学业评价(十八) 直线与平面垂直-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

O数学·必修第四册（配RJB版） 学业评价（十八） 直线与平面垂直 7.如图所示，在三棱锥P-ABC中， [必备知识·基础巩固] PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上 1.(2024·北京密云高一期末)设m,n是两条不同 的一点，过点D作平面ABC的垂 的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 线DE,其中D￠PC,则DE与平面 ( PAC的位置关系是 A.若m⊥a,nCa,则m⊥n 8.如图所示，PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F B.若m∥a,n∥a,则m⊥n CF 分别为BC,CD上的点，且EF⊥AC,求证：DC C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.若ma,m⊥n,则n⊥a CE BC 2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则 这两条直线 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆有可能 3.(2024·天津河西高一期末)如图，圆柱O0中， AA'是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面 圆上一点，则 ( 04 30B A.BC⊥平面A'ACB.BC⊥平面A'AB C.AC⊥平面A'BCD.AC⊥平面A'AB : 4.(多选题)如图，已知六棱锥 P-ABCDEF的底面是正六 边形，PA⊥平面ABCD,PA =2AB,则下列结论不正确 F 的是 () A.PB⊥AD [关键能力·综合提升] B.平面PAB⊥平面PBC 9.(多选题)如图所示，PA垂直于P C.直线BC∥平面PAE ⊙O所在的平面，AB是⊙O的直 D.直线PD与平面ABCD所成的角为45° 径，C是⊙O上的一点，E,F分别 5.(2024·广东深圳高一期末)在正方体ABCD- 是点A在PB,PC上的射影，则 A1B,CD1的棱长为2，N为AB中点，M为BB1 下列结论中正确的为 ( 中点，则异面直线DN与CM所成角的余弦值为 A.AF⊥PB B.EF⊥PB C.AF⊥BC D.AE⊥BC 6.(2024·辽宁大连高一期中)若某圆锥的侧面积： 10.如图，四面体ABCD中，CD=4,AB=2,E,F分 为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角 别是AC,BD的中点，若EF⊥AB,则EF与CD 的正切值为 所成的角的大小是 () 40 [核心价值·探索创新] 14.如图所示，在正四棱锥S ABCD中，E是BC的中点， D 点P在△SCD内及其边界 上运动，并且总有PE⊥AC, 则动点P的轨迹与△SCD A.君 B平 组成的图形是 c.号 D受 11.如图所示，若斜线段AB是它 在平面a上的射影BO的2 倍，则AB与平面a所成的角 15.如图，在三棱柱ABC-A,B,C1中，侧面 B a 是 ABB1A1,ACC1A1均为正方形，AC1交A,C于 12.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C1中，已知 点O,∠BAC=90°，D为BC中点. AA1⊥平面ABC,BC=CC1,当底面AB,C1满 足条件 时，有AB1⊥BC.(注：填上你 、0 认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能： 的情况)。 (1)求证：C1A⊥平面AB1C; (2)求直线BC1与平面A,B1C所成的角 13.如图所示，在△ABC中， ∠ABC=90°，D是AC的 中点，S是△ABC所在平面 外一点，且SA=SB=SC D (1)求证：SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证：BD⊥平面SAC 41/ 12.解析因为平面ABCD/平面A.B.C.D,平面ABCDO:15.解析 .PA/平面EFGH,PAC平面PAB,平面PAB 平面PQNM-PQ. 乎面EFGH-EH...AP/EH. 平面A.BCD.O平面PQNM-MN. 同理,AP/FG,BC/EF.BC/HG. 所以MN/PQ. '.EH/FG,EF/HG. $) *.四边形EFGH为平行四边形. RV/ApPE:/Ap0 AB H: '.四边形EFGH的周长/-2(EF+FG) 又因为MN/AC.所以PQ/AC 2(AE·BC+BE·AP) ,PDDQPQ2 又因为AP一1,所以 AB &ADCDAC- 所以PQ-AC-3272、. AB AB 答案22 13.解析(1)MN/BC,理由如下 学业评价(十八) 直线与平面垂直 因为MN/平面ABCD,MNC平面PAD,平面PADO平 面ABCD-AD...MN/AD. 1.A A选项,根据线面垂直的定义可知,若na,n二a,则 又因为BC/AD..*.MN//BC nn,A选项正确. (2)当Q是PB的中点时,AQ/ B选项,若n/a,n/a,则m,n可能平行,所以B选项 平面BDE成立,理由如下. 错误。 取PE的中点F,连接QF,又Q C选项,若mIa,nn,则n可能含于平面a,所以C选项 为PB的中点..QF/BE. 错误。 QFC平面BDE,BEC平面 D选项,若n/a,nn,则n可能含于平面a,所以D选项 BDE,..QF/平面BDE, 错误. 连接AC交BD于点O,则O为 2.D 在正方体ABCD-A.BCD 中,A.A,BB与底面 AC的中点,又E是PC靠近C的一个三等分点, ABCD所成的角相等,此时两直线平行;AB,BC 与底 'E为CF的中点..OE/AF. 面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A.B,BC与底 .AF平面BDE,OEC乎面BDE 面ABCD所成的角相等,此时两直线异面. 'AF/乎面BDE: 3.A 依题意AA'平面ABC,BCC乎面ABC,所以 又QFOAF-F,.:平面AQF/平面BDE, AA'IBC. :AQ二平面AQF...AQ/平面BDE. 14.B 如图所示, D. 。 又AB是底面圆的直径,所以BC|AC, %-C AA'OAC-A,AA',ACC平面AA'C, 所以BCI平面AAC,故A正确; 取BB.中点M,BC 中点N.连接MN. 在△ABC中,BC AC,显然BC与AB不垂直,则BC不可 因为MN/BC,BC/AD . 能垂直平面AAB,故B错误: 所以MN/AD. 在△A'AC中,AA'IAC,显然AC与A'C不垂直,则AC 不可能垂直平面ABC,故C错误; MNC乎面ADE,ADC乎面ADE 所以MN/乎面ADE. 在△ABC中,BC AC,显然AC与AB不垂直,则AC不 同理可证明AN/平面ADE, 可能垂直平面AAB,故D错误;故选A. 又因为MNOAN-N.MN.A.NC乎面AMN 4.ABC 设AB长为1,由PA-2AB得PA-2. 所以平面A.MN/平面ADE. 又ABCDEF是正六边形,所以AD长也为2. 当F的轨迹为线段MN时,此时A.F二平面A.MN,则有 又PA平面ABCD,所以PAAD. A.F/平面ADE, 所以△PAD为直角三角形. 因为PA-AD,所以 PDA-45* 所以PD与平面ABCD所成的角为45{。 如图: 5.解析 所以 FEG= 因为EG/CD,根据等角定理可知, EF与CD所成角的大小是吾,故选A. 11.解析 ABO即是斜线AB与平面a所成的角, 1-7C 在Rt△AOB 中,AB=2BO,所以cos ABO= 即 ABO-60”。 答案 60{ . 12.解析 取AA 的中点E,连接DE,EN,因为DE//CM,故/EDN 当底面A.BC 满足条件A.C |B.C 时,有 AB 1BC. 即为异面直线DN与CM所成的角. 理由如下:.AAI平面ABC,BC-CC. 在△DEN中,DE-DN-5,FN=/②. '.四边形BCCB 是正方形,..BC1BC. 由余弦定理得cos EDN-DE+D*-E*5+5-2 .CC/AA..ACICC: 2DE·DN 25X5 又A.C BC.CC OB C =C.CC.B C C平 . 面BCC.B. .AC平面BCCB. 答案 :AC/AC..'.AC1平面BCCB. .BCC平面BCCB...BC1AC. 6.解析,设圆锥的底面半径和母线长分别为r./ .AC,B.CC平面ACB..'BC平面ACB,又ABC 母线与底面所成的角为8,由题意可得nrl-2x^{},得/-2r. 乎面ACB..BC1AB. '.当底面ABC. 满足条件A.C. IBC 时,有 由勾股定理可得圆锥的高h=V一,=(2r)^{}-= AB1BC. 3r 答案 A.C.1BC. 所以tan0-_5r_/3. 13.证明 (1)因为SA=SC,D是AC的中点. ,& 所以SDAC. 答案③ 在 Rt△ABC中,AD=BD.又SA=SB.SD=SD.所v △ADS△BDS,所以SD |BD 7.解析 因为DE1平面ABC,PA 平面ABC. 又ACOBD-D,所以SD|平面ABC 所以DE//PA.又DEC平面PAC,PAC平面PAC,所以 (2)因为AB一BC,D为AC的中点. DE/乎面PAC. 所以BD1AC. 答案 平行 由(1)知SDIBD.又SDOAC-D 8.证明 ·PA1平面ABD,BDC平面ABD. 所以BD1平面SAC. .PABD. 14.A 取CD的中点F,SC的中点Q.连接BD,EQ,FQ. .PC1平面BCD,BD,EFC平面BCD. EF(图略),则EQ/sB,EFBD. ..PCIBD,PC1EF. .在正四校锥S一ABCD中,SB在平面ABCD内的射影 ·PAOPC=P.PA.PCC平面PAC. 在BD上,且ACBD. ..BDI平面PAC, .AC1SB,故AC1EQ.又AC1BD...AC1EF,又 又EFIAC,ACOPC=C.AC,PCC平面PAC,EF工平 EQOEF-E...AC 平面EOF...当点P在FO上移动 面PAC, 时,总有ACIPE.故选A. -.Ef/_.A 15.(1)证明 在正方形ACCA 中,CA1AC. 因为 BAC-90*,所以ABAC, 9.ABC.AB是O的直径, 又因为侧面ABBA是正方形, 所以ABAA: '.AC1BC..PA垂直于O所在的平面,..PABC, 因为ACOAA一A.AC,AAC平面ACCA. ..BC 平面PAC,.'BC]AF,..C正确.又AFPC. 所以AB1平面ACCA, '.AF 平面PBC..'AF PB...A正确,又AE PB. 而C.A二平面ACCA. '.PB 平面AEF..*.EF PB..'.B正确,若AE BC,则 则AB1C.A.而A.B/AB. 由AE1PB,得AE 平面PBC,此时E,F重合,与已知矛 .AB 1CA.而A.B OAC-A. 盾..D错误. 又A.B.CAC平面A.B.C. 10.A 如图,取AD中点G,连 .CA1平面A.BC. (2)解析 连接OB,如图 接EG、FG,因为E,F分别 C 所示。 是AC,BD的中点, 由(1)知AC1平面ABC. 所以EG/CD,FG/AB 'C.BO为直线BC. 与 又CD-4.AB-2. 平面A.BC所成的角. 所以EG-2.FG-1,因为 D :c-CA-)C.B, EFLAB. 所以EF1FG. .乙C.BO-30: '.直线BC 与平面A.BC 所以在Rt△EFG中,sinFEG一 所成的角为30*。