学业评价(十四) 平面的基本事实与推论-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 学业评价（十四） 平面的基本事实与推论 [必备知识·基础巩固] 8.如图所示，已知直线a∥b∥c, l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求 1.(多选题)有下列四个命题，其中假命题的为( 证：直线a,b,c和l共面. A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面 重合 B.两条直线可以确定一个平面 C.若M∈a.M∈B,a∩3=l,则M∈l D.空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平 面内 2.两个平面若有三个公共点，则这两个平面( A.相交 B.重合 C.相交或重合 D.以上都不对 3.给出下列命题（设a,B表示平面，1表示直线，A, B,C表示点)，其中真命题有 ( ①若A∈l,A∈a,B∈a,B∈l,则lCa: ②A∈a,A∈3，B∈a,B∈3，则a∩3=AB: [关键能力·综合提升] ③若l史a,A∈l,则A任a: 9.(多选题)如图所示，在正方 D ④若A,B,C∈a,A,B,C∈3，且A,B,C不共线， ! 体ABCD-A1B,CD1中，OA 则a与3重合. 为DB的中点，直线A,C交 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 平面C,BD于点M,则下列 4.(多选题)下列说法正确的是 结论正确的是 A.三个平面最多可以把空间分成八部分 A.C,,M,O三点共线 B.若直线aC平面a,直线bC平面B,则“a与b相 B.C1,M,O,C四点共面 交”与“α与B相交”等价 C.C,,O,A,M四点共面 C.若a∩3=l,直线aC平面a,直线bC平面3，且 D.D,D,O,M四点共面 a∩b=P,则P∈l 10.(多选题)给出下列四个命题，其中正确的是 D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面 ( 5.给出下列判断： A,空间四点共面，则其中必有三点共线 ①一条直线和一点确定一个平面； B.空间四点不共面，则其中任何三点不共线 ②三角形和梯形一定是平面图形： C.空间四点中存在三点共线，则此四点共面 ③三条互相平行的直线一定共面. D.空间四点中任何三点不共线，则此四点不 其中正确的是 ,(写出所有正确判断的序号) 共面 6.空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内， 11.在正方体ABCD-A,BC,D,中，M,N分别是 但没有任何三点共线，这样的五个点最多可以确 定 个平面. 棱DD,和BB,上的点，MD=号DD,NB= 7.给出下列说法： 专BB,那么正方体中过M,N,G的载面图 ①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的 两个端点也在这个平面内； 形是 A.三角形 B.四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形： ③两组对边分别平行的四边形是平行四边形： C.五边形 D.六边形 12.如图，已知D,E是△ABC的 ④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第 四条边也在这个平面内； 边AC,BC上的点，平面a经过 ⑤点A在平面a外，点A和平面a内的任意一条 D,E两点，若直线AB与平面 直线都不共面， a的交点是P,则点P与直线 其中所有正确说法的序号是 DE的位置关系是 32 13.如图所示，设不全等的△ABC与△AB,C,不在：15.如图所示，在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中， 同一个平面内，且AB∥A,B,,BC∥BC,CA∥ E,F,G,H分别为棱AB,B,C,AB,BC的中 CA,,求证：AA,BB,CC三线共点. 点.求证： D G (1)E,F,G,H四点共面： (2)GE,FH,BB,相交于一点. [核心价值·探索创新] 14.如图所示，正方体ABCD D A,B,CD的棱长为1，P为 B A BC的中点，Q为线段CC,上 的动点，过点A,P,Q的平面 截该正方体所得的截面记为 B S,则下列命题正确的是 (写出所有正 确命题的编号) ①当0<CQ<2时.5为四边形， ②当CQ=2时，S为等腰梯形： ③当CQ= 时，S与C,D,的交点R满足CR 1 =3 ④当子<CQ<1时，S为六边形： 回当CQ-1时，S的面积为。 3310(2③-3) 即直线a与点C同在平面内。 所以)一 由公理2的推论1,可得平面a和平面3重合,则cCa. 'a,bc/共面. 证法二(纳入平面法) (2)由题意,(1)及几何知识得,正三校柱的表面积为 .a/b.,a,b确定一个平面a. 163. :AEa.BEb..'Aa,Bea. 又A/.B/..'./Ca. 设A.D=,则AD-3x.AB=10-2v3 则a,b,/都在平面a内, ③ ·表面积S=3AD·DD+ A.B-3x. 即心在a,/确定的平面内。 同理可证c在a,/确定的平面内. (10-2v3c)+3 (10-2v3x)-16v3, .过a与/只能确定一个平面, '.a,b.c./共面于a,/确定的平面. 解得-③, 9.ABC 在题图中,连接AC.,AC. 'AD-/3,AD-/3r-3.AB-10-23-4 则ACOBD-O. 又ACO平面C.BD-M .三点C,M,O在平面C.BD与平面ACC.A. 的交线上, 12cm{. 即C,M,O三点共线. 学业评价(十四) 平面的基本事实与推论 'A,B.C均正确,D不正确 10.BC 在A中,由正方形的四个顶点共面,知A错误;在B 1. ABD A错误,如果两个平面有三个公共点,当三点不共 中,由基本事实2及推论知空间四点不共面,则其中任何 线时,这两个平面重合; 三点不共线,故B正确;在C中,由基本事实2及推论知 B错误,两条直线可以确定一个平面也可以异面; 空间四点中存在三点共线,则此四点共面,故C正确;在 C正确,若Ma,M3.aO③-/,则Ml(由基本性质3可 D中,由正方形的四个项点共面,知D错误 得); 11.C 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的 D错误,空间中,相交于同一点的三条直线可能在同一平 交点,再确定截面与几何体的校的交点.设直线C.M,CD 面内,也可能不在同一平面内。 相交于点E,直线C.N.CB相交于点F,连接EF交直线 2.C 若这三个公共点在一条直线上,则这两个平面相交;若 AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C.MPQN为所 这三个公共点不共线,则这两个平面重合,故选C. 求截面图形. 3.C 在①中,若A/,Aa,Ba,B/,则由基本事实1知 |Ca,故①正确:在②中,Aa,A,Ba,B,则由基本 事实3知aO-AB,故②正确;在③中,若/a,A/,则A a或Aéa,故③错误;在④中,若A,B,Ca,A,B.CE{ 且A,B,C不共线,则由基本事实2得。与8重合,故④正 确,故选C. 4.AC 对于A,正确;对于B,“a与B相交”推不出“a与b相 12.解析 因为PEAB,ABC平面ABC, 交”,也可能a/b,故B错误;对于C,正确;对于D,正方体 所以PE平面ABC. 的例校任意两条都共面,但这4条侧校却不共面,故D 错误。 又PE。,平面ABCO平面a-DE. 所以P直线DE. 5.解析 一条直线与直线外一点能确定一个平面,所以①不 答案 P直线DE 正确;②正确;三条互相平行的直线不一定共面,例如三梭 13.证明 不妨设ABAB,则四边形AA.B.B为梯形, 柱的三条侧,所以③不正确. 答案② '.AA 与BB 相交,设其交点为S,则SAA,SEBB 6.解析。 .BB.C平面BCCB..'SE平面BCCB. 将其中4点放在同一平面。上,另一点在平面a外, 同理可证,SE平面ACC.A....点S在平面BCC.B 与平 则从4点中任取两点,共有6种方法,再与第5个点组成一 个平面,所以共有6十1一7个平面. 面ACCA的交线上. 答案7 即SECC...AA.BB.CC三线共点 7.解析 ①中线段可以与平面相交;②中的四边形可以是空 14.解析 连接PQ.AP. 间四边形:③中平行的对边能确定一个平面,所以是平行 对于①,当0<CQ时,如图(1)。 四边形;④中由四边形的三条边在同一个平面内,可知第 在平面AA.D.D内,过点A作AE/PQ,交DD 于点E. 四条边的两个端点也在这个平面内,所以第四条边在这个 平面内;中点A和平面。内的任意一条直线都能确定一 连接EQ,则S是四边形APQE. 个平面。 答案 ③④ 8.证明 证法一(辅助平面法) ,a/.a,b确定一个平面a. .AEa,Beb..'Aa.Bea. 又A/.B1.../C。. .cE/..'.cEa. 对于②,当CQ-时,如图(2).连接DQ.D.A.BC,显 '.直线a与点C同在平面a内. 又a/c..直线a,c确定一个平面3. 然PQ/BC ,因为BC /AD.所以PQ//AD. .CeccC..C3. 则S是等腰梯形. 46 对于③,当CQ-3时,如图(3). :3.C 作出正四面体ABCD,如图, 过点B作BF/PQ交线段CC 的延长线于点F,则 Cr-)# 过点A作AE/BF交线段DD 的延长线于点E.则DE -,所以AE/PQ. 连接EQ交C.D.于点R, 因为BCC平面BCD,DE平面BCD,DBC,A平 易知Rt△RCQRt△RDE. 面BCD. 则CQ:DE-CR:RD =1:2. 所以AD与BC是异面直线. 故CR) 4.D 如图所示,因为E,D,F分别为AB,PA,AC的中点,可 得DE/PB,EF/BC,又因为PB BC,所以DE EF,所 对于④,当3<CQ<1时,由③易知S为五边形. 以 DEF-90{. 对于,当CQ一1时,如图(4). 同③可过点A作AE/PQ交线段DD,的延长线于点E 交A.D. 于点M,显然点M为线段A.D. 的中点,所以S 为菱形APQM,其面积为MP·AQ-xv23= ##. 综上,命题正确的是①②③. 5.解析 如图所示,因为M.N分别为CD,AD的中点,所以 答案①②③ MN/AC. 15.证明 (1)连接AC,AC,如图所示, A 心 G B 因为ABCD一AB.CD 为正四校台。 又因为AC/A'C',且AC-AC'. 所以A.C./AC, 所以MN/AC'.即MN/A'C'. 又E.F,G,H分别为校AB,BC,AB,BC的中点,所 答案 平行 以EF/AC,GH/AC 则EF/GH,所以E,F,G,H四点共面 6.解析 如图所示。 (2)因为A.C.子AC,所以EF:GH, .点M,N,P,Q分别是四条边的 所以EFHG为梯形,则EG与FH.必相交。 中点. 设EGOFH-P,因为EGC平面AA.B B. .MN/ AC.且MN-AC. 所以PE平面AABB, 1 因为FHC乎面BB.C.C 所以P平面BBC.C. 即MN//PO且MN-PO 又乎面AAB.BO乎面BB.CC=BB. ',四边形MNPQ是平行四边形. H 所以PEBB. 又.BD/MQ.ACI BD...MNMQ. 则GE,FH,BB相交于一点. '平行四边形MNPQ是矩形. 学业评价(十五) 平行直线与异面直线 答案 矩形 1.D 直线a,b与直线/都成异面直线,a与b之间并没有任 7.解析 何限制,所以直线a与b平行或异面或相交,故选D. BC/BC'. 2. D 如图①. AOB=AO B.且OA/OA..但OB与 由等角定理得 CAB- CA'B’,ACB-AC'B, O.B. 不平行,故排除A,B;如图②, AOB= A.O.B, 且OA/O.A,此时OB/O.B,故排除C.故选D. ## .B 答案 0. “B: A 8.解析 如图所示,在平面A.C. 内过点P作直线EF/ ① ② B.C,交A.B 于点E,交C.D 于点F,则直线EF即为 所求.