第17章　一元二次方程 单元测试卷 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

第17章　一元二次方程 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2023·安徽阜阳颍州区期末)以-2为根的一元二次方程是 (　　) A.x2-x+2=0 B.x2-x-2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0 2.(2022·云南文山期末)已知关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,则 (　　) A.m≠±2 B.m=-2 C.m=2 D.m=±2 3.(2023·湖南永州冷水滩区段考)若一元二次方程x2-6x+1=0可以配方成(x+p)2=q的形式,则p,q的值分别为 (　　) A.-3,8 B.3,8 C.3,-8 D.-3,-8 4.(2023·浙江杭州萧山区期中)若一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,则该方程必有一根为 (　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 5.若2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x= (　　) A.-1或 B.1或- C.1或- D.1或 6.[课标理念|关注数学文化](2023·陕西西安雁塔区期末)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (　　) A.3(x-1)x=6 210 B.3(x-1)=6 210 C.(3x-1)x=6 210 D.3x=6 210 7.(2023·福建漳州期中)定义新运算:a*b=ab2-2ab-3,则方程3*x=0的根的情况为 (　　) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定 8.(2023·安徽马鞍山花山区期中)若关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为2 023,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根为 (　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 9.(2023·安徽合肥蜀山区期中)空地上有一段长为a米的旧墙AB,工人师傅想利用这段旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园(如图所示),已知木栅栏的总长度为40米,所围成的长方形菜园的面积为S米2.若a=18,S=128,则 (　　) A.只有一种围法 B.有两种围法 C.不能围成菜园 D.无法确定有几种围法 　　　 (第9题) (第10题图(1)) 　　　　　(第10题图(2)) 　　 10.(2023·陕西西安莲湖区三模)求方程x2+8x=33正数解的几何方法:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积均为2x的长方形,得到大正方形的面积为33+22×4=49,则该方程的正数解为-2×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时,构造出如图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为 (　　) A.2　 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分) 11.(2023·江苏淮安淮阴区模拟)已知关于x的方程x2+mx=0的一个根是-2,则m的值为　　　　.  12.[中考创新题型|开放性试题](2023·北京首都师大附中段考)请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程: ①两根均为整数;②两根异号. 这个方程可以是　　　　　　　.  13.(2023·湖北武汉硚口区段考)生物学家研究发现,很多植物的生长都有下面的规律,即主干长出若干数目的支干后,每个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物,它的主干、支干和小分支的总数是91,则这种植物每个支干长出　　　　个小分支.  14.(2022·河北唐山期中改编)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c的值比原方程的c的值小2,则 (1)原方程中c=　　　　;  (2)原方程的根的情况是　　　　　　　　.  三、解答题(本大题共6小题,满分54分) 15.(共3小题,每小题3分,共9分)解方程: (1)(用公式法)-2x2+x+5=0; (2)2x2-x=1-2x; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=13. 16.(6分)[中考创新考法|纠错改错](2023·河北秦皇岛期中)嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下. 嘉嘉:两边同时除以(x-3),得3=x-3, 解得x=6. 淇淇:移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0. 则x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0. (1)嘉嘉的解法　　　　,淇淇的解法　　　　.(填“正确”或“不正确”)  (2)请你给出正确的解法,并结合你的经验提出一条解题注意事项. 17.(8分)(2023·浙江宁波鄞州区期末)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是该方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)如果△ABC是等边三角形,求这个一元二次方程的根. 18.(9分)(2023·湖南张家界永定区一模)在日历上,我们可以发现其中某些数之间满足一定的规律,如图是某年1月份的日历.我们任意选择如图所示的平行四边形框的部分,去掉每个平行四边形框的部分的中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:9×11-3×17=48,13×15-7×21=48.不难发现,结果都是48. (1)请证明发现的规律; (2)若用一个如图所示的平行四边形框,再框出5个数,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数; (3)小红说:她用一个如图所示的平行四边形框框出5个数,其中最小数与最大数的积是95,直接判断她的说法是否正确(不必叙述理由). 19.(10分)(2023·安徽蚌埠联考)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的两个实数根分别是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1)判断方程2x2-2x+1=0是否是“邻根方程”,并说明理由. (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值. 20.(12分)阅读并完成下列问题:任意给定一个长方形A,是否存在另一长方形B,使它的周长和面积分别是已知长方形周长和面积的一半? (1)当已知长方形A的两边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的: 设所求长方形的两边长分别是x和y, 由题意可得方程组 消去y,得2x2-7x+6=0. ∵Δ=49-48=1>0, ∴x1=　　　　,x2=　　　　,  ∴满足要求的长方形B存在. (2)如果已知长方形A的两边长分别为2和1,那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的长方形B. (3)如果长方形A的两边长分别为m和n,那么请你研究当m,n满足什么条件时,长方形B存在,并说明理由. 第17章　一元二次方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A C B A C D A C 11.2 12.x2+2x-3=0(答案不唯一) 13.9 14.(1)4　(2)没有实数根 1.D 2.B　∵关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,∴解得m=-2. 3.A　∵x2-6x+1=0,∴x2-6x=-1,∴x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8,∴p=-3,q=8. 4.C　将x=-1代入一元二次方程ax2+bx+c=0,得(-1)2a-b+c=a-b+c=0,∴x=-1是该方程的一个根. 5.B　由题意可得,2x2+1+4x2-2x-5=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或-. 6.A 7.C　由题意得3x2-6x-3=0,∵Δ=(-6)2-4×3×(-3)=36+36=72>0,∴该方程有两个不相等的实数根. 8.D　(转化思想)∵a(x-1)2+bx-3=b,∴a(x-1)2+b(x-1)-3=0.令t=x-1,∴at2+bt-3=0.∵ax2+bx-3=0(a≠0)有一个根为2 023,∴at2+bt-3=0有一个根为2 023,即x-1=2 023,解得x=2 024,∴关于x的一元二次方程a(x-1)2+bx-3=b必有一根为2 024. 9.A　如图,设长方形EFDC的边EC的长为x米,则DC的长为(40-2x)米,根据题意得(40-2x)x=128,即-2x2+40x=128,解得x1=16,x2=4.又40-2x≤18,解得x≥11,∴x=16,∴只有一种围法. 10.C　由题图(2)可知,先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积均为x的长方形,得到大正方形的面积为39+()2×4=39+25=64,∴该方程的正数解为-×2=3. 11.2　【提示】将x=-2代入方程x2+mx=0,即可求出m 12.x2+2x-3=0(答案不唯一,只要满足两根之积小于0且两根均为整数即可) 13.9　设这种植物每个支干长出x个小分支,依题意得支干的数量为x,小分支的数量为x·x=x2,根据题意可列出方程1+x+x2=91,解得x1=9,x2=-10(舍去),故这种植物每个支干长出9个小分支. 14.(1)4　(2)没有实数根　(1)∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-3+c=0,解得c=2,故原方程中c=4.(2)易得Δ=9-4×1×4=-7<0,∴原方程的根的情况是没有实数根. 15.【参考答案】(1)原方程可化为2x2-x-5=0. 因为a=2,b=-1,c=-5, 所以b2-4ac=(-1)2-4×2×(-5)=41>0. 代入求根公式,得x==, 所以x1=,x2=. (3分) (2)原方程可化为2x2+x-1=0. 变形,得x2-1+x2+x=0, 即(x+1)(x-1)+x(x+1)=0,所以(2x-1)(x+1)=0, 所以2x-1=0或x+1=0, 解得x=或x=-1. (3分) (3)去括号,得x2-1+2x+6=13, 移项、合并同类项,得x2+2x=8, 配方,得(x+1)2=9, 所以x+1=±3, 所以x1=2,x2=-4. (3分) 16.【参考答案】(1)不正确　不正确 (2分) (2)正确的解法是:3(x-3)=(x-3)2, 移项,得3(x-3)-(x-3)2=0, 提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0, 解得x1=3,x2=6. (4分) 注意事项:移项时要注意符号的改变,或除数不能为0等(言之有理即可). (6分) 17.(1)【参考答案】(1)△ABC是等腰三角形. (1分) 理由:∵x=-1是原方程的根, ∴(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, ∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0, ∴a=b, ∴△ABC是等腰三角形. (4分) (2)∵△ABC是等边三角形, (5分) ∴a=b=c>0, ∴原方程可化为2ax2+2ax=0,∴x2+x=0, 解得x1=0,x2=-1. (8分) 18.【参考答案】(1)证明:设平行四边形框的部分中间位置的数为a,则另外4个数从小到大分别为a-7,a-1,a+1,a+7, ∴(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7), =a2-1-(a2-49) =a2-1-a2+49 =48. (4分) (2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14), 根据题意得x(x-14)=435, 整理得x2-14x-435=0, 解得x1=29,x2=-15(不符合题意,舍去). 答:这5个数中的最大数是29. (8分) (3)小红的说法不正确. (9分) 解法提示:设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),根据题意得y(y-14)=95,整理得y2-14y-95=0,解得y1=19,y2=-5(不符合题意,舍去).又19在日历的最后一列,∴不符合题意,∴小红的说法不正确. 19.【参考答案】(1)是. (1分) 理由:Δ=(-2)2-4×2×1=4>0,故该方程有两个不相等的实数根. 解一元二次方程,得x1=,x2=. (2分) ∵-=1, ∴方程2x2-2x+1=0是“邻根方程”. (4分) (2)解方程,得x=m或x=-1. (6分) ∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”, ∴|m-(-1)|=1, ∴m=1-1或m=-1-1, (8分) 解得m=0或-2. (10分) 20.【参考答案】(1)　2 (2分) (2)设所求长方形的两边长分别是a和b, 由题意,得消去b,得2a2-3a+2=0. ∵Δ=9-16=-7<0, ∴不存在满足要求的长方形B. (6分) (3)当m,n满足(m-n)2-4mn≥0时,长方形B存在. (7分) 理由:设所求长方形的两边长分别是p和q, 由题意,得 消去q,得2p2-(m+n)p+mn=0, (9分) ∴Δ=[-(m+n)]2-8mn=(m-n)2-4mn. 当Δ≥0时,存在满足要求的长方形B, 即当(m-n)2-4mn≥0时,长方形B存在. (12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$