4.3 公式法 同步练习题2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级数学下册第四章3 公式法同步练习题 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2．对于任何整数a，多项式都能（　　） A．被a整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 3．对于任何整数m，多项式一定能被（　　） A．3整除 B．4整除 C．5整除 D．m整除 4．已知三边长分别为a、b、c，，且a、b、c满足，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．下列因式分解正确的是（　　） A．x2-x=x(x+1) B．a2-3a-4=(a+4)(a-1) C．a2+2ab-b2=(a-b)2 D．x2-y2=(x+y)(x-y) 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C．分解因式： D． 7．当为正整数时，代数式一定是下面哪个数的倍数（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 8．若c2-a2-2ab-b2=10，a+b+c=-5，则a+b-c的值是（　　）. A．2 B．5 C．9 D．20 二、填空题 9．因式分解：　 　． 10．因式分解：　 　． 11．因式分解：　 　． 12．分解因式：=　 　. 13．分解因式： 　 　． 14．现有若干个长方形和正方形纸片如图 4-1 所示， 将其拼成一个大长方形如图 4-2 所示， 根据面积关系， 我们有： ， 请利用拼图分解因式： 　 　 三、解答题 15．分解因式： （1）； （2）． 16．因式分解： （1）； （2） 17．分解因式： （1） （2） 18．如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题： （1）根据图②，写出一个代数恒等式： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值； （3）小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ． 19．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题： （1）分解因式：． （2）当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ （3）若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 20．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21．阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． （1）利用“配方法”分解因式：； （2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解； （3）若，求m和n的值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、x2-x=x(x-1)，故A不符合题意； B、a2-3a-4=(a-4)(a+1)，故B不符合题意； C、a2-2ab+b2=(a-b)2，故C不符合题意； D、x2-y2=（x+y）（x-y），故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】A、利用提公因式法分解因式，据此判断即可. B、利用十字相乘法分解因式，据此判断即可. C、根据(a b)2=a2 2ab+b2进行分解，据此判断即可. D、根据平方差公式分解即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意； B、，则本项不符合题意； C、则本项不符合题意； D、，则本项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据一个正数的正的平方根就是其算术平方根即可判断A项；根据积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算即可判断B项；先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式进行到每一个因式都不能再分解为止，即可判断C项；根据单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，进行计算即可判断D项. 7．【答案】D 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：A. 【分析】分组分解因式可得，根据，即可求解. 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】根据平方差公式进行因式分解，即可得到答案。 13．【答案】 【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y − 2 ) 故答案为：x ( y + 2 ) ( y − 2 ) 【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。 14．【答案】（2a+b）（a+2b） 【解析】【解答】解：如图： 大长方形的面积可以表示成：2a2+5ab+2b2， 还可以表示为：（2a+b）（a+2b）； ∴2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）， 故答案为：（2a+b）（a+2b）. 【分析】（1）根据题意，将2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形及5张长为a，宽为b长方形拼成一个大长方形，用两种方法表示同一个图形面积即可求解. （2）利用因式分解可以解决整除问题，代数式恒等变形问题等， 还可以简化代数式求值问题，进行简便计算． 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】（1）解：； （2）解： 【解析】【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可； （2）利用提取公因式的计算方法求解即可。 17．【答案】（1）解：； （2）解：. 【解析】【分析】（1）首先提取各项的公因式-3x，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止； （2）首先提取各项的公因式-0.1，再利用完全平方公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止. 18．【答案】（1） （2）； （3）长为或，宽为或 19．【答案】（1） （2）当时，有最小值，最小值为 （3）时直角三角形 20．【答案】（1）C （2）解： （3）解：设， 原式． 【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故答案为：C； （2）不彻底，原式； 【分析】（1）根据完全平方公式结合题意即可求解； （2）根据题意运用因式分解即可求解； （3）设，进而结合题意进行因式分解即可求解。 21．【答案】（1）解：原式 （2）解： （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）给整式前两项加上4可得到一个完全平方式，此时为保证整式大小不变，还得给后面的常数项减去4，恰好把这个二次三项式表示成两个整式平方差的形式，可直接利用平方差公式分解因式； （2）由于和分别是两个平方式和的平方，且它们乘积的2倍即也是一个平方式，因此给原式加上再减去后可得到两个整式的平方差，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （3）利用配方法可把等式的左边表示成两个非负数的和，由于它们的和为0，则每一个非负数都等于0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$