学业评价(一-二) 正弦定理 余弦定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

学业评价(一) 正弦定理 10.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别 [必备知识·基础巩固] 为a,b,c,下列说法正确的是 ( ) 1.(多选题)已知\ABC满足a>,则下列结论正确 的是 sin AsinB十sinC 1 A.A>B B. sin A>sin B B.若acos B-bcosA,则a-b C. cosA<cos B D. sin 2A>sin 2B C.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形 2.(2024·重庆高一期中)在△ABC中,已知B= D.若△ABC为锐角三角形,则sinB>cosC ( 11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边 45*,C-75*,a-3,则b- A.2/2 若lga-lgc-lg sinB--lgv2,且 BE B.2 C.2 D.一2 (o,”),则△ABC的形状是 ) 3.(2024·甘肃天水高一期中)在△ABC中,内角 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 A,B,C所对的边分别为a,6,c,且a-4,b-46, 3 $2.在△ABC中,AB= 3,AC=1,A=30*,则$ A-60*,则B- ( △ABC的面积为 A.30。 B.30{或150。 C.45* 13.在△ABC中,已知acos(一A)=bcos(-B) D.45^或135· 4.(2024·安徽合肥高一期中)△ABC中,sin}A十 试判断△ABC的形状 sinC-sin*B,则△ABC是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 5.(2024·安徽合肥高一月考)在△ABC中,a三、③ A=60{*,B=75{*,则△ABC中最小的边长为 6.(2024·广东广州高一期中)已知△ABC的内角 A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A= bc_的值为 135*,则_- [核心价值·探索创新 sinB十sinC 7.在△ABC中,b^}-4a^{②}sin}B,则A- 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已 8.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判 知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c 断三角形是否有解,若有解,则解三角形 ②,则C- ( ) (1)a-10,b-20,A-80*; A7 B. (2)a-23,b-6,A-30*。 D. 15.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且A-2B,求的取值范围 [关键能力·综合提升 9.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若a-1,b-、3,A-30{*,则B=( A.30d B.150* C.60d D.120* ·数学·必修 第四册(配BJB版) 学业评价(二) 余弦定理 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c [必备知识·基础巩固 (1)若sin2B-、3sinB,求 B; 1.在△ABC中,已知a^{}三b^*}十bc十c^{},则A等于$ (2)若a三2bcosC,试判断△ABC的形状 ) A.30* B.60* C.120* D. 150d 2.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若a<<c,且c<a}十b},则角C不可能 为 ( _ A.90。 B.30{ C.75* D. 120。 3.(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC中,内角 A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足a:b:c -3:4:6,则cosA的值为 ( B-1 [关键能力·综合提升 C. D.-43 48 9.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C 所对的边,已知(a十b):(b十c):(a十c)=5; 4.(2024·广东惠州高一月考)已知八ABC的角A. ( 6:7,则下列结论正确的是 ~ B,C的对边分别为a,b,c,且(a十b)②一c2一ab,则 A. sinA: sinB: sin C-2:4:3 C ( B. sin A:sin B: sinC-3:2:4 A.30。 B.60。 C.△ABC是锐角三角形 C.120* D.150* D. △ABC是钝角三角形 5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边 10.(多选题)(2024·福建福州高一期中)在△ABC AB·BC--2,且满足sinA+sinC-2sinB, 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c, ( 则下列说法正确的是 ) 若sinC-2sinA,6-3a,则B=_. A.ac-4 7.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a Bb-2 b.c,且c(acos B-bcos A)-26,则sinA C.a十c-8 sinB 2 11.(多选题)(2024·山东烟台高一期中)在△ABC [核心价值·探索创新] 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2}=^2}+bc,$$$ 则 ( ) 14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c #知00 A. sin{A-sin2}B-sin BsinC B.c=b(1+2cosA A.2024 B.2025 C.A-2B C.4050 D.4051 D. 入ABC不可能为锐角三角形 15.(2023·新课标I卷)已知在△ABC中,A十B一 12.(2024·河南郑州高一期中)已知△ABC三边上 3C,2sin(A-C)-sinB. 的高分别为h,h,h,且h.h:h-4:5.6, (1)求sinA; 则此三角形最大角的余弦值为 (2)设AB一5,求AB边上的高 13.(2023·全国乙卷)在△ABC中,已知BAC= 120*,AB-2,AC-1 (1)求sinABC; (2)若D为BC上一点,且BAD=90*,求 ............................................................................ 八ADC的面积 )学业评价 学业评价(一) 正弦定理 2③ 1.ABC 由大边对大角可知A>B,所以A正确; 又:0B150, 由正弦定理知sinA>sinB,所以B正确; *.B-60{或B-120”$。 由A>B,且y=cosx在(0,n)单调递减, 可知cosAcosB,所以C正确; 当B=60{时,C=9o*c-asinC2v3sin 9o sinA sin 30{9-43; 当A-90*,B-30^{}时$, $,$$ 此时sin2A sin2B,所以D错误 当B=120{时,C-30”,casinC23sin 30* sinA sin 303-23. 2.C 由B=45^$,C=-75^{}, A-180*-B-C-6 0*$ b '.当B-60*时,C-90*,c-43; sinA 当B-120{时,C-30*,c-23. # 得sin B-bsinA 又b>a,0{<B<180*, #### 所以B=-60{*}或B-120{},故选CD. 10. ABD 由正弦定理可知sinB+sinC= 2Rsin B+2RsinC sin B+sinC /② 则B-458. ## 因为acos B-bcos A,所以 sin Acos B-cos Asin B-0, 即sin(A-B)-0,易知A-BE(-x,r),所以A-B-0. 即A一B,所以a-b,B正确; 即a”十c)-”, 因为sin2A=sin2B.2A(0.2),2BE(0.2π).且A+E 所以△ABC为直角三角形. $<,所以2 A=2B或2A+2B=x,即A-B或A+B=$$$ 5.解析 因为a-3,A-60{,B-75^,所以C-45*是最小的 二,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误; 因为△ABC为锐角三角形,所以B+C>哥,即→B> _一#得一。# 一C>o,所以sinB>sin(-c)-cos C.D正确. 答案2 11.C .'lga-lgc-lg sin B--lgv2, sinB_ BEe(o).B-. 所以b-2sin B,c-2sin C,则 btc sin B+sinC 由正,得-一## 2sin B+2sinC_2. 。 sin B十sinC . sinC-2sin A-2sin(3π-c) 答案2 #2( coscgsinc),简得 cos c-o. 7.解析 因为6?-4a?sinB, 所以sin}B-4sin{Asin2B. :cE(o,n)..C,则A-x-B-Cc. 在△ABC中,由0<B<x,所以sinB>0. 所以1-4sin^A,所以sinA-2, '△ABC是等腰直角三角形,故选C. 12.解析 根据三角形面积公式,得 又0<A<n,所以A-或5 答案或 8.解析 (1)a-10,b-20,a<b,A-80*} 90*, .bsinA-20sin80*>20sin60*-103>10 '.absinA,.',本题无解. 13.解析 解法一 ($2)a-23,b-6,a<b,A-30*} 90* :acos(-A)-bcos(-B), .:bsin A-6sin 30*-3..'.a>bsinA, 即bsinA<a<b,..本题有两解. '.asin A-bsin B 26 .a=b; 所以a-3. .△ABC为等腰三角形 答案3 解法二 :#acos(-A)=bcos ( B) 6.解析。 由题设及正弦定理边角关系可得c一2a,而b-3a '.asin A-bsin B. 2ac 由正弦定理,可得2Rsin}A-2Rsin}B 2aX2a 又.A,BE(0,x)..',sinA-sinB, '.A-B(A+B-π不符合题意,舍去) 答案 故△ABC为等腰三角形 14. B 因为sin B十sin A(sin C-cos C)=0, 7.解析 .c(acosB-bcosA)一2b2,..由余弦定理可得 所以sin(A+C)+sin Asin C-sin AcosC=0 #ac+66-.6-+--#-2,即+-6- 所以 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C-0 2ac 2bc 整理得sinC(sinA+cosA)-0. 6*-2+a-4b,即a-3b}, 因为sinC关0. 则a-36.-3. 所以sinA十cosA-0, 所以tanA--1. 再利用正弦定理可得&inA_、3. sinB 答案3 2x② 8.解析 (1)由sin2B-2sin Bcos B-3sin B 由正弦定理得sinC-c.sinA 又0<C吾,所以C-吾. 15.解析 由于△ABC为锐角三角形, 则A,B,ce(o,). (2)a=2beos C-26x}-+6-△+- 2ab <B_ 故?-c2-0,即b-c, 所以△ABC是等腰三角形 即0<A-2B<, 所以B”. 9. BD 设a+b-5k,b+c-6k,a+c-7k,解得a-3k,b-2 $ c=4,故sinA:sinB·sinC=a:b:c=3:2:4,故A 0<C--3B 错误,B正确.c>ab,'C为最大内角,cosC 2ab 由正弦定理得号-sinA_sin2B_ -2cosB(2,③). 2·3·2h sin B sinB 错误,D正确。 故的取值范围是(②,③). 10.ABD 由B-,AB·BC=|AB ·|BC cos(-B=$$$ 余弦定理 学业评价(二) 一2,可得ac=4,故A正确;由正弦定理和sinA十sinC一 2sinB,可得a十c-2b, 1.C 由余弦定理,得 由余弦定理,可得b^2}=a^{}十c*-2accosB=(a十c)^}-$ 2,所以 2bc 2bc 3ac-462-3ac-462-12. A-120*. 解得b一2,a十c一4,故B正确,C错误;由正弦定理,可得 2.ABD 因为c<a十b, ,故D 3 2ab 正确. 11.ABC 所以C是锐角. 因为a2-b十bc,由正弦定理,可得sin^{}A一 又因为abc,所以C为最大的角, sin^{}B十sinBsinC,即A正确; 所以C60{}故选A,B,D. 又由a}-b2}+bc=b2}+c2-2bccos A,可得b=c-2bcos A 3.C a·b:c=3:4:6,不妨设a-3k,b=4h,c-6k,b>0$ ,即c一b(1+2cosA),所以B正确;由b-c-2bcosA可 由余弦定 cos A-6-+16^+36^ - 943. 得sin B=sin(A+B)-2sin Bcos A=sin Acos B- 2c 48^{ sin BcosA=sin(A-B),所以A=2B或B+A-B=x 4.C 在△ABC中,由(a十b)②-c*-ab,得a*十b}-c2 (舍),故C正确;由以上推导可知,A-2B-a^{}一h^{}十bc;$ 所以△ABC可能为锐角三角形,如;A-80{,B-40{},C- 2ab 60{*.,所以D错误;故选ABC C<180*,所以C-120{。 12.解析 因为△ABC的面积s-ah -bhn-chc 则a:b-5:4,b:c=6:5,故a·b:c-15:12:10 4e nA#,岁以 一 显然角A为最大角,不妨设c-l0k(b>0),则a-15k,b- 12, 62+-a2} 由余 弦 定 理 得,cos A= 学业评价(三) 2bc 正弦定理与余弦定理的应用 144+100-225^}19 240 1.CD 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形,故A 240{ 00 错误. 答案 两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求 13.解析(1)由余弦定理可得 出,故B错误,C,D正确。 B$$-a^}-6}+c2-2bccosA-4+1-2 x2x1x cos120 2.AB 如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC-3, 7,则B_-7.cos B*+-7+4-1-57 乙ABC-30*, 2ac 2×2X714' SAo (2)由三角形面积公式可得 S△AcD 1×ABXADXsin 9o0* 由余弦定理得,AC*=AB^{}+BC}-2AB·BC·$ cos ABC. --4. 2XACxADxsin3o* 即(③)-x+3-2x·3·cos 30. 则S-0s(x1sin10)- '.-3③r+6-0.解得x-2③或x-、③ 3.C.sin75*-sin(45*+30*) =sin 45^cos 30+cos 45'sin 30*V6+2. (2A) 即2 025x cos Asin B+cos Bsin A cos C 在△ABC中, ACB-30*, BAC-45*, sin Asin B sinC' 故2025×sin(A+B)_cosC. sin Asin BsinC' .BC-ABsin.4#-×60(6-、) 即2025xsinCcosC sin Asin BsinC' sin30* -120(3-1)(m). 所以2025xsinC sin AsinB-cos C, 4.D 依题意可得如下图形, D 2ab 即4051c*-a+6}, 15.解析(1).:A+B-3C, ..n-C-3C,即C-. 又2sin(A-C)=sin B-sin(A+C): '2sin Acos C-2cos Asin C-sin Acos C+cos Asin C, 在△ABC中, BAC-30*, ACB-75^{*-30*=45^*,AB=$$ '.sin Acos C-3cos Asin C. 20. ..sinA-3cosA. 即tanA-3,所以0<A<, BC .sinA-3-3V10 10* 10 10v2, 10 (2)由(1)知,cosA-1 在Rt△BCD中,DBC-30*, 1010 由 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 所以CD=BC·tan 30*=10、v2x310、6 ##(3#0) -# _b 3 $.解析 因为 MAN= BAN=30{, ABM-60^{*},可得$$ △ABM是等边三角形,BM一2千米,记直线AN与直线 5x25 可得6-5×-210 B$M的交点为O,AOB-180{*-BAN-ABM-90$,$ # 设AB边上的高为h. :AB·h-AB·AC·sinA, .-6 sin A-2103T0-6. 10 所以AN1BM,O为BM的中点,所以△BMN为等腰三 即AB边上的高为6. 角形, 28