学业评价(四-五) 复数的概念 复数的几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

学业评价(四) 复数的概念 10.复数4-3a-ai与a^{}+4ai相等,则实数a的 [必备知识·基础巩固] 值为 C ) A.1 1.(2024·安徽芜湖高一期中)若复数(a一1)十 B.1或-4 C.-4 ( ) (a一1)i(aER)是实数,则a等于 D.0或-4 A.1 B.-1 11.已知m,néR,z.=-3-4i,。=(n-3m-1)+$ D.不存在 C.士1 (n-m-6)i,且z-z,则m 2.若2+ai-b-i.其中a,bER,i是虚数单位,则复 n-___. 数。一a十i的虚部为 ) 12.已知x②-y{+2xyi-2i(其中x>0),则实数x. C.2i A.-i B-1 D.2 y的值分别为 3.(多选题)已知复数。三x十yi,(x,yER),则下列 13.已知复数z=4-n+(m-2)i,z。=+2sin+ 结论正确的是 ) (cosθ一2)i(其中i是虚数单位,m,,0ER) A.;的实部是x (1)若。 为纯虚数,求实数n的值; B.~的虚部是yi (2)若z三2,求实数入的取值范围. C.若x-1+2i,则x-1,y-2 D.当x一0且y关0时,:是纯虚数 4.复数z=n(m-1)+(n}-1)i为纯虚数,则实数 n的值为 A.1 C.一1 B.0 D.0或1 5.若x^{-3x-2+(x^*}+2x)i>2,则实数x的集合 6.已知i是虚数单位,给出下列命题; ①若aER,则(a+1)i是纯虚数; [核心价值·探索创新 ②两个虚数不能比较大小; ③若a,bER,且a>b,则bi}>a^{。 14.已知关于x的方程x*}+(m+2i)x+2十2i=0(m 其中,正确命题的序号是 ER)有实根n,且。一m十ni,则复数;等于 7.如果(n{}-1)+(n{}-2m)i>1,则实数n的值为 -~_ ) A.3十i B.3-i 8.关于x的方程x*+(2a-i)x-ai十1=0有实根, C.-3-i D.-3十i 求实数a的值. 15.已知集合M=((十3)十(-1)i.8 .集合N 3i.(-1)+(+2)i),且MON写M,MON ,求整数a,的值 [关键能力·综合提升] 9.(多选题)若关于x的方程3x- --2x^{②)i有实根,则实数a可以等于 A.11 C ·数学·必修 第四册(配BJB版) 学业评价(五) 复数的几何意义 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 9.(多选题)设 -(2^}+5t-3)+(t*+2t+2)i,E R,则以下结论中不正确的是 ( 的点位于 ( _ A.对应的点在第一象限 A.第一象限 B.第二象限 B.。一定不是纯虚数 C.第三象限 D.第四象限 C.对应的点在实轴上方 2.在复平面内,若复数;对应的点的坐标为(1,2), D.;一定是实数 则三 ( 10.设复数;满足一i一1,在复平面内对应的点 A.2十i B.2-i 为(x.y),则 ) C.1+2i D.1-2i A.(x+1)+v-1 B.(x-1)*+=1 3.设复数;在复平面内对应的点为(0,a),若z= C.x*十(y-1)-1 D.x十(y+1)-1 2,则a一 ( ) 11.(多选题)下列说法正确的是 A.2i B./2i A.若复数,。满足。>,则一定有一0 D.士② C.士2 B.若复数z,z。满足-0,则一定有 4.在复平面内,复数;对应的点在第四象限,对应向 >。 量的模为3,且实部为/5,则复数。等于( C.若复数z一a十bi(a,bER),则:为纯虚数的 充要条件是a一0 A.3-5i B./5-3i D.若复数;满足。一2,则复数;在复平面内 C.5+2i D.5-2i 对应的点的集合是以坐标原点O为圆心,以 2为半径的圆 ## 象限. 12.已知复数=x十yi(x,yER),且-2=3 6.复数4+3i与一2一5i分别表示向量OA与OB,则 则-的最大值为 向量AB表示的复数是 13.已知n为实数,复数s三(n{}+5m十6)十(m^} 2m-15)i. 7.已知复数。的虚部为③,在复平面内它对应的向 量的模为2,且相应的点在第一象限,则这个复数 (1)当复数;为纯虚数时,求n的值; (2)设复数3在复平面内对应的点的坐标为 (x,y),若满足x一y十7>0,求n的取值范围 8.在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数是 3十i,点A关于虚轴的对称点为B,求向量OB对 应的复数. 10 -2+3i. [核心价值·探索创新] r 14.已知x为实数,复数。=x一2十(x十2)i. (1)试比较z与z的大小; (1)当x为何值时,复数;的模最小? (2)设C且;在复平面内对应的点为Z,则满 (2)当复数;的模最小时,复数;在复平面内对 足<<z的点乙组成的集合是什么 应的点乙在一次函数y三一nx十n的图象上,其 图形? 7n m,n的值. 11@ a+b+c=6,a+b-c=ab, 所以△ABC周长为a+b+c=6+4√5sinB+ 解得a=b=c=2. 所以△ABC的面积S=absin C=5 4(停mB-血B)=6+45sn(B+号)， 14.解析(1)由题意可得 因为0<B<号，则晋<B+子<行， sinA-sinB=3sin Asin C-sinC, 根据正弦定理可得a2-=√3ac-c2, 所以<n(B+号)<1， 所以+a-B-5, 故12<6+43sin(B+号)≤6+43. ac 又根据余弦定理可得cosB-c+a-公-E 故△ABC周长的取值范图为(12,6+4√3]. 2ac 2" 学业评价（四）复数的概念 因为B∈0,0，所以B=看 1.A因为(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是实数，所以a-1=0, ()②因为Sa=之ab-2)=2 sin B, 解得a=1,故选A. 2.D国为2十ai-b-i,故b-2,故复数x-a十bi的虚部为 即6=0， 2,故选D. 3.ACD复数z=x十yi,(x,y∈R), 由正孩定理可得s如B=号如C, 则z的实部是x,虚部为y,故A正确，B错误； 所以nC-号血B=子 若x=x十yi=1十2i,则x=1,y=2,故C正确； 当x=0且y≠0时，x=yi是纯虚数，故D正确。 15.(1)解析由题意a-b_sinC-sinB 4B因为：为纯虚数，所以mm)=0→m=0,故选B c sin A+sin B 1m2-1≠0， 由正弦定理可得二b=一b, c atb* 5.解析由题意得 x+2x=0,。x=-2. 1x2-3x-2>2, 即(a-b)(a+b)=c(c-b),∴.c2+b-a2=bc, 放sA-牛E=名 答案{-2) 6.解析对于复数a+bi(a,b∈R), 2bc 当a=0且b≠0时为纯虚数. 而A∈(0，，故A=子 在①中，若a=-1, 则(a十1)i不是纯虚数，故①错误； (2)证明因为3c=3b十√3a,由正弦定理可得3sinC= 显然②正确.因为产=-1，且a>b, 3sin B+3sin A, 所以bi>ai,故③正确. 即3sin(g-B）-3snB=sn吾-是， 答案②③ 所以33 m2-2m=0解得m=2. 7,解析由题意得m-1>1, 答案2 即y5cosB-sinB=lsin(弩-B）-号 :8.解析设x为方程的实极，则x6十(2a-i)x,一ai十1=0， 所以x6+2ax十1-(x十a)i=0, 因为B∈0,0吾-B∈(（-要，号） 所以/云+2a+1=0, 则-B=吾B=晋 -(x。十a)=0, 所以(-a)2-2a2+1=0,得a2=1,所以a=士1. 故C----登 9.AB设方程的实根为x=m, 故在R△ABC中，b=之c,心c=2h. 则3m-受m-1=10-m-2m2)i, 16.解析(1)由正弦定理可得a2-b-c2=bc, 3m2-受m-1=0, 10-m-2m2=0. 2bc :AE(0,x)A= 解得a=1成a=一召故选A,B (②周为A+B十C=,A-要，所以B+C=号，故C= 10.C 由题意知 4-3a=d·解得a=-4 -a2=4a, ,n2-3m-1=-3, 若-B(O<B<晋)片 :11.解析：=心-m-6=-4, 6 由正孩定理得nA sin B sin C sin2云=4y5, 条得低2衣低2甲m=2=士2 答案2士2 所以b=4V3sinB, 02,解析2y+2x1=21,2,0”解得 c=4v3sinC=43sin(等-B） =45(停cosB-号sinB 合) 1y=1. 答案1,1 32 13.解析(1)为纯虚数，则 14一m2=0, 8.解析向量OA对应的复数是3+i,即A(3,1), m-2≠0， 解得m=一2. 则点A关于虚轴的对称点为B(-3,1),则向量OB对应的 复数是一3+i 4-m2=λ+2sin0, (2)由1=，得 9.ABD设z=a十bi(a,b∈R), m-2=c080-2, .'.=4-cos20-2sin 0=sin'0-2sin 0+3 =2+5-3=2(+)）广-想 则 =(sin0-1)2+2. b=2+21+2=(t+1)2+1, -1≤sin0≤1， ∴.当sin0=1时，入mn=2: 故a≥-智6>0， 当sin0=-1时，dmx=6. 只有C正确. ∴实数入的取值范国是[2,6] :10.C由之一i=1知复数z在复平面内对应的点的轨迹是 14.B由题意，知n2+(m+2i)n十2+2i=0,即n2+mn十2+ 以(0,1)为國心，1为半径的圆，故选C. (2n+2)i=0, 11.AD若复数名1名满足名1>，则名1是实数，所以 所以十22-0释3 一2>0，故A正确；取1=2十i,2=1十i,满足1一1> n=-1, 0,但1，不能比较大小，故B错误：若复数=a十i(a, 所以x=3-i. b∈R),则x为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故C错 15.解析若MnN={3i},则(a+3)十(b2-1)i=3i,即a十 误；若复数之满足z=2,则复数之在复平面内对应的点 3=0且6-1=3，得a=-3,b=土2. 的集合是以坐标原，点O为圆心，以2为半径的圆，故D 当a=一3，b=一2时， 正确. M={3i,8},N=(3i,8},M∩N=M,不合题意， 12.解析1z一2= 当a=-3,b=2时，M={3i,8},V={3i,8十4i}, 符合题意· √(x-2)2+y=3, .(x-2)2+y2=3, ∴.a=-3,b=2. 若M∩N={8),则8=(a2-1)+(b+2)i, 即a2-1=8且b+2=0,得a=士3，b=-2. 由图可（经）-反 当a=一3，b=一2时，不合题意； 答案√3 当a=3,b=-2时，M={6+3i,8},N={3i,8},符合：13.解析 (1)由题意得 m2+5m十6=0， m2-2m-15≠0， 解得 题意。 ∴a=3,b=-2.若MnN={(a+3)+(6-1)i}={(a2-1) m=一2或m=一3，所以m=一2. +(b+2)i}, m≠5且m≠一3， /a+3=a2-1/a2-a-4=0 (2)复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),满足工一 则8-1=6+2即8-6-3=01 y+7>0, 此方程组无整数解。 即(m2+5m+6)-(m2-2m-15)+7>0, 综上可得a=-3,b=2或a=3,b=-2. 解得m>一4，所以m的取值范围为（一4，十∞）。 14.解析(1)由题意得|x|=√(x-2)2+(x+2)= 学业评价（五）复数的几何意义 √2x十8≥2√2，显然当x=0时，复数z的模最小，最小 1.D依题意复数对应的点的坐标为（合，一合），对应的坐 值为22. (2)由(1)知当x=0时，复数之的模最小， 标在第四象限，故选D. 则Z(一2,2). 2.D由题意可得x=1+2i,所以x=1一2i. 因为点Z在一次函数y=一mx十n的图象上， 3.C因为复数x在复平面内对应的点为(0，a),所以g=ai, 所以2m十n=2. 因为lz=2,所以√a=2,解得a=土2. 又mn>0, 4.D设x=V5+6i(b<0),则x2=(5)2+6=32,解得b= -2,所以z=5-2i. 所以品+日-（品+）(+）=++>号 5解折由题意，复发eo晋+n晋=一号+，所以复 十反.当且仅当贸=品 6 即n2=2m时等号成立 数o晋+im晋在复牛面内对应的点(-，）位于 又2m+n=2且mn>0,所以当m=2-√2，n=2√2- 第二象限 2时，0+是取最小位受+厄 答案二 6.解析”复数4+3i与-2-5i分别表示向量0A与0B, 15.解析 (1):11-√(sim)+(-os吾） .OA-(4,3),OB-(-2,-5),又AB-OB-OA-(-2, -5)-(4,3)=(-6,-8), √（停+(--，=2+=， .向量AB表示的复数是-6-81. 答案-6一8i 层<压，< 7.解析依题意，设复数z=x十√5i,x>0,则|x|= (2②)1≤≤l,得≤1≤， √2+(W3)=2,解得x=士1，而x>0,则x=1,所以x= 1+√5i. 不等式写<1S丽等价于 ≥海， 答案1+√3i |z≤13， 33 ⑧ :满足≤√3的点Z组成的集合是图心在原点，半径 由向量减法的坐标运算可得向量BA=OA-OB=(2+3, 为，丽的圈及其内部（包括边界），而引：≥写的点Z组减 -3-2)=(5,-5), 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的 的条合是国心在原点，丰径为罗的国及共外事《包括边 复数是5-5i. :10.CD由x-4il=|z+2, 界)， 得|x+(y-4)il=|x+2+yi, ∴满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界）. 所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3, 学业评价（六）复数的加法与减法 ∴2十4"=2+2≥2·√2+西=2√2=42， 1.B图为x+32i=4+i,所以x=4+i-(3一2)=1+3i. : 当且仅当工=2y=号时取到最小值4厄 2.C因为名=2+i,2=1-2i, 所以x=4-1=(1-2i)-(2+i)=-1-31. :11.解析依题意可得0A=(2,1),0B=(-1,1),所以1= 所以复数x在复平面内对应的点为（一1，一3），位于第三 2+i,z2=-1+i, 象限， 所以总+=(2+iD+(-1+i)=1+2i, 3.B设x=a+bi(a,b∈R),则g=a-bi.由3(a一bi)-2(a+ 所以|1十21=√+2=5. bi)=2-5i得a-5bi=2-5i, 答案√5 则/a=2, 1-5b=-5, 所以a=2,b=1,所以x=2+i. 12.解析|1-=|(cos0-sin)+2il -√/(cos0-sin)2+4-√5-2sin0cos0 4.D由题图可知，P+Q庐=0，P+O-0=0, =√5-sin29, .81十1一3=0. 5.解析z=1表示之对应的点是单位国上的点.12一2il 当sin20=-1时，名一之取得最大值v6, 的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离，所以 当sin20=1时，z-取得最小值2. 最小距离为2一1=1，最大距离为2十1=3.所以|z一2i川的 答案√62 取值范国为[1,3]. 13.解析设x=x十yi(x,y∈R), 答案[1,3] 则叶是=x十计 x十y 6.解析设z=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi, 因为3x+x=1+i,所以3(a十bi)+a-bi=1+i, =+南+（中）归 x 4a+2i=-1+i,所以a1,即 4· +ER0. y 2b=1, 1 6= 2 解得y=0成x2+y2=1. 所以=+ 1 又：-=x+对-子=(x-号)十i是纯虚数， 答案十 1 Z 4 =0z=代入2+少=1中， 7.解析设1=a十bi,=c十di,a,b,c,d∈R,z1十z2=(a十 y≠0， c)+(b+d)i, 解得=土平复数=士 由十=5十i,得a十二3·由1=≤=2，得a十14.ABC由题得，复数=2-2i在复平面内对应的点为 b+d=1, 6=c2+d2=4, P1(2,-2),故A正确； 所以(a+c)2+(b+d)2=a2+b+c2+d+2(ac+bd)= 8+2(ac+bd)=4,解得ac+bd=一2， 所以|z1一|=|(a-c)+(b-d)il =√/(a-c)+(b-d) =√a+b+c2+d-2(ac+bd) =/8-2X(-2)=2√5. 答案2√3 8解折原式=(2+）-（合+2）=名-吾 因为复数名=2一2i,所以复数之=2十2i,故B正确： 设2=x十yi(x,y∈R),且其在复平面内对应的点为P, (2)(3+2i)+(W5-2)i=3+(2+√5-2)i=3+√3， 则|2-il=|x+(y-1)i=√x+(y-1)7=1,即x2+ (3)(1+2i)+(i+)+|3+4i=1+2i+i-1+5=5+3i. (y一1)2=1，所以复数1在复平面内对应的点P:在圆 (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+iD x2+(y-1)2=1上，其图心为C(0,1),半径r=1,|- =[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]1 |表示的是复数1和2在复平面内对应的两点之间的 =8+2i. 距离，即|PP2l. 9.B向量OA,OB对应的复数分别记作名1=2-3i,2=一3 而|PPz|的最大值是|PC+r=√(2-0)+(-2-1) +2i, +1=√13+1，|PP2|的最小值是|PC|-r=√/13-1， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA=(2, ! 即|2一x|的最大值为√3十1，最小值为√3一1，故C -3),0B=(-3,2), 正确，D错误. 34