第19章　矩形、菱形与正方形 单元测试卷 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

第19章　矩形、菱形与正方形 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A.两组对边分别平行且相等 B.邻角互补 C.对角线互相平分 D.对角线相等 2.下列图形有4条对称轴的是（　　） A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形 3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，且点G在CD上.若∠BAG=20°，则∠DGF=（　　） A.70° B.60° C.80° D.45° 4.若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（　　） A.20 B.24 C.40 D.48 5.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A.①对角相等 B.③有一组邻边相等 C.②对角线互相垂直 D.④有一个角是直角 6.如图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（　　） A. B. C. D. 　 7.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB，下列四个判断中错误的是（　　） A.四边形ADEF是平行四边形 B.如果∠BAC=90°，那么四边形ADEF是矩形 C.如果AE平分∠BAC，那么四边形ADEF是菱形 D.如果AE⊥BC，且AB=AC，那么四边形ADEF是正方形 8.如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM=8，DM=2，则边AB的长为（　　） A.6 B.10 C.2 D.2 9.如图，菱形ABCD的面积为96 cm2，正方形AECF的面积为72 cm2，则菱形的边长为（　　） A.10 cm B.12 cm C.13 cm D.15 cm 　 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中CD=5，BC=24，在运动过程中，点D到点O的最大距离是（　　） A.24 B.25 C.2 D.26 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　　　　，使平行四边形ABCD是矩形.  12.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　　　.  　　 第11题图 第12题图 第13题图 13.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为　　　　.  14.如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成如图1所示的菱形，测得∠A=120°，接着将该活动学具调成如图2所示的正方形，测得正方形的对角线AC=30 cm，则图1中对角线AC的长为　　　　cm.  图1　　　　　　　图2 第14题　　 第15题 15.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点（不与点A，B重合），过点P作PE⊥AC，PF⊥ BD，垂足分别为E，F，则PE+PF=　　　　.  三、解答题（共55分） 16.（8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG.求证：DG=BE. 17.（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥ AC于点F. （1）求证：AE=DF； （2）若∠BAE∶∠EAD=2∶3，求∠EAO的度数. 18.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF. （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）若AE，BF相交于点O，BF=6，AB=5，求AE的长. 19.（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明. 20.（10分）【问题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形. 【甲同学的证法】证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，（第一步） OE=OF，（第二步） ∴四边形AECF是平行四边形.（第三步） 又∵EF⊥AC，（第四步） ∴四边形AECF是菱形.（第五步） 【老师评析】甲同学先利用对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了. 【挑错改错】 （1）甲同学的证明过程在第　　　　步出现了错误.  （2）请你根据甲同学的证明思路写出此题的正确解答过程. 21.（12分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB，CD，AD，BC于点E，F，G，H. （1）[感知]如图1，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF，则S四边形AEOG=　　　　 S正方形ABCD.  （2）[拓展]如图2，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG=S矩形ABCD，设AB=a，AD=b，BE=m，求AG的长.（用含a，b，m的代数式表示） （3）[探究]如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且AB=3，AD=5，BE=1，试确定F，G，H的位置，使直线EF，GH把平行四边形ABCD的面积四等分. 　　 图1 图2 图3 参考解析与答案 1.D 2.C　平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴；菱形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；矩形有2条对称轴. 3.A　∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，∴∠FGA=90°，CD∥AB，∴∠DGA=∠ BAG=20°，∴∠DGF=90°-∠DGA=90°-20°=70°. 4.A　如图，根据题意，得AO=×8=4，BO=×6=3.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD =DA，AC⊥BD，∴在Rt△AOB中，AB===5，∴菱形的周长为5×4=20. 5.A　①对角相等的平行四边形不一定是矩形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④有一个角是直角的菱形是正方形. 6.B　（整体思想）∵四边形ABCD为矩形，∴OB=OD，AB∥CD，∴∠EBO=∠FDO.在△EBO与△FDO中，∵∠EOB=∠FOD，OB=OD，∠EBO=∠FDO，∴△EBO≌△FDO，∴S阴影部分=S△AEO+S△EBO=S△AOB∵S△AOB=S△ABC=S矩形ABCD，∴S阴影部分=S矩形ABCD. 7.D　∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，故A正确.∵∠BAC=90°，四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形，故B正确.∵EF∥AB，∴∠DAE=∠AEF. ∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAF，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=FE.又∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，故C正确.如果AE⊥BC，且AB=AC，易得AE平分∠BAC，同选项C，仅能判定四边形ADEF是菱形，故D错误. 8.D　如图，连接CM，由题意知，EF是线段AC的垂直平分线，∴CM=AM=8.∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，AB=CD，∴在Rt△CDM中，CD===2.∴AB=2. 9.A　如图，连接AC，BD相交于点O.由正方形和菱形的对角线互相垂直平分可知，点B，E，O，F，D共线，且AC=EF.∵S正方形AECF=72 cm2，∴AC2=72 cm2，∴AC==12（cm）. ∵菱形ABCD的面积为96 cm2，∴AC·BD=96 cm2，∴BD==16（cm）.在Rt△ABO中，AO=AC=6 cm，BO=BD=8 cm，∴AB==10（cm），即菱形的边长为10 cm. 10.B　如图，取BC的中点E，连接OE，DE，OD，则CE=BC=12.在Rt△CED中，由勾股定理，得DE===13.∵点E是BC的中点，∠BOC=90°，∴OE=BC=12.由三角形三边关系，可知OD≤OE+DE，∴当D，E，O三点共线时，OD的长最大，且最大为OE+DE=12+13=25，即点D到点O的最大距离是25. 11.∠ABC=90°（或AC=BD等，答案不唯一） 12.（-5，4）　∵点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），∴AO=3，BO=2，AB=5.∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=BC=AB=5，∴在Rt△AOD中，OD==4.如图，过点C作CE⊥x轴于点E，则四边形OECD是矩形，∴CE=OD=4，OE=CD=5，∴C（-5，4）. 13.1　∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠C=∠D=90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（H.L.），∴BE=DF，∵BC=CD，∴CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形.由勾股定理得CE2+CF2=EF2，∴EC=CF =，∴△EFC的面积为EC·CF=××=1. 14.15　如图2，连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°.∵AC=30 cm，∴易得AB=15 cm.如图1，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC， ∠ABC=60°，∴AC=AB=15 cm. 图1　　　　　　　图2 15.　解法一 如图，连接OP.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，AC=BD===10，S矩形ABCD=AB·BC=48，∴S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA·PE+OB·PF=OA·（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=. 解法二 ∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，∴AC==10.连接PD，PC，易得S△APC+S△BPD=S△ABC，则AC·PE+BD·PF=×8×6.∵AC=BD，∴AC·（PE+PF）=48，∴10（PE+PF）=48，∴PE+PF==. 16.【参考答案】证明：∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG. （2分） 在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（S.A.S.），∴DG=BE. （8分） 17.【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD. ∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO=∠DFO=90°. 在△AEO和△DFO中，∴△AEO≌△DFO，∴AE=DF. （4分） （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA. ∵∠BAE∶∠EAD=2∶3，∴∠BAE=90°×=36°， ∴∠OAB=∠OBA=90°-∠BAE=90°-36°=54°，∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°. （8分） 18.【参考答案】（1）证明：用尺规作∠BAD的平分线的过程中， 易得AB=AF，∠BAE=∠FAE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形. 又∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形. （4分） （2）∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=BF=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8. （8分） 19.【解题思路】（1）由已知条件可知∠ADC=∠CEA=90°，故只需证明∠DAE=90°即可.（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形. 【参考答案】（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD. ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°. ∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形. （4分） （2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE为正方形. （5分） 证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠B=45°. ∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD. 又∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE是正方形. （9分） 20.【参考答案】（1）二 （3分） 解法提示：由EF垂直平分AC可得AO=CO，AF=CF，AE=EC，不能得出OE=OF. （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO. ∵EF是AC的垂直平分线，∴EF⊥AC，OA=OC. （5分） 又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴EO=FO. 又∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形. （10分） 21.【参考答案】（1） （3分） 解法提示：∵EF，GH过点O，且AG=BE=HC=DF，四边形ABCD是正方形，∴易证△AOG ≌△BOE≌△COH≌△DOF，∴S四边形AEOG=S△AOE+S△AOG=S△AOE+S△BOE=S△AOB=S正方形ABCD. （2）在题图2中，过点O分别作ON⊥AD于点N，OM⊥AB于点M， 则OM=AD=b，ON=AB=a. ∵S△AOB=S矩形ABCD，S四边形AEOG=S矩形ABCD，∴S△AOB=S四边形AEOG， ∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE，即S△BOE=S△AOG. （5分） ∵S△BOE=BE·OM=m·b=mb，S△AOG=AG·ON=AG·a=AG·a， ∴mb=AG·a，∴AG=. （7分） （3）在题图3中，过点O分别作OK⊥AB于点K，OQ⊥AD于点Q，并分别延长KO，QO交CD，BC于点L，P.易得KL=2OK，PQ=2OQ. ∵S平行四边形ABCD=AB·KL=AD·PQ，∴3×2OK=5×2OQ，∴=. （9分） ∵S△AOB=S平行四边形ABCD，S四边形AEOG=S平行四边形ABCD，∴S△AOB=S四边形AEOG， ∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE，∴S△BOE=S△AOG. ∵S△BOE=BE·OK=×1×OK，S△AOG=AG·OQ，∴×1×OK=AG·OQ，∴AG==. 易证△AOG≌△COH，△BOE≌△DOF，∴CH=AG=，DF=BE=1. ∴当点G到点A的距离、点H到点C的距离均为，点F到点D的距离为1时，直线EF，GH把平行四边形ABCD的面积四等分. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $$