离散型随机变量的均值与方差基础巩固练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 离散型随机变量的均值与方差 基础巩固练 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【答案】C 【知识点】两点分布的均值 【分析】根据分布的概念可知，结合可求，再求期望即可. 【详解】因为X服从分布，所以，因为， 所以，，故． 故选：C 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（   ） A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由期望计算公式可得答案. 【详解】由题可得出海效益的期望是. 故选：B 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案. 【详解】， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列是．若，则（    ） 1 2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】利用分步列的性质及条件得到，再利用方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以，又，得到， 故选：A. 6．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】设表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，求出其概率值，确定随机变量的所有可能的值，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，得到其分布列，利用期望公式计算即可. 【详解】设表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”， 则， 由题意的所有可能的值为， 则， ， ， . 故的分布列为： 2 3 4 5 则. 故选：A. 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差． 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】先根据分布列的性质可得，，进而，进而可得. 【详解】由题意，，得到，， 根据随机变量均值公式，得 ， 当时，取得最大值，经检验符合题意． 故选：B． 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】根据给定的信息，求出采用每种方案时的期望，再比较大小即得. 【详解】设采用方案①，②，③的损失分别为， 若采用方案①，则； 若采用方案②，则， ； 若采用方案③，， ，而， 所以从农场主损失期望的角度出发，农场主采用方案②可以让损失降到最小. 故选：B 二、填空题 10．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 . 【答案】5 【知识点】均值的性质 【分析】利用均值的性质求解. 【详解】已知，则. 故答案为：5 11．（23-24高二下·山东济宁·期中）在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是 ． 【答案】0.73 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题，先求得和时的概率，即可求得期望. 【详解】由题意可得，的所有可能取值为0，1， ， 所以的分布列为 0 1 0.27 0.73 所以， 故答案为：0.73 12．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列如下，则 . 【答案】9 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】先根据期望和方差公式求出，再根据方差的性质即可得解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 【答案】 【知识点】由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【详解】由题意知，由得，解得， 故. 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望为 . 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】按照独立事件的概率公式求其概率，再利用期望公式求期望. 【详解】的可能取值为1，2，3， 则，，， 则 故答案为： 15．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】求出单位同学选择社团的总数，再求得三位同学选择不相同的社团数，作比值即可；三位同学选择社团种类数可能取值为，分别求得概率，用数学期望的公式计算即可. 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 三、解答题 16．（22-23高二下·北京怀柔·期中）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【详解】（1）根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 17．（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列求解步骤，利用古典概型公式求相应概率可得； （2）利用期望与方差定义式求解即可. 【详解】（1）的所有可能取值为. ；；. 故的分布列为 2 3 4 （2）； . 故X的均值为为；方差为． 18．（23-24高二下·河北张家口·期中）今年雷锋日，宏光中学高二（1）班选派6名学生去当雷锋志愿者，其中男生4人，女生2人，若从这6名学生中选出2人参加文明交通宣传，记X为抽取的2人中女生的人数. (1)求随机变量X的分布列； (2)求随机变量X的期望与方差. 【答案】(1)分布列见详解 (2)期望；方差 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列 【分析】（1）由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求相应的概率，即可得分布列； （2）根据（1）中的分布列，结合期望和方差的定义运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有： ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P （2）由（1）可得随机变量X的期望为； 方差为. 19．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． (1)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； (2)设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求出，，从而利用条件概率公式求出概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）男生甲没有被选中，则从剩余的7人中任选4人， 故， 男生甲没有被选中，且女生乙被选中，则从剩余的6人中选择3人， 故， 所以； （2）的情况一共有， 故的可能取值为4,2,0， 当时，即选择了4名男生或4名女生， 则， 当时，即选择了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生， 则， 当时，即选择了2名男生和2名女生， 则， 故随机变量的分布列为 4 2 0 数学期望为. 20．（21-22高二·全国·课后作业）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 【答案】 1 3 6 均值为： 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意写出的可能取值，计算概率，求解分布列即可. 【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6. ， ， ， . 所以的分布列为： 1 3 6 所以. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 离散型随机变量的均值与方差 基础巩固练 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（   ） A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2600元 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列是．若，则（    ） 1 2 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 二、填空题 10．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 . 11．（23-24高二下·山东济宁·期中）在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分．若篮球运动员甲罚球命中的概率为0.73，则篮球运动员甲罚球一次得分的均值是 ． 12．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列如下，则 . 13．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则 . 14．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数的期望为 . 15．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 三、解答题 16．（22-23高二下·北京怀柔·期中）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 18． （23-24高二下·河北张家口·期中）今年雷锋日，宏光中学高二（1）班选派6名学生去当雷锋志愿者，其中男生4人，女生2人，若从这6名学生中选出2人参加文明交通宣传，记 19． 为抽取的2人中女生的人数. (1)求随机变量X的分布列； (2)求随机变量X的期望与方差. 19．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛． (1)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求； (2)设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望． 20．（21-22高二·全国·课后作业）某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$