第19章　四边形 单元测试卷 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

第19章　四边形 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2023·湖南衡阳珠晖区模拟)正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (　　) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.四个角都相等 D.对角线互相垂直 2.(2022·贵州六盘水期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,且点G在CD上.若∠BAG=20°,则∠DGF= (　　) A.70° B.60° C.80° D.45° 　　　 (第2题) (第3题)　 (第4题) 3.[课标理念|弘扬革命精神](2023·安徽亳州期中)如图,八角帽又称“红军帽”,是红军的象征,也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一,其帽顶外口近似正八边形.则正八边形的一个内角的度数为 (　　) A.150° B.140° C.135° D.120° 4.(2023·安徽芜湖期中)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=4,BD=6,则AB的长可能是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 5.(2023·安徽宿州段考)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,若菱形ABCD的周长为28,则OH的长为 (　　) A.7 B.3.5 C.4 D.14 　　　　 (第5题) (第6题) 6.(2023·安徽宿州段考)如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列说法正确的是 (　　) A.当OA=OB时,▱ABCD为菱形 B.当AB=AD时,▱ABCD为正方形 C.当∠ABC=∠BCD时,▱ABCD为矩形 D.当AC⊥BD时,▱ABCD为正方形 7.(2023·江苏南通期中)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下: 甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形. 乙:作∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形. 　　　　　　　　　　　　　　　 甲　　　　　　　乙 根据两人的作法可判断 (　　) A.甲正确、乙错误 B.乙正确、甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 8.(2023·安徽六安金安区一模)四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形,当内角的大小发生变化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是 (　　) A. B. C. D.1 (第8题)　 　 (第9题)　　 (第10题) 9.(2023·安徽池州模拟)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F,G,连接FG,若CG=4,CF=3,则AE的长是 (　　) A.3 B.4 C.7 D.5 10.(2022·江苏连云港期末)如图,矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点F在CD上,且DF=5,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE,EF的中点,则在点E从B向C运动的整个过程中,线段MN所扫过的区域面积是 (　　) A.13 B.14 C.15 D.16 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分) 11.(2023·安徽合肥庐江期中)在▱ABCD中,已知∠A+∠C=160°,则∠A=　　　　°.  12.[中考创新题型|开放性试题](2023·北京石景山区一模)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE=DF.若要使四边形AECF是矩形,则可以添加的条件是　　　　(写出一个即可).  　　　　 (第12题) (第14题) 13.(2023·山东聊城期中)以正方形ABCD的边CD为边作等边三角形CDE,则∠AEB=　　　　.  14.(2022·安徽合肥庐阳区期末)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点G是边AD上的点,AG=2,点H是边BC上一点,连接GH,将纸片沿GH折叠,A,B的对应点分别为E,F. (1)当点F在边DC上时,CF的长为　　　　;  (2)CF的最小值为　　　　.  三、解答题(本大题共6小题,满分54分) 15.(6分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且AE=CF,连接EF交AC于点O.求证:点O是线段EF的中点. 16.(7分)(2023·吉林松原期末)如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O,BE=AB,且A,B,E三点共线. (1)求证:BD=EC. (2)若∠E=50°,求∠BAO的度数. 17.(8分)(2023·山东枣庄滕州开学考试)如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是CD的中点,连接BE交AC于点F,延长BE至点G,使FG=BF,连接DF,DG,CG. (1)求证:DG∥AC; (2)当AB=BF时,求证:四边形DFCG是矩形. 18.(10分)[中考创新题型|创新作图题](2023·江西南昌期中)仅用无刻度直尺在给定网格中完成下列作图(保留作图痕迹,不写作法). (1)如图(1),在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且AE=AF,以EF为边作一个矩形; (2)图(2)是由小正方形组成的9×6的网格,点P为△ABC内一点,画格点D,连接AD,CD,使得四边形ABCD为平行四边形,并在边CD上画点Q,使直线PQ平分四边形ABCD的面积. 19.(10分)(2023·湖北襄阳期中)如图(1),在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,连接PC. (1)求∠CPE的度数; (2)把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,如图(2),当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE之间的数量关系,并说明理由. 　 图(1) 图(2) 20.(13分)(2023·河南新乡红旗区期中)【经典再现】 如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG) (1)请你思考题中的“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件:　　　　;  【类比探究】 (2)如图(2),若E是BC边上任意一点(不与点B,C重合),其他条件不变.求证:AE=EF; 【迁移应用】 (3)在(2)的条件下,连接AC,过点E作EP⊥AC,垂足为P,连接PF.设=k,当k为何值时,四边形ECFP是平行四边形? 第19章　四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C A B C C A D C 11.80 12.AE⊥BC(答案不唯一) 13.30°或150° 14.(1)2　(2)4-2 1.D　正方形的对角线相互垂直,但矩形的对角线不一定垂直.故选D. 2.A　∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,∴∠FGA=90°,CD∥AB,∴∠DGA=∠BAG=20°,∴∠DGF=90°-∠DGA=90°-20°=70°. 3.C ∵正八边形的一个外角的度数是360°÷8=45°,∴正八边形的一个内角的度数为180°-45°=135°. 4.A　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∵AC=4,BD=6,∴OA=OC=AC=2,OB=OD=BD=3.∵OB-OA<AB<OB+OA,∴1<AB<5.故选A. 5.B　∵菱形ABCD的周长为28,∴AC⊥BD,AD=28÷4=7.∵H为AD边的中点,∴OH=CD=3.5. 6.C　(排除法)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又OA=OB,∴AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定▱ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,故选项B中说法错误.当AC⊥BD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,故选项D中说法错误. 7.C　对于甲的作法,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN.∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,AC⊥MN,∴△AOM≌ △CON,∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形.∵AC⊥MN,∴平行四边形ANCM是菱形,故甲的作法正确.对于乙的作法,∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF. ∵BF平分∠ABC,∴∠FBE=∠FBA,∴∠AFB=∠ABF,∴AB=AF,同理可得AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形,故乙的作法正确. 8.A　如图,过点D'作D'M⊥AB于点M,则∠D'MA=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴正方形ABCD的面积=AB2.∵∠DAD'=30°,∴∠D'AM=60°, ∠AD'M=30°.在Rt△D'AM中,由勾股定理可得D'M=AD'.∵四边形ABC'D'是菱形,∴AD'=AB,即D'M=AB,∴菱形ABC'D'的面积=AB×D'M=AB2,∴菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比==. 9. D　如图,连接CE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.在△ABE和△CBE中,,∴△ABE 10. ≌△CBE(SAS),∴AE=CE.∵EF⊥BC,EG⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形CFEG是矩形,∴EF=GC=4,∴CE===5,∴AE=CE=5. 11. C 如图,当点E与点B重合时,点M是AB的中点,点N是BF的中点;当点E与点C重合时,点M(记为M')是AC的中点,点N(记为N')是FC的中点.连接MN,MM',NN',M'N'.∵M是AB的中点,M'是AC的中点,N是BF的中点,N'是FC的中点,∴MM',NN'分别是△ABC,△FBC的中位线,∴MM'∥BC且MM'=BC,NN'∥BC且NN'=BC,∴四边形MM'N'N为平行四边形,∴线段MN所扫过的区域为平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=9. 12. ∵DF=5,∴FC=9-5=4,∴S平行四边形MM'N'N=BC·(AB-FC)=×12×(×9-×4)=15. 11.80　【关键】平行四边形的对角相等 12.AE⊥BC(答案不唯一,或∠EAF=90°等)　∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴BC-BE=AD-DF,即CE=AF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形(答案不唯一). 13.30°或150°　①如图(1),当点E在正方形ABCD的外部时,∵△CDE是等边三角形,∴∠CDE=60°,∴∠ADE=150°.∵CD=AD=DE, ∴∠DAE=∠DEA=15°,同理可知∠CEB=15°,∴∠AEB=60°-2×15°=30°.②如图(2),当点E在正方形ABCD的内部时,∵AD=DE=EC=DC=BC, ∴∠ECD=∠EDC=60°,∴∠ADE=∠BCE=30°,∴易得△ADE≌△BCE,∴AE=BE,∴∠EAB=∠EBA.又AD=DE,∠ADE=30°,∴∠DAE=75°, ∴∠EAB=15°,∠EBA=15°,∴∠AEB=150°.综上所述,∠AEB=30°或150°. 13. (1)2 　(2)4-2　(1)由题意得CD=AB=4,如图(1),作GM⊥BC于点M,GN⊥HF于点N,连接GF,则四边形GMCD为矩形,∴GM=CD=4.由折叠可知∠GHB=∠GHF,GE=AG=2.∵GM⊥BC,GN⊥HF,∴GN=GM=4.又GD=AD-AG=6-2=4,∴GD=GN.在Rt△GDF和Rt△GNF中,∴Rt△GDF≌Rt△GNF, 14. ∴DF=NF.∵∠E=∠EFN=∠GNF=90°,∴四边形GNFE为矩形,∴NF=GE=2,∴DF=NF=2,∴CF=CD-DF=4-2=2.(2)如图(2),连接CG,GF,由勾股定理得GF===2.∵DG=4,∴CG==4.在△CFG中,∵CF≥CG-GF,∴CF≥4-2,∴CF的最小值为4-2. 图(1)　　　　　　　　图(2) 15.【参考答案】证明:证法一 如图,连接AF,CE. ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥FC. 又AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形, (4分) ∴OE=OF,∴点O是线段EF的中点. (6分) 证法二 ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO. (2分) 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF,∴OE=OF, (5分) 即点O是线段EF的中点. (6分) 16.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD,AB∥CD. 又BE=AB,A,B,E三点共线, ∴BE=CD,BE∥CD, (2分) ∴四边形BECD是平行四边形, ∴BD=EC. (3分) (2)∵四边形BECD是平行四边形, ∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°. (4分) ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD, ∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°. (7分) 17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OD. 又FG=BF, ∴OF是△BDG的中位线, ∴OF∥DG,即DG∥AC. (3分) (2)∵AB=BF,∴∠BAF=∠BFA. ∵AB∥CD,∴∠BAF=∠FCE. 又∠EFC=∠BFA,∴∠EFC=∠FCE,∴EF=EC. 由(1)可知DG∥AC, ∴∠EFC=∠EGD,∠FCE=∠EDG, ∴∠EGD=∠EDG,∴ED=EG. 又点E是CD的中点,∴DE=CE, ∴EF=EG=ED=EC, ∴四边形DFCG是矩形. (8分) 18.【参考答案】(1)矩形EFGH如图(1)所示. (5分) (2)如图(2),点D和点Q即为所求. (10分) 19.【参考答案】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°. 又PD=PD, ∴△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE, ∴∠DAP=∠E, ∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD, ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPE=∠EDF=90°. (4分) (2)AP=CE. (5分) 理由:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°, ∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°. 又PB=PB,∴△ABP≌△CBP, ∴PA=PC,∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE,∴PC=PE,∠DAP=∠AEP, ∴∠DCP=∠AEP. ∵∠CFP=∠EFD, ∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠EFD-∠AEP, 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°, ∴△EPC是等边三角形, ∴PC=CE,∴AP=CE. (10分) 20.【参考答案】(1)AG=CE (2分) 解法提示:∵E为BC的中点,∴BE=CE=BC.∵G为AB的中点,∴BG=AG=AB.又AB=BC,∴AG=CE. (2)证明:如图(1),在AB上取AG=EC,连接EG, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠B=90°. ∵AG=CE,∴BG=BE, ∴△BGE是等腰直角三角形, ∴∠BGE=∠BEG=45°, ∴∠AGE=∠ECF=135°. ∵AE⊥EF, ∴∠AEB+∠FEC=90°. ∵∠BAE+∠AEB=90°, ∴∠FEC=∠BAE, ∴易得△GAE≌△CEF, ∴AE=EF. (7分) (3)当k=时,四边形ECFP是平行四边形. (8分) 如图(2),由(2)知△GAE≌△CEF,∴CF=EG. 设BC=x(x>0),则BE=kx,∴GE=kx,EC=(1-k)x. ∵EP⊥AC,∴△PEC是等腰直角三角形, ∴∠PEC=45°,∴∠PEC+∠ECF=180°, ∴PE∥CF,∴PE=(1-k)x. 当PE=CF时,四边形PECF是平行四边形, ∴(1-k)x=kx,解得k=, ∴当k=时,四边形ECFP是平行四边形. (13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$