6.2 排列与组合-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 第1课时 排列与排列数 学业标准 素养目标 1.了解排列的概念.（重点） 1.通过排列概念的学习，培养数学抽象等核心素养 2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决2.利用排列数公式计算和证明恒等式，提升数学运 简单的实际问题.（难点） 算、逻辑推理等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 1234 导学1排列的定义 (1)从这4个数字中选出2个能构成多少 ?间题从甲、乙、丙三名同学中选出2人参 个无重复数字的两位数？ 加一项活动，其中1名同学参加上午的活 动，另1名同学参加下午的活动.让你安排 这项活动需要分几步？ (2)从这4个数字中选出3个能构成多少 个无重复数字的三位数？ ©结论形成 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n) (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个 个元素，并按照 排成一列，叫 元素排成一列，共有多少种不同的排法？ 做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列. (2)相同排列：两个排列相同的充要条件 ◎结论形成 是：两个排列的元素 ,且元素的 从n个不同元素中取出m(m≤n) 也相同 个元素的所有 的个数，叫 (3)全排列：把n个不同的元素全部取出的 排列数定义 做从n个不同元素中取出m个元 一个排列，叫做n个元素的一个全排列， 素的排列数 导学2排列数与排列数公式 排列数表示法 A 2问题两个同学从写有数字1,2,3,4的卡 正整数从1到n的连乘积，叫做n 阶乘 片中选取卡片进行组数字游戏 的阶乘，记作 6 第六章计数原理● 续表 (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要 元素相同得到的就是相同的排列.( 排列数乘积式 A (4)由1,2,3组成的全排列数有A种. 公式阶乘式 n! A=(n-m) () 2.(多选题)从1,2,3,4四个数字中，任选两 性质 A” ,0!= 个数运算，按照计算结果，可以看作排列问 题的运算为 () 备注 n,m∈N',m≤n A.加法B.减法 C.乘法 D.除法 3.89×90×91×…×100可表示为() 基础自测 A.A186 B.Aldo C.Alo D.Atdo 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 4.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的 (1)a,b,c与b,a,c是同一个排列.() 4个节目的基础上再添加2个小品节目， (2)在一个排列中，若交换两个元素的位 且2个小品节目不相邻，则不同的添加方 置，则该排列不发生变化。 ( 法共有 种 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 排列的概念 [触类旁通] 例判断下列问题是否为排列问题 1.判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达 (1)会场有50个座位，要求选出3个座位 航线的飞机票价格（假设来回的票价相同）； 有多少种方法？若选出3个座位安排三位 (2)选3个人分别担任班长、学习委员、生 客人，又有多少种方法？ 活委员； (2)从集合M={1,2,…,9}中，任取两个元 (3)某班40名学生在假期相互通信】 素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上 [自主解答] 的精圆方程号+芳-1？可以得到多少个 b2 焦点在x轴上的双曲线方程号一苦=1？ (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共 线，这5个点最多可确定多少条直线？可 确定多少条射线？ 规律方法 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 变换元素的位置 结果 有序 有无变化 无序 排列 排列 题 问题 7 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 题型二排列的列举问题 (2)求证：A=Am·Am 例2某药品研究所研制了5种消炎药a1, [自主解答] a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从 中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗 效试验，但a1,az两种药或同时用或同时不 用，a,b4两种药不能同时使用，试写出所 有不同试验方法 [自主解答] [母题变式] (变条件)在本例(2)中，把等式换为k·A (k十1)！一k!,试求证. 规律方法 [素养聚焦]在利用排列数公式证明等式的过程 在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较 中，要仔细观察等式两端的代数式的特征，找到推 有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排 证的方向，在此过程中提升逻辑推理的核心素养. 出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类， 在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情 规健方法 况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行， 排列数公式的形式及选择方法 直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形 图写出排列. 式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排 列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含 [触类旁通] 有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证 2.写出从a,b,c,d这4个字母中，每次取出 时，一般用阶乘式 2个字母的所有排列. [触类旁通] 3.不等式A<6A2的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) D.{8) 课堂小结 知识落实 技法强化 题型三 排列数公式及应用 (一题多变) 1.排列、排列数的定义. 在解题过程中常忽视A 1)计算，A-A 2.排列的简单应用. 中“n,m∈N”及“m≤n” 例3 A 3.排列数公式的应用 这个条件 A.12 B.24 温 C.30 D.36 提示 请完成[课后案」学业评价（三） 8 第六章计数原理© 第2课时 排列与排列数的应用 学业标准 素养目标 1.进一步加深对排列概念的理解.（重点） 通过利用排列的概念及排列数公式解决实际应 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解 用问题，提升数学建模、数学运算等核心素养 决简单的实际问题.（重点、难点） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 无限制条件的排列问题 题型二排队问题 (一题多解) 例某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 例2已知7人站成一排.问： 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任 (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示 (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ 不同的信号，则一共可以表示 种不 (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ 同的信号 (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多 规律方法 少种？ (1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所 [自主解答] 排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简 单，分清元素和位置即可. (2)在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步 乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取. [触类旁通] 1.(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名 同学，每人各1本，共有多少种不同的 送法？ (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 规律方法 (1)元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元 素看作一个整体，视为一个元素，参与其他元素的 排列，同时，应注意捆绑元素的内部排列 (2)元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑 不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前 面元素排列的空档中。 (3)处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题， 应遵循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题 般用“捆绑法”，元素不相邻问题一救用“插空法” 9 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） [触类旁通 2.(变结论)在本例条件下，试求能组成多少 2.(2024·太原高二期末)北京时间2024年 个无重复数字且为5的倍数的五位数， 4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟 十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后， 两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人 民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组 有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排 2人，后排4人.若两个指令长在前排，则 [素养聚焦]利用排列的概念和排列数公式解决 不同的排法种数为 ( 实际应用问题的过程中，体现了数学建模和数学运 算的核心素养 A.24 B.48 C.360 D.720 规健方法 排数字问题常见的解题方法 (一题多解) 题型三 数字排列问题 (一题多变) (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先 填充.如“0”不排“首位” 例用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重 (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后 复数字的整数，求满足下列条件的数各有 按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是 多少个 分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏. (1)六位数； (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数. (2)六位奇数 (4)位置分析法：按位置逐步讨论，把要求数字的每 [自主解答] 个数位排好 [触类旁通 3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 数，求： (1)可以组成多少个六位数？ (2)可以组成至少有一个偶数数字的三位 数多少个？ [母题变式 1.(变结论)在本例条件下，试求能组成多少 个无重复数字的四位偶数 课堂小结 知识落实 技法强化 1.对排列概念的深层1.分类讨论法、求补法. 理解 2.注意分类、分步标准的 2.排列数的综合应用. 选取。 提示 请完成[课后案」学业评价（四） 10 第六章计数原理© 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 学业标准 素养目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别1.通过对组合概念的学习，培养数学抽象等核心素养 与联系.（重点） 2.组合数公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数 心素养 公式，能运用组合数公式进行计算.（重点） 3.通过利用组合与组合数公式解决简单的实际问题， 3.会解决一些简单的组合问题.（难点） 主要提升数学建模核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 第2步，将每个组合中的两个数排列，有 A种排法。 导学1组合的定义 由分步乘法计数原理，可得商的个数为 ?问题 从1,3,5,7中任取两个数相除或 CA,由此你能得到C和A?的关系吗？ 相乘 (1)所得商和积的个数相同吗？ ○结论形成 (2)它们是排列吗？ 组合数及组合数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n) 组合数定义 个元素的 ◎结论形成 及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元 1.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 素的组合数，用符号C表示 元素 ,叫做从n个不同元素中取 乘积 出m个元素的一个组合 C=nn-1)(n-2)…(n-m+1) m! 组合数 形式 2.组合与排列的区别：组合无序，排列有序 公式 导学2组合与组合数公式 阶乘 n! 形式 m!(n-m)! 2间题从1,3,5,7中任取两个数相除，可 得到A?个商数，也可用分步法求商的个 CH= 性质 数，按照下列步骤得到： C+1= 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 种方法； 备注 规定C= 11 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 基础自测 2.方程C28=Cg8的解为 A.4或9 B.4 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） C.9 D.其他 (1)C=5×4×3=60. (2)C8g=C223=2023. 3.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人 ( (3)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个 参加某次社区服务，如果要求至少有1名 元素组成一个组合是C. ( 女生，那么不同的选派方案种数为() (4)“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合. A.14 B.24 C.28 D.48 4.计算：C8+C8= 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 组合的概念 [触类旁通 例1判断下列各事件是排列问题还是组合 1.从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2 问题. 个，写出所有不同的组合. (1)10个人相互各写一封信，共写多少 封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少 次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多 少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代 表，有多少种选法？ 题型二 组合数公式及应用 [自主解答] 例2 (1)计算：C8+C8·C; (②)老记已忌求n的取位案合。 [自主解答] 规健方法 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与 组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题 是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无 关的是组合 12 第六章计数原理● 规律方法 [素养聚焦]在解决简单的组合应用问题时，首先 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的 要根据组合的概念把实际问题数学化，在此过程中 错误，注意不要忽略n∈N”, 提升数学建模的核心素养， (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排 规健方法 列数、组合数公式，以及组合数的性质.求解时，要注 解答简单的组合问题的方法 意由C中的m∈N”,n∈N“,且n≥m确定m,n的 (1)弄清要做的这件事是什么事； 范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意， (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不 [触类旁通] 是组合问题： 2.求等式C-十C9中的n的值。 (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果。 Ci-3 5 [触类旁通] 3.从7名男生、5名女生中选取5人，分别求 符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A,B必须当选； (2)A,B必不当选； (3)A,B不全当选 题型三简单的组合问题 例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通 过了初试，学校要从中选出5人参加市级 培训.在下列条件下，有多少种不同的 选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加. [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 1.组合与组合数的定义. 枚举法、公式法、间接 2.排列与组合的区别与法是常用的方法，但 联系。 在解题时注意区分 3.用列举法写组合 “排列”还是“组合” 提示 请完成[课后案】学业评价（五） 13 O数学·选择性必修第三册（配RJA版） 第2课时 组合与组合数的应用 学业标准 素养目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 在利用组合数与排列数公式解决组合及排列组合 (重点) 的实际应用问题的过程中，提升数学建模、数学运 2.能解决有限制条件的组合问题.（重点、难点） 算等核心素养。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 有限制条件的组合问题（一题多解） [触类旁通] 例1某医科大学的学生中，有男生12名、 1.课外活动小组共13人，其中男生8人、女 女生8名在某市人民医院实习，现从中选 生5人，并且男、女生各指定一名队长.现 派5名参加青年志愿者医疗队， 从中选5人主持某项活动，依下列条件各 (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多 有多少种选法？ 少种不同的选法？ (1)只有一名女生当选； (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (2)两名队长当选； (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种 (3)至少有一名队长当选； 选法？ (4)至多有两名女生当选. (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有 多少种选法？ [自主解答] 规律方法 有限制条件的组合问题分类及解题策略 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再 取，分步计数； (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思 路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏； 二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 一14 第六章计数原理● 题型二几何中的组合问题 (一题多解) 题型三排列组合综合问题 (一题多变) 例2平面内有12个点，其中有4个点共 例有6本不同的书，按下列分配方式分 线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶 配，则共有多少种不同的分配方式？ 点，可构成多少个不同的三角形？ (1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本： [自主解答] (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 一个人2本，一个人3本 [自主解答] 规健方法 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想 [母题变式] 象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关 1.(变条件)本例的条件不变，6本不同的书 系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知 分成三组，每组都是2本，有多少种不同的 识点交汇在一起，综合性强 分法？ (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问 题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题 的限制条件即可. (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限 制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组 合数。 [触类旁通] 2.在四棱锥P-ABCD中，顶点为P,从其他 的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和 点P在同一平面上，不同的取法有() A.40种 B.48种 C.56种 D.62种 15[触类旁通] 已有过的颜色，故D区域也有3种颜色可选用.由分步 3.解析要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种涂法. 第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： (2)分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有3 第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走； 种方法，不妨设放入α，再安排第二块田，有两种方法b 第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走 或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c. 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3X2 ①若第三块田放c: =6种不同的走法， 第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有 2种不同的走法. 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2=4种方法. 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6十2=8种 ②若第三块田放a: 不同的走法， a a 习题课计数原理的综合应用 第四块有b或c两种方法， 课堂案·互动探究 I若第四块放c: [例1][解析](1)三位数字的电话号码，首位可以是 0,数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5× a 6 5×5=53=125(种). 第五块有2种方法： (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考 Ⅱ若第四块放b: 虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排 b 0,因此，共有4×5×5=100（种）. a (3)被2整徐的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可 第五块只能种作物，共1种方法」 以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法； 综上，共有3×2×(2×2十2+1)=42种方法. 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4， [答案](1)B(2)42 再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有 [触类旁通] 3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12十18：3.解析先给地区1染色有5种选择，再给地区Ⅱ染色有 =30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数 4种选择，然后给地区Ⅲ染色有3种选择，最后给地区 字的三位数 Ⅳ染色也有3种选择，综上所述，满足题意的染色方法 [母题变式] 共有5×4×3×3=180（种）. 解析完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以 答案180 分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种 6.2排列与组合 方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个剩 下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩 6.2.1排列 下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排 6.2.2排列数 十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3X 第1课时排列与排列数 3×2=36(个). 课前案·自主学习 [触类旁通] [教材梳理] 1.B0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900个三位数， 导学1 其中无重复数字的三位数有9X9×8=648个，所以有 [问题][提示]分两步.第1步确定上午的同学，第2 重复数字的三位数有900-648=252（个）. 步确定下午的同学 [例2][解析](1)有三类选人的方法：3名教师中选一 ○结论形成 人，有3种方法：8名男同学中选一人，有8种方法；5名 (1)一定的顺序(2)完全相同排列顺序 女同学中选一人，有5种方法.由分类加法计数原理知， 共有3+8+5=16种选法. 导学2 (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选 [问题](1)[提示]4×3-12个无重复数字的两位数. 男同学，有8种方法：第三步选女同学，有5种方法，由 (2)[提示]4×3×2=24个无重复数字的三位数. 分步乘法计数原理知，共有3×8×5=120种选法. (3)[提示]n(n一1)(n-2)…(n一m+1)种不同的 (3)可分两类，每一类又分两步，第一类：选一名教师再 排法。 选一名男同学，有3×8=24种选法；第二类：选一名救 ○结论形成 师再选一名女同学，共有3×5=15种选法.由分类加法 不同排列n! n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!1 计数原理可知，共有24+15=39种选法. [基础自测] [触类旁通] 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.解析（以小球为研究对象）分三步来完成： 2.BD因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做 第一步：放第一个小球有5种选择； 加法和来法时，结果与两数宇位置无关，故不是排列问 第二步：放第二个小球有4种选择； 题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题 第三步：放第三个小球有3种选择， 3.CA16=100×99×…×(100-12+1)=100×99×… 由分步乘法计数原理得，总方法数N=5×4×3=60. ×89. [例3][解析](1)按区域分四步：第一步A区域有5：4.解析从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列， 种颜色可选；第二步B区城有4种颜色可选：第三步C: 共有A号=20种添加方法. 区战有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中 答案20 © 课堂案·互动探究 第2课时排列与排列数的应用 [例1][解析](1)票价只有三种，虽然机票是不同的， 课堂案·互动探究 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题。 : [例1门[解析]第1类，挂1面旗表示信号，有A}种不 (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是 同方法； 不同的，存在顺序问题，属于排列问题， 第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法： (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序 第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法 问题，属于排列问题 根据分类加法计数原理，共有A}+A号十A=3十3X [触类旁通] 2十3×2×1=15种可以表示的信号. 1.解析(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题. [答案]15 “入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位 [触类旁通] 安排三位客人是排列问题 1.解析(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相 (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题 当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有 若方程 。2+器=1表示焦点在工轴上的精圆，则必有 A=7X6X5=210种不同的送法. (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都 a>b,a,b的大小关系一定； 不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343种 在双曲线君-￥1中，不管a>6还是a<6,方程号 不同的送法 [例2][解析](1)（相绑法）将甲、乙两人“掴绑”为 京1均表示焦点在x轴上的双南线，且是不同的双曲 一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法.甲、乙两 人可交换位置，有A种排法.故共有A·A=1440种 线，故是排列问题. 排法. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. (2)法一（间接法）7人任意排列，有A号种排法.甲、乙 [例2][解析]如图， 两人相邻有A经·A种排法，故共有A号一A·A= audz 3600种排法. 同时用 同时不用 法二（插空法）将其余5人排列，有A种排法.5人之 4种) 间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A号 3用 不用 (2×3种) (1×4种) 种推法.故共有A·A号=3600种排法. 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1,a1a2 (3)(捆绑法)将甲，乙、丙三人捆绑在一起与其余4人 全排列，有A种排法，甲，乙、丙三人有A种排法，共 b2,ajazb3,ajazba,agaby,asab2 ,azab3,a3asbi,a3as 有A·A3=720种排法. b2,azasb3,asasbi,asasb2 ,asasb3,asasb,14. [触类旁通] (4)(插空法)将其余4人排好，有A好种排法.将甲、 2.解析 画出树状图如图所示： 乙、丙插入5个空中，有A种排法.故共有A·A =1440种排法」 [触类旁通] 2.B依题意，排前排2人有A匠种方法，排后排4人有Ad 因此，共计有12个不同的排列，它们是ab,ac,ad,ba, 种方法， bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc. 由分步乘法计数原理得不同排法种数是A经A4=2X24 [例3](1)汇解析]A==7X6XAg,A=6×Ag,所以 =48. 故选B. 原式=36A A =36. [例3][解析](1)（间接法）0,1,2,3,4,5六个数字 共能形成A。种不同的排法，当0在首位时不满足题意， [答案]D 故可以组成Ag一A=600个没有重复数字的六位数. n! (2)[证明]A·A然=n”mn一m)!=m!=A, (2)法一（位置分析法）①从个位入手：个位数排奇数， 等式成立」 即从1,3,5中选1个有A}种方法，首位数在排除0及 [母题变式] 个位数余下的4位数字中选1个有A}种方法，余下的 证明左边=k·A峰=k·k!=(k+1一1)·k！= 数字可在其他位置全排列有A种方法，由分步乘法计 (k十1)！一！=右边，.等式成立. 数原理知，共有A}·A}·A1=288个不同的六位奇数. [触类旁通] ②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类 aD由A<6A,将g<6XaT 8 进行. 第1类，首位排奇数，有A}种选择，再个位排奇数有A 化简得x2-19x十84<0，解得7<x<12,① 种方法，其余位置金排列有A.则共有A·A2·A= .所以2≤x≤8，② 144种方法. 第2类，首位排非0偶数，共有A2·A·A=144种 由①②及x∈N",得x=8. 方法. 根据分类加法计数原理，共有144+144=288个不同的 课堂案·互动探究 六位奇数. [例1][解析](1)是排列问题.因为发信人与收信人 法二（元素分析法）0不在两端有A}种排法.从1,3,5 是有区别的。 中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列，故共有 (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与 A}·A}·A=288个不同的六位奇数. 甲通了一次电话，没有顺序的区别. [母题变式] (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. 1.解析符合要求的四位偶数可分为三类： (4)是排列问题.因为3个人中，担任哪一学科的代表是 第1类，0在个位时，有A个；第2类，2在个位时，首位 有顺序区别的 上的数字从1,3,4,5中选定1个，有A好种选法，十位上 [触类旁通] 的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A?种， 1.解析要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序 于是有A}·A好个；第3类，4在个位时，与第2类同理， 排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出 也有A}·A好个.由分类加法计数原理可知：共有A十 来，如图所示 2A】·A?=156个无重复数字的四位偶数. 2.解析可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有A 个：第2类，个位上为5的五位数有A}·A8个，故共有 由此可得所有的组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd, A+A}·A=216个无重复数字且为5的倍数的五 ce,de. 位数. : [例2】[解析](1)原式=Cg+C0×1=8X7X6+ 3×2X1 [触类旁通] 3.解析(1)先考虑首位数字，从1,2,3,4,5中任选一个， 100×9=56+4950=5006. 2×1 有5种选法；再将剩下的5个数字在剩下的5个数位上 (2)由 6 24 全排有A种选法，由分步乘法计数原理，可得六位数 n(n-1)(n-2) m(n-1)(n-2)(n-3)< 有5A=600(个). 240 (2)先考虑由数字0,1,2,3,4,5组成的三位数的个数， n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)' ①考虑百位数字，有5种选法：②考虑十位和个位，有 可得n2-11m-12<0,解得-1<n<12. A?种选法，由分步乘法计数原理，共有这样的三位数 又n∈N*,且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11} 5A2=100(个)： 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11). 再考虑“至少有一个偶数数字的三位数”的反面情况： : [触类旁通] “没有一个偶数数字的三位数”的个数为A=6个，故 2.解折原方程可支形为8号+1-号c-1=c 得至少有一个偶数数字的三位数有100一6=94（个）. C33 5 6.2.3组合 即n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) 5! 6.2.4组合数 =14.n-3)(m-4)(m-5) 第1课时组合与组合数 5 3 课前案·自主学习 化简整理，得n2-3n-54=0.解此二次方程，得n=9或 n=一6（不合题意，舍去），所以n=9为所求. [教材梳理] [例3][解析](1)从中任取5人是组合问题，共有C2 导学1 =792种不同的选法. [问题](1)[提示]不相同. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选 (2)[提示]从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而 2人，是组合问题，共有C号=36种不同的选法， 相乘不是排列， (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选 O结论形成 5人，共有C=126种不同的选法. 1.作为一组 (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从 导学2 甲、乙、丙中选1人，有C=3种选法：再从另外9人中 [问题][提示] c8=A-6. 选4人，有C种选法.共有CC=378种不同的选法. A经 [触类旁通] ⊙结论形成 3.解析(1)由于A,B必须当选，那么从剩下的10人中 所有不同组合的个数C”mC”C”-11 选取3人即可，故有不同的选法种数为C10=120. [基础自测] (2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可，故有不 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 同的选法种数为C。=252. 2.A当x=3x-8时，解得x=4: (3)全部选法有C2种，A,B全当选有C。种，故A,B不 当28-x=3x一8时，解得x=9. 全当选的选法种数为C2一C10=672. 3.A从6人中任选4人的选法种数为C%=15,其中没有 女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为 第2课时组合与组合数的应用 15-1=14. 课堂案·互动探究 4.解析C8+C8=C9=C3=5X50-1275. ! [例1门[解析](1)只雾从其他18人中选3人即可，共 2×1 有C18=816(种). 答案1275 (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C月8=8568（种）. ⑧ (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C18种选 2.解析 法，甲、乙两人都参加，则有C8种选法.故共有C·C8 先平均分成三组，有cCC种分法，再分给3个 A +C18=6936(种). (4)法一（直接法）男生和女生都至少有一名的选法可分 人，所以分配方式共有C3CC.A=90(种). A 为四类：1男4女：2男3女：3男2女：4男1女.所以共有 [触类旁通] C2·C+C2·Cg+C2·C+C2·Cg=14656(种). 3.解析法一运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再 法二（间接法）由总数中减去5名都是男生和5名都 安排乙、丙岗位，则不同的安排方法共有CA=18(种). 是女生的选法种数，得C20一(C8十C2)=14656(种). 法二运用分类加法计数原理，若A不入选，有A=6 [触类旁通] 1.解析(1)一名女生，四名男生.故共有C·C=350(种). 种安排方法；若A入选，则有CA=12种安排方法，所 (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有 以共有6+12=18种不同的安排方法. C号·C1=165(种). 答案18 (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队 教考衔接1排列、组合 长.故共有C·C1十C号·C=825种，或采用排除法 [例1][解析](1)利用插空法，第一步排列一个2，一 有Ci3一C31=825(种). 个1，一个7，共有A=6种排法，第二步最前面不能排 (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女 0,再把0插入其中3个空，所以有C=3种排法，所以 生、没有女生.故选法为C·C十C·C十C8=966(种). 共有AC号=6×3=18个五位数. [例2][解析]法一以从共线的4个点中取点的多少 故选A. 作为分类的标准. (2)对于A,从六门课程中选两门的不同选法有C号-15 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共 种，A不正确； 有CC8=48个不同的三角形； 对于B,前5天中任取1天排“数”，再排其他五门体验 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共 课程共有5A=600种，B正确； 有CC=112个不同的三角形； 对于C,“礼”“书”排在相邻两天，可将“礼”“书”视为一 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有 个元素，不同排法共有2A=240种，C正确； C=56个不同的三角形. 对于D,先排“礼”“书”“数”，再用插空法排“乐”“射” 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48十112十 “御”，不同排法共有A3A1=144种，D不正确. 56=216(个). 故选BC. 法二（间接法）从12个点中任意取3个点，有C2= 220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构 [答案](1)A(2)BC 成三角形，即不能构成三角形的情况有C=4(种). [例2][解析](1)由题意知这4人中恰有2人均预约 故这12个，点构成的三角形有C2一C=216(个). 了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，首先将4人分成2 [触类旁通] 组，有=3种不同的分法，下面分2种情况：若预约2 2.C满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱锥的每个侧面上 个馆的2人预约完全相同，有A号=6种不同的结果： 除点P外任取3点，有4C种取 若预约2个馆的2人有1馆预约相同，有CCA号A经= 法：第2类，在两个对角面上除点 24种不同的结果，所以每个馆恰有2人预约的不同方 P外任取3点，有2C种取法；第 案有3×(6十24)=90（种）. D 3类，过点P的四条棱中，每一条 故选D. 棱上的两点和与这条棱异面的两 条棱的中点也共面，有4C种取法，所以，满足题意的不 (②根据题意得，将4名航天员分成3组有一 同取法共有4C+2C+4C=56种，选C. 种方法，将3组人员分到3个航天舱，有A=6种不同 [例3][解析](1)分三步：先选一本有C种选法，再 的分法，所有不同的安排方案共有6×6=36（种）. 从余下的5本中选两本有C号种选法，最后余下的三本 [答案](1)D(2)36 全选有C种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共 6.3二项式定理 有C·C号·C=60(种). 6.3.1二项式定理 (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上， 还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有C喝·C得· 课前案·自主学习 C3·A=360(种). [教材梳理] [母题变式] 导学 1.解析先分三组，有CCC号种分法，但是这里面出现 [问题1][提示](a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, 了重复，不坊记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方 [问题2][提示](a十b)3的展开式有4项，每项的次数 法记为(AB,CD,EF),但CCC是种分法中还有(AB, 是3，(a十b)的展开式有5项，每一项的次数为4. EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD, :[问题3][提示](a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). AB),(EF,AB,CD),共A号种情况，而这A种情况只 由多项式的乘法法则知，从每个(a十b)中选a或选b相 能作为一种分法，故分配方式有CCC=15(种。 乘即得展开式中的一项。 A 若都选a,则得Cab; 6