5×0.16=14.4, (o+号）》×+(1+号》x号-哥tB不运角，cD 所以基地的预期收益为14.4万元. 显然正确 (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a a+btc-是 (万元)，E(Y)-E(X)=1.6-a, 综上，当颜外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘 4.解析 由题意知-a十c十日=0，解得6= 4 工人：成本低于1.6万元时，外聘工人：成本恰为1.6万 元时，是否外聘工人均可以. [例3][解析]由随机变量分布列的性质，得 答案 5 1 12 课堂案·互动探究 :EX0=(-2)×+(-1)×号+0x号+1×号+ [例1门[解析] 6 由题意知，E(X0=1×号+2X号+3× 2×0- 29 30 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 故D(x)=(1-器)×是+(2-)×号+ 即E(Y)= 2x(-)-品 [答案]品 [答案]C [母题变式] [触类旁通] 解析E(e)=E(aX+3)=aE(X)+3=- 品+8 1解折由随机支量分布列的性质可得一1一号是-宁 -号片以a=15, 又EX0=0×号+1×2+z×品=1.1，解得x=2. [触类旁通] 所以DX0=(0-1.102×号+(1-1.1)2×2+(2 3.A因为7=12+7，则E(7)=12E()+7, 即E()=12(1×号+2×m+3×n+4×)+7=34. 1102×8=0.49. 答案0.49 所以2m+3-号，① [例2】[解析]由分布列的性质，得+号十力=1，解得 又+m+n+=1, p：0-0x号+1x+g-号，-2 所以m十n=号，回 D(x)=(0-号)}'x是+(1-号)×音+ 由①②可解得m=3 (2-号)》×日-品-号 15 to (2)Y=3X-2,∴.D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5, ⊙结论形成 ∴.DY)=5. 1.两个试验 [母题变式] 2.(1)重复(2)重复 相互独立 解析因为Y=2X十1，所以D(Y)=D(2X十1)= 导学2 [问题](1)[提示]B1=(A1A2A3)U(A1A2A3)U DX0-9所以vD0-5 3 (A1A2A3),因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8, [触类旁通] 且A1A2Ag,A1A2A3,A1A2A3两两互斥， 2.D由题意知，EX)=-1X2+0×号+1X日 故P(B1)=0.8×0.22+0.8×0.22+0.8×0.22=3× 0.8×0.22=0.096. 故D(x)=(-1+3)×+(o+号)× (2)[提示]P(B2)=3×0.2×0.82=0.384, P(B3)=0.83=0.512. (1+号)×g=号， (3)[提示]P(B)=C0.8*0.23-(k=0,1,2,3). O结论形成 DY)=D(2X+2)=4D(X)=4×5=20 91 1.(1)C路p(1-p)n-表X~B(n,p) [例3][解析](1)依题意，0.5+3a十a十0.1=1， 2.npnp(1-p) [基础自测门 解得a=0.1. 1.(1)(2)/(3)×(4)/ 乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， 2.D①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互 .乙射中7环的概率为1-(0.3十0.3十0.2)=0.2. 独立事件；④是n重伯努利试验， ∴X,Y的分布列分别为 3.B X 10 9 8 7 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C(号)× P 0.5 0.3 0.1 0.1 (-) 10 9 8 7 4.解析E(X)=4× P 0.3 0.3 0.2 0.2 答案 16 16 5 5 (2)由(1)可得 课堂案·互动探究 E(X)=10X0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环)： [例1][解析](1)该射手射击了5次，其中只在第一 E(Y=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环)： 三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也 D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8 就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又 9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96; D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8- 国为各次射击的站果互不影响，故所求概率为P-=号X 8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高； (1-号)×号×(1-)×g=9: 又，D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中，比较 (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标.根据排 稳定 列组合知识，5次当中选3次，共有C种情况，因为各 ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会 次射击的结果互不影响，所以符合n重伯努利试验概率 [触类旁通] 模型，故所泰概率为P=C×(层》广×-}尸-器 3.解析：由题意得，E(X1)=0,E(X2)=0, [母题变式] ∴.E(X1)=E(X2). 解析该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目 D(X1)=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0- 标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3 0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5, 次连续击中目标看成一个整体可得共有C种情况.故 D(X2)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2× 0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2. 所来概率为P=C·(广·(1-号)》°=器 ∴.D(X1)<D(X2). [触类旁通] 综上可知，A大钟的质量较好， 1.解析设需整改的煤矿有X家，则X~B(5,0.5). 7.4二项分布与超几何分布 (1)恰好有两家煤矿必须整改的概奉为P(X=2)= 7.4.1二项分布 G×1-0.5》2×0,5=0 课前案·自主学习 (2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都 [教材梳理] 不用整改或只有一家必领整改”，其概率为P(X=0)十 导学1 P(X=1)=C8×(1-0.5)°×0.55+C×(1-0.5)1× [问题](1)[提示]正面向上或反面向上，即事件发生 0.51=音，所以至少有两家煤旷必须整改的概率为1一 或者不发生 (2)[提示] 无，即各次试验相互独立。 PX=o)-PX=D=1-是-8 16O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 学业标准 素养目标 1.能记住离散型随机变量均值的意义和性质，能计算 1.通过离散型随机变量的均值概念的学习，培养 简单离散型随机变量的均值.（重点） 数学抽象等核心素养。 2.会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的 2.通过离散型随机变量均值的定义和性质的应 取值水平.解决一些相关的实际问题.（重点、难点） 用，提升数学运算、数学建模等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期 导学 离散型随机变量的均值 望，简称期望. ?问题设有12个西瓜，其中4个重5kg, (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取 3个重6kg,5个重7kg 值概率的加权平均数，它综合了随机变量 (1)任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的 的取值和取值的概率，反映了随机变量取 重量，试问X可以取哪些值？ 值的 (3)性质：E(aX+b)= 2.两点分布的均值，如果随机变量X,服从两 (2)X取上述值时，对应的概率分别是 点分布，那么E(X)= 多少？ 基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其 随X的变化而变化 () (3)如何求每个西瓜的平均重量？ (2)随机变量的均值与样本的平均值相同. () (3)若随机变量X的均值E(X)=2,则 E(2X)=4. () ©结论形成 (4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)= 1.离散型随机变量的均值 P(X=1). (1)定义：若离散型随机变量X的分布 2.已知离散型随机变量X的分布列为： 列为 X 1 2 X 3 P 5 10 40 第七章随机变量及其分布© 则X的均值E(X)等于 3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面 向上得一1分，则得分X的均值为() A.2 B.2 A.0 B司 C.1 D.-1 c D.3 4.设E(X)=4,则E(2X-5)= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一求离散型随机变量的均值 [素养聚焦]均值在实际中有着广泛的应用，如在 例1某4S店在一次促销活动中，让每位参 体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案 与者从盒子中任取一个由0~9中任意三 的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通 个数字组成的“三位递减数”（即个位数字 过随机变量的均值来进行估计，在解答此类问题的 小于十位数字，十位数字小于百位数字) 过程中，提升数学建模和数学运算核心素养。 若“三位递减数”中的三个数字之和既能被 规健方法 2整除又能被5整除，则可以享受5万元 解答均值运用问题的三个步骤 的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用 到的事件类型，所用的公式有哪些 和仅能被2整除，则可以享受3万元的优 (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值。 惠；其他结果享受1万元的优惠， (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. (1)试写出所有个位数字为4的“三位递 减数”； [触类旁通] (2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他 1.一个袋子装有大小形状完全相同的9个 得到的优惠金额X的分布列及数学期望 球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5； E(X). 4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意 [自主解答] 取出3个球。 (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小 值，求X的分布列与数学期望。 41 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 题型二离散型随机变量均值的应用 [触类旁通] 例2某商场经销某商品，根据以往资料统 2.某中药种植基地有两处种植区的药材需在 计，顾客采用的付款期数X的分布列为： 下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一 X 1 2 3 4 5 天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨 P 会影响药材品质，基地收益如下表所示： 0.4 0.20.2 0.10.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 润为200元：分2期或3期付款，其利润为 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 250元：分4期或5期付款，其利润为300 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 元.Y表示经销一件该商品的利润， 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成 (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中， 全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有 至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； 雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本 (2)求Y的分布列及均值E(Y). 为a万元.已知下周一和下周二有雨的概 [自主解答] 率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益 为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由. 规律方法 1.实际问题中的均值问题 对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论， 对实际问题作出判断. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能 题型三离散型随机变量均值的性质 用到的事件类型，所用的公式有哪些； (一题多变) (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的 例阁 已知随机变量X的分布列为： 均值. 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的 -2 0 1 2 安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产 1 3 品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机 6 20 变量的均值来进行估计」 若Y=一2X,则E(Y)= 42 第七章随机变量及其分布● [母题变式] [触类旁通] (变结论)本例条件不变，若=aX+3,且 3.已知随机变量和7，其中7=12ξ+7，且 E(E)=- 号，求a的值。 E()=34,若ξ的分布列如下表，则m的 值为 ( ) 2 3 4 1 1 4 A. c 课堂小结 知识落实 技法强化 规律方法 1.离散型随机变量的均值， 解题时常出现不会 若给出的随机变量：与X的关系为=aX十 2.离散型随机变量的均值的 应用均值对实际问 b,a,b为常数，一般思路是先求出E(X),再利用公 性质. 题作出正确分析 式E(aX+b)=aE(X)十b求E().也可以利用X 3.两点分布的均值 的分布列得到：的分布列，关键由X的取值计算 温着 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E() 提示 请完成[课后案]学业评价（十三） 7.3.2离散型随机变量的方差 学业标准 素养目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差 1.通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数 的概念，掌握方差的性质.（重点） 学抽象等核心素养 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些 2.通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数 实际问题.（难点） 学建模等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (1)试求E(X),E(Y). 导学 离散型随机变量的方差 ?问题甲、乙两名工人加工同一种零件，两 (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工 人每天加工的零件数相等，所得次品数分 人技术水平的高低？ 别为X和Y,X和Y的分布列如下： X 0 1 2 6 (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技 P 10 10 10 术水平的高低？ 1 2 P 2 10 1 43 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） ©结论形成 (3)离散型随机变量的方差反映了随机变 1.离散型随机变量的方差 量偏离于期望的平均程度 () (1)方差和标准差的定义 (4)若a,b为常数，则D(ax+b)=a√D(x). 设离散型随机变量X的分布列为 ) 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株 的分檗数据，计算出样本均值E(X甲)= P E(Xz),方差分别为D(X)=11,D(Xz) 称D(X)=(x1-E(X)2p十(x2-E(X)2· =3.4.由此可以估计 () p十…十(x,-E(X)2p.=2(x A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 1=1 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 E(X)2p:为随机变量X的方差，有时也 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 记为V(X),并称D(X)为随机变量X D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 的标准差，记为σ(X). 3.(多选题)已知随机变量X的分布列为 (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差 X 1 0 1 和标准差都可以度量随机变量取值与其均 P 1 1 值的 ,反映了随机变量取值的离 2 3 6 散程度.方差或标准差 ,随机变量 则下列式子正确的是 ( 的取值越集中；方差或标准差 ,随 A.E(X)=- 1-3 B.D(X)= 2 机变量的取值越分散。 2.离散型随机变量的方差的性质：D(aX十b)= C.P(X=0)=3 D.P(X≥0)= 2 4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所 >基础自测 示，若E(X)=0,DX)=1,则a= 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 6= (1)离散型随机变量的方差越大，随机变 0 2 量越稳定 ) b 12 (2)若a是常数，则D(a)=0. 关能能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 求离散型随机变量的方差 规健方法 例1 (1)设随机变量X的分布列为： 求离散型随机变量X的方差的步骤 1 2 3 4 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； 6 4 (2)求X取各个值的概率，写出分布列： 则D(X)等于 (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X); A c1器 (4)根据公式计算方差. 44 第七章随机变量及其分布© [触类旁通] [母题变式] 1.已知随机变量X的分布列为： (变条件)若本例(2)中“Y=3X一2”改为 X 0 1 x “Y=2X+1”,求√DY)的值 P 5 品 且E(X)=1.1,则D(X)= 题型二 方差的性质 (一题多变) 例2 已知随机变量X的分布列为： X 0 1 P 1-2 3 p 若EX)=号，则 (1)求D(X)的值； (2)若Y=3X-2,求√DY)的值. [自主解答] 规律方法 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆 不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情 况下，运用关系式D(X)=E(X)一[E(X)]不失 为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应 用，如D(aX十b)=a2D(X). [触类旁通] 2.设随机变量X的分布列为： X -1 0 P 1 16 若Y=2X+2,则D(Y)= A- B号 C. 20 D. 45 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 题型三方差的实际应用 [触类旁通] 例为选拔某运动会射击选手，对甲、乙两 3.已知海关大楼顶端镶有A,B两面大钟，它 名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手 们的日走时误差分别为X,X2(单位：s), 在一次射击中的得分为两个相互独立的随 其分布列如下： 机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击 X -2 -1 0 1 2 中击中的环数均大于6环，且甲射中10， P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射 中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. X2 -2 -1 0 1 2 (1)求X,Y的分布列； 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (2)求X,Y的数学期望与方差，并以此比 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差 较甲、乙的射击技术并从中选拔一人。 比较这两面大钟的质量 [自主解答] [素养聚焦]解决此类实际应用问题的关健是准 确地计算随机变量的均值和方差，在求解过程提升 数学运算、数学建模等核心素养 规律方法 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散 课堂小结 型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策 知识落实 技法强化 问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离 1.离散型随机变量的方差、标 解题时方差公 撒型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 准差。 式常套用错误 度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对 2.离散型随机变量的方差的性质 稳定 (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论 提是示 请完成[课后案】学业评价（十四） 一 46