学业评价(三) 正弦定理与余弦定理的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

O数学·必修第四册（配RJB版） 学业评价（三） 正弦定理与余弦定理的应用 [必备知识·基础巩固] A.10√6米 B.10√5米 c.105米 D.106米 1.(多选题)下列说法正确的为 3 3 A.已知三角形的三个角，能够求其三条边 5.(2024·云南大理高一期中)如图，为了测量两山 B.两个不可到达的点之间的距离无法求得 顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点 C.东偏北45的方向就是东北方向 进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内.已知 D.仰角与俯角所在的平面是铅垂而 飞机在A点时，测得∠MAN=∠BAN=30°，在 2.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了 B点时，测得∠ABM=60°，∠NBM=75°，AB= 150°，然后沿该方向走了3km,结果离出发点恰 2千米，则MN 好√3km,则x的值为 ( 提示：in15°=6-2 4 A.3 B.23 C.2 D.3 3.如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸 : B,C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是 60m,则河流的宽度BC等于 ( 6.(2024·福建泉州高一月考)如图，海岸线上有相 距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯 塔A的北偏西75°方向，与A相距3√2 n mile的 D处：乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相 A.240(3-1)m B.180(√2-1)m 距5 n mile的C处，则两货轮的距离为 C.120(3-1)m D.30(W3+1)m n mile. 4.(2024·青海西宁高一期中)如图，小明为了测量 759 一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C在同一 32 n mile 水平面的A,B两点，在A点测得树根部C在西 5 n mile 偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B 处，测得树根部C在西偏北75的方向上，树梢D 北 5 n mile 60 的仰角为30°，则树的高度是 7.(2024·安微合肥高一期中)甲船在B岛的正南 方向A处，AB=10千米，甲船以4千米/小时的 速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以 6千米：小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航 行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近 时，它们航行的时间是 小时. 8.萧县的萧窑、准南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安： [关键能力·综合提升] 徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村 窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的： 9.如图所示，有一垂直于地面的建筑物OP,为了测 揭露，将萧窑的历史提潮至隋代.为进一步摸清 量它的高度，在地面上选一长度为40m的基线 萧窑窑址的分布状况、时空框架以及文化内涵 AB,若在点A处测得点P的仰角为30°，在点B 等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县 处测得点P的仰角为45°，且∠AOB=30°，则建 白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地 筑物的高度为 出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了 复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：AB 34.64 cm.AD-10 cm,BE-14 cm.A-B (参考数据：取3=1.732) A.20m B.20√2m C.203m D.40m (1)求三角形瓷器片另外两边的长： 10.(多选题)如图，一辆汽车 A超E 1北 (2)求D,E两点之间的距离. 从A市出发沿海岸一条笔 300 500 B 直公路以100km/h的速 度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方 向距A市500km且与海岸距离为300km的海 上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份文 件交给这辆汽车的司机，快艇的速度可以为多少 A.60 km/h B.65 km/h C.50 km/h D.70 km/h 11.小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高 度，他在该钟塔塔底B点的正西处的C点测得 该钟塔塔顶A点的仰角为30°，然后沿着东偏南 67的方向行进了180.8m后到达D点(B,C,D 三点处于同一水平面)，且B点在D点北偏东 37°方向上，则该钟塔的高度为 m.(参 考数据：取sin53°=0.8) 5 O数学·必修第四册（配RJB版） 12.在一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参 [核心价值·探索创新] 阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度 向正东飞行，如图.第一次观测到该飞机在北偏 14.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为 西60的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机 建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平 在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞 基线，使得C,D,B在同一直线上，在C,D两点 行的高度为 千米.（结果保留根号） 用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°， CD=10,则建筑物AB的高度为 () 地、 观测站 13.如图，某海轮以60 n mile/h的速度航行，在A 点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航 行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东 A.5√3+5 B.5(W6+2) 30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶 2 80分钟到达C点，求P,C间的距离. C.53 D.53+5 2 北 15.某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B, 方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的 609 角)是50°，距离是1km:从B到C,方位角是 30 110°，距离是1km:从C到D,方位角是140°，距 A 0 离是(3十√3)km.求从A到D的方位角及从A 到D的距离. 6© 由余弦定理得，cosA= 62+c2-a2 2bc 学业评价（三）正弦定理与余弦定理的应用 144k2+100k2-225k2_19 ! 1.CD已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故A 240k 2401 错误. 19 答案240 两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求 13.解析(1)由余弦定理可得 出，故B错误.C,D正确 BC=a'-B+c2-2 bccos A=4+1-2X2×1Xcos120°：2.AB如图所示，在△ABC中，AB=x,BC=3,AC=√3， =7,则BC=7,cosB=。2+-B=7+4-1=5 ∠ABC=30°， 2ac 2X2×√7 14 B 5-√2I sinB=√-cosB√1-28 : 30 1509 =14 3 (2)由三角形面积公式可得 SAARD SAACD 由余孩定理得，AC=AB+BC-2AB·BC· 号xABXADXsin9 cos∠ABC. =4, 云xACxADXs轴30 即(3)2=x2+32-2x·3·cos30. ∴x2一3√3x+6=0.解得x=2√3或x=3. 则5m=号=号×（×2X1×sin120）- 10 3.Csin75°=sin(45°+30) 14.D 在△ABC中，由2025+2025 tan A tan B c将2025× =sin45“cos30+cos45sin30°=6+2】 4 cos Acos B)cos C 60 sin A sin B sin C' 六ABsn75=60W5-2)(m). 2025x cos Asin B+cos Bsin Acos C 在△ABC中，∠ACB=30°，∠BAC=45°， sin Asin B sin C' 故2025X$in(A+B)_cosC 由正孩定理，得0=6 BC sin Asin B sin C' 即2025× sin C _cos C ∴BC=4B05=2x60(6-②×号 sin 30 sin Asin B sin C' 所以2025 sin'C =120(W3-1)(m). sin Asin B=cos C, 4.D依题意可得如下图形， 所以20阳5X品益兰， D ab 即40512=a2+6, 故a+6 2 =4051,故选D. 15.解析(1)：A+B=3C, ÷-C=3C,即C-至， 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), B ..2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos Coos Asin C, 在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°，AB= .'sin Acos C=3cos Asin C, 20, .'sin A=3cos A, 20×2 即anA=3,所以0<A<受， BC 20 由正弦定理，得n30-sn4行，解得BC .sin A=-3=3 10 2 /10 10 102, (2)由(1)知，co3A= 1=10 在Rt△BCD中，∠DBC=30°， /1010 sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C- 所以CD=BC·tan30°=102×5=106 3 3 (+0)-2 z（10 51 所以树的高度为10来 由正孩定理品C品B 5.解析周为∠MAN=∠BAN=30°，∠ABM=60°，可得 5x △ABM是等边三角形，BM=2千米.记直线AN与直线 ! BM的交点为O,∠AOB=180°-∠BAN-∠ABM=90°， 可得b= 5=2√10， 设AB边上的高为h, :合AB:A=合AB·AC·sinA, ∴h=6…sinA=20x3@=6. 10 所以AN⊥BM,O为BM的中点，所以△BMN为等腰三 即AB边上的高为6， 角形， 28 BN=MN= OB 1 即1600=3h2+h2-3h,解得h=40m, cos/NBM cos 75 所以建筑物的高度为40m. 又cos75°=sin15°=6-巨 10.ABD如图所示，设快艇以 4 vkm/h的速度从B处出发，沿 所以MN= 1 =(W6+②)千米. BC方向行驶，th后与汽车在C 6-√2 处相遇， 4 在△ABC中，AB=500km, 答案(6+√②)千米 AC=100t km,BC=vt km, 6.解析连接AC(图略)，由题意可知AB=BC=5,∠ABC BD为AC边上的高，BD=300km. =∠ACB=∠BAC=60°，所以AC=5,∠CAD=45°， 根据余弦定理，可得CD2=AC+AD2-2 XACXADXcos 设∠BAC=a,则sina=号e0sa=号 ∠CAD=25+18-2X5×32×号=13，所以CD=V13. 由余弦定理得 2 BC=AC+AB2-2AB.ACcos a, 答案√13 .dt=(100)2+5002-2×500×100t.4 7.解析设经过x小时两船之间的距离为5千米，甲船由A 点到达C点，乙船由B点到达D点，则AC=4x,BC=10 整理得 4x,BD=6x,∠CBD=180°-60°=120°. 7=250.000-80000+10000 t 北 =250000 1 是·+（门 +10000 D 6M0° 10000×16 西 →东 25 B -25060(-元)'+360. A 每 当上-亮即1=华时，da=360,=60, 由余弦定理可得2=(10-4x)2+(6x)2一2(10-4x)· 所以要想把文件交给汽车的司机，快艇的速度要不低于 60 km/h. 6x·(-号）=28x2-20zr+10, 11.解析如图， 20 5 当x2X28员<2.5时，最小， 则两备之间的距高最小，此时它们就行的时间为员小时。 答案14 8.解析(1)如图， 37 D ∠BCD=67°，∠CDB=90°-67°+37°=60°，则∠CBD= 延长AD,BE交于点C,国为A=B=吾 180°-60°-67°=53°. BC 所以C2,故AC=BC=AB 由正弦定理 sin B sin A sin C' sin∠CDB sin∠CBD'得BC= CD CDsin CDB 180.8sin 60 sin∠CBD sin53° ..AC=BC=- 34.64X234.6434.64=20（cm, 31.732 所以AB=BC·an30=180.8sin60.an30°= 2 sin53° 即另外两边的长皆为20cm. 180.8=113m 1.6 (2)由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C= 3 答案113 12.解析如图，根据已知可得∠ABF=60°，∠CBF=75°， 故DE=√CD+CE-2CD·CEeos C ∠CBD=30°. =√136+60=√/196-14(cm), 故D,E两点之间的距离为14cm. 9.D设建筑物的高度为hm. 依题意，可得PO⊥OA,PO⊥OB,∠PBO=45°， ∠PAO=30°， 设飞行高度为x千米，即CD=x千米，则BC=√3x千米. 所以OB-OPhm,OA一an30=3hm. 在Rt△CFB中，∠CBF=75°，BC=√3x千米， 由余弦定理，可得 所以CF=√3xsin75°，BF=√3xcos75°. AB2=OA+OB-2OA·OBco5∠AOB, 在Rt△ABF中，AF=3xc0s75°. 29 因为飞行速度为72√反千米/小时，飞行时间是1分钟，所 阶段测评（一）正弦定理、余弦定理的综合应用 以ED=AC=2E=6E千米，所以AF十CF= 60 5 3as7+55'=AC=6g2,解得x=2千米 1,B由题意在△ABC中，由王孩定理，得AB 5 即3 所以血B=号，因为B0, 2 数直升机飞行的高度为25千来 sin 3 5 答案2③ 所以B=晋或要，又周为。>6，A=吾，所以B≠经，所以 4 5 13.解析 由题志知AB=60×号=40，∠BAP=180 B 60°=120，∠ABP=30°，所以∠APB=30°，AP=AB= :2.D因为SaAc=2 acsin B,a=2,B=60',SaAc=23,所 40, 以c=4, 在△ABP中，由余弦定理，得BP2=AB2+AP一2AP· 由余弦定理得6=a2+c2-2 accos B=4十16-2×2×4X AB·c0s120°=402+402-2X40X40×(-2）=402× c0s60°=12，所以b=2V3, 故△ABC的周长为a+b+c=6+2√3. 3, 所以BP=40√5. 3.B由2 acos B=C-2a得2a.。+-=6-2a,pa 2ac 又∠PBC=90,BC=60×号-80， b=-2ac, 由于b=2a,所以a2-4a2=-2ac,故3a=2c 所以PC=BP2+BC=(40√3)2+802=11200. 4.B在△ABC中，已知2 acos B=c, 所以PC=40√7， 由正弦定理得2 sin Acos B=sinC=sin(A十B)= sin Acos B十sin Bcos A, 即P,C间的距离为40√万n mile. 所以sin Acos B一sin Bcos A=0,即sin(A一B)=0, 14.A在△ACD中，根据正弦定理可得AD= 义0<A<π，0<B<r,则一r<A一B<r,则A一B=0, CDsin∠ACD10sin45 sin /DAC sin (75-45)-102 所以A=B,所以孩三角形为等腰三角形， 在Rt△ABD中， 5C国为CD为角C的平分线，所以品能。 AB=ADsin 75 =10w2(sin30°cos45°+cos30°sin45) 因为2AD=BD,所以C=号，所以不特夜AC=3, =10V2×2+5=55+5,故选A BC=2x, 4 AC BC 15.解析如图所示，连接AC. 为在△ABC中，CB=C,B=2A,所以S sin 2A BC 3x 2x 北 北 北 sinA2sin Acos A sin A' B5110° 因为在△ABC中，sinA≠0，x≠0， 502 5140 所以曲2如A二A可得。A=2, 所以cosA=具。 6.A在△ACD中，∠CAD=180°-105°-30°=45°， 在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110)=120°. 由正弦定理得CD =-AD sin 45 sin 105' 又AB=BC=1km,.∠BAC=∠BCA=30°. 由余弦定理得 AD=CDXsin1o5°_ sin 45" AC=√JAB+BC-2AB·BC·cos120°=√3km. 20×(sin60°cos45+c0s60'sin452-10W5+1D, 在△ACD中，∠ACD=360°-140°-70°-30°=120°， sin 45 在△BCD中，易知∠BCD=45°，∠BDC=90°， CD=(3+√3)km, 所以∠CBD=45°，所以BD=CD=20: 由余弦定理得， 由余弦定理得AB AD=√/AC+CD-2AC·CD·cos120°=√18+93 √AD+BD-2 XADX BDXcos60°=-√600=10V6. _32+⑤km 2 油B样忠合-热月>血2B=血2A 7,BD由a。 “A到D的距离为3E⑤km 2A=2B十2k元，或2A十2B=r十2k元，是∈Z,由于在三角形 2 在△ACD中，由正孩定理得sim∠CAD=CD·sin120 中，所以A=B或A十B=吾，故△ABC为等腰三角形我 AD 者为直角三角形，故A错误， 由A>B,得a>b,由正弦定理得sinA>sinB,故B正确， 若AB·BC<0,则|AB|·|BC|cos(π-B)<0→cosB ∠CAD=45°，于是A到D的方位角为50°+30°+ >0,因此B为锐角，故无法确定△ABC为纯角三角形，故 45°=125. C错误， 30