学业评价(十一) 棱锥与棱台-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

学业评价（十一） 棱锥与棱台 [必备知识·基础巩固] 8.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么 几何体？ 1.(多选题)关于空间几何体的结构特征，下列说法正 确的是 ( A.棱柱的侧棱长都相等 B.四棱锥有五个顶点 C.三棱台的上，下底面是相似的三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 2.下面图形中，为棱锥的是 ① ③ A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①② 3.底面边长为10，高为5的正四棱锥的侧面积是 A.100 B.1002 C.1003 D.25√2 4.正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm,那么 它的中截面（过各侧棱中点的截面）面积为 ( A.2 cm2 B.16 cm C.25 cm D.4 cm 5.将一个边长分别是2cm和5cm,两邻边夹角为 60的平行四边形绕其5cm边所在直线旋转一周 形成的几何体的构成为 6.如图，正三棱锥ABCD中，∠BAD=20°，侧棱长 为4，过点C的平面与侧棱AB,AD相交于B,, [关键能力·综合提升] D,,则△CBD,的周长的最小值为 9.一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥必不 是 () A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 : 10.下列命题中正确的个数是 D ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用 7.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧 一个平面去截棱锥便可得到棱台：③仅有一组 棱长为2，则其高为 对面平行的五面体是棱台：④有一个面是多边 A司 B.1 形，其余各面是三角形的几何体是棱锥。 C.w⑤ D.V13 A.0 B.1 2 : C.2 D.3 23 。数学·必修第四册（配RJB版）》 11.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边 [核心价值·探索创新] 长为a时，该三棱锥的表面积是 ( A+。 o 14.如果棱台的两底面积分别是S,S,中截面的面 积是S。,那么 ( c8, D. A.2S=5+S 12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的 B.S=√Ss 高与截得棱台的原棱锥的高的比值是 C.2S。=S+S 13.如图所示，正六棱锥SABCDEF D.So=2S'S 15.如图，在边长为2a的正方形AB 的底面周长为24，H是BC的 中点，O是底面的中心， CD中，E,F分别为AB,BC的中 ∠SHO=60°，求： 点，沿图中虚线将3个三角形折 (1)棱锥的高： 起，使点A,B,C重合，重合后记 为点P.问： (2)斜高： (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (3)侧棱长. (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有 何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 24@© 要是一个四边形就可以，而平行六面体则要求底面是一个： 12a2十48.也可拼成底面形状如图⑤⑥的三棱柱.由拼成 平行四边形，故A不正确：直平行六面体是在平行六面体的 四棱柱情况知，图⑤⑥时的表面积不是最小的。 基础上，对侧棱与底面有了垂直的要求，但底面仍可以是平 为使S2<S,需24a2+28<12a2+48, 行四边形，故C不正确：底面是矩形的四棱柱的侧棱不一定 垂直底面，故D不正确，故选B. 解得0<a<⑤ 3 10.B沿侧棱BB,将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形 BBB,'B'(如图). 即a的取值范国为(0， B 由侧而展开图可知，当B,M,C三点共线时，从，点B经过 点M到达C1的路线最短. 所以最短路线长为BC=√4+2=25 11.C在平面AB1C,D1上的四条棱中有AB1,BC1,在平 面ABCD上的四条棱中有AD,CD,上下两底面之间的四 条棱中，有AA1,CC,,故与BD1既不相交又不平行的棱 ④ 共有6条. 12.C如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面 学业评价（十一）棱锥与棱台 AA1CC为平行四边形，侧面BBCC为矩形. :1.ACD根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点 2.C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥， ③不是棱锥，④是棱锥，故选C 3.B正四棱锥的斜高为√52+52=5√2，则其侧面积是4X B ×10x5=102 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a, 4.B 由上，下底面边长知，中藏面边长为斗5-4m, ∴.BC=√2a, 2 ∴Sec,岛=√2a·b=√2ab ∴.中戴面面积为16cm2 ∠AAB1=∠AAC,=60°，AB=AC=a, 5.解析如图，过顶点作垂线，可以得 到一个直角三角形和一个矩形，绕 六点B到直线AA,的距离为asin60°= 2a, 轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥。 答案一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 S.awM.cc=SaM,鸟=号ab,S=2X号。 3 :6.解析 将正三棱锥A-BCD沿AC剪开可得如下图形， √2ab=(3+√2)ah. 13.解析根据展开图，折叠得到正方体，如图所示， D D B :∠BAD=20°，即∠CAC=60°，又△CBD的周长为 CD +D B:+B C', ∴要使△CBD1的周长最小，则C,D,B,C共线，即 AB+BC+CD+DA=√2+√6+√5+√5=√W2+2√5+√6， CD1+D1B+B,C=CC,又正三棱锥A-BCD侧棱长为 即折线ABCDA的长为√2+2√5+√6. 4,△CAC是等边三角形，.(CD1十DB,十B,C)m=4, 14.D正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每 答案4 个平面可得到正五棱柱的2条对角线，五个平面共可得 :7.解析如图，延长正三棱台的三条棱 到10条对角线，故选D. AA',BB,CC,交于点P,因为AB= 15.解析若拼成一个四棱柱，有以下三种情况：以含3a边 BC=AC=6,A'B'=B'C'=A'C'=3, 的侧面相接，新四棱柱底面如图①：以含4a边的侧面相 则PA=PB=PC=2AA'=4,作PO 接，新四棱柱底面如图②；以含5a边的侧面相接，新四棱 ⊥底而ABC于O,连接BO,则BO= 柱的底面如图③④. 相接的面积不在袁面积中，故相接面的面积越大，得到的 AB=23,故P0=√PB-OB= 表而积越小， 所以上迷三种情况中以含5a边的侧面相接时得到的四 2,故正三棱台ABC-A'BC'的高为 棱柱的表面积最小，此时表面积为S2-4a×3a×2十2X PO =1. 2.(4a+3a)=24a2+28. 答案1 若拼成一个三棱柱，则可将原三棱柱的底面相接，此时表：8，解析图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五 西款为S=2X号×3a×4a+2×名(3a+4a+5a)- 边形，符合棱柱特点：图②中，有5个三角形，且具有共同的 a 顶点，还有一个五边形，符合棱维特点：图③中，有3个梯形， 40 @ 且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合梭！ 台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示.所以 z) 根据相似比的性质可得 ①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. a+2r_ S 可得 r_5. ,消去r,可得2√S=5+√S,故 a Vs ① ② ③ 选A 9.D正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边 :15.解析 (1)如图，折起后形成的几何体是三棱维。 三角形构成.设每个等边三角形的边长为r,正六棱锥的高 P(A.B.C) 为h,正六棱锥的侧棱长为l.由正六校锥的高、底面等边三 角形的边、侧棱构成直角三角形得h2十2=严，故侧棱长 L和底面正六边形的边长r不可能相等. 10.A①中，由五个面图成的多面体可以是四棱维，所以不 正确：②中，用一个平行于底面的平面戴棱锥才能得到一 B 个棱台：③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱 柱：①中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何 (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形， 体不一定是棱锥，因此选A △PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角 11.A设正三棱维的侧棱长为b,由条件知26=a2,所以该 三角形， 1 三棱维的表面教为。+3x号×宫×4-8计。. (3)S△Er=2a, 4 12.解析设棱台的高为h,藏得棱台的原棱锥的高为H,以 S△DPn=S△DpE=2 ×2a×a=a, 四棱台为例，如图所示 S△Er=S2BuCD-SAFE-SApr-S△mE=(2a)2- c2-d2-a2=是d 学业评价（十二）旋转体 1.A(6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体. 2.C根据棱柱的性质可知A正确：当以直角三角形的斜边 所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体， 故B正确：正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等 的等腰三角形，故C错误； 由△S0,C∽△S0C可得，S0 棱台是用平行于底面的平面截棱维而得，故侧校所在直线 O℃ 必交于一点，D正确， 所以 O -,()- 3.CA.因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体不是圆 OC S℉底岳 锥，是两个圆锥的组合体，故错误：B.夹在圆柱的两个戴面 1 间的几何体不一定是一个旋转体，故错误：C.正确：D.通过 圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误。 答案 4B由题意知，2×2h=5×2,小=受会=号，故 13.解析：正六棱维的底面周长为24， 选B. ,“。正六棱锥的底面边长为4. 5.解析 一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是 在正六棱雏S-ABCDEF中， 凰柱」 ,H是BC的中点，，SH⊥BC 答案 圆柱 (1)连接OB, 6.解析设圆锥的母线长为， 在R1△BOH中，0H-号BC-2E 由题知4+2d=10x,解得1=3，PM=名，#圆维侧面展 在Rt△SOH中， 开如围，因为2T=红，所以∠APB= 31 :∠SH0=60°， ∴.棱维的高SO=OH·tan60°=6. 所以Ar=PA+PM-2PA·PMcos=9+是-2X (2)在Rt△SOH中，斜高SH=2OH=4√3 (3)在Rt△SOB中，SO=6,OB=BC=4, 3x是×(-）-是，所以AM-3 2 .侧棱长SB=√SO+OB=2√13. 14.A不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r,上部三棱维 的高为a, 答案 3√7 2 41