学业评价(六-七) 复数的加法与减法 复数的乘法与除法-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 学业评价（六） 复数的加法与减法 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 1.若复数x满足x十3-2i=4十i,则之= A.-1-3i B.1+3i 9.已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA,OB对 C.1+i D.-1-i 应的复数分别为2一3i,一3+2i,那么向量BA对 2.已知之1=2十i,2=1一2i,则复数之=一1对应 应的复数是 的点位于 r A.-5+5i B.5-5i A.第一象限 B.第二象限 C.5+5i D.-5-5i C.第三象限 D.第四象限 10.(多选题)复数z=x十yi(x,y∈R)满足条件|z一 3.已知32-2x=2-5i.则x= ( 4i=x十2|，则2+4的值可以为() A.2-i B.2+i A.2 B.4 D.-2+i C.42 D.16 C.-2-i 11.如图，在复平面内，复数1,2对应的向量分别 4.如图，设向量OP,PQ,OQ所对应的复数为12， ,那么 是OA.OB,则|x,十21= 12.复数1=cos0+i,2=sin0-i,则|x1一|的最 大值为 ,最小值为 A.21一2一1=0 B.之1十十3=0 C.2一1一=0 D.31十32一x3=0 13.设：∈C,满足x十∈R,且-是纯虚数， 5.已知复数之满足z=1,则|之一2i的取值范围为 求 6.若复数之满足3：十之=1+i,其中1是虚数单位， 则x= 7.设复数1，心满足之=2=2，名十2=3十 i,则|一= 8.计算： a)(2-2)+(2-2: (2)(3+2i)+(3-2)i: [核心价值·探索创新] (3)(1+2i)+(i+)+13+4i: 14.(多选题)已知复数名，=2-2i(i为虚数单位)在 (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i). 复平面内对应的点为P,复数满足|2一= 1,则下列结论正确的是 () A.P,点在复平面内的坐标为(2，一2) B.1=2+21 C.|2一名|的最大值为13+1 D.|2-|的最小值为5-1 15.已知i是虚数单位，复数g=a+bi,a∈R,b∈R, 且z一i=|z十2一i,则|z一3+√3i的最小 值为 () A.5 B.4 C.3 D.2 12 学业评价（七） 复数的乘法与除法 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 1.(2024·全国甲卷·文)设x=√2i,则之·之= 9.在如图所示的复平面内，复数x1,之2，之对应的向 ( A.-2 B.√2 量分别是0,0成.0心，则复数2：，在复平面 内对应的点位于 C.-√2 D.2 2.(2024·新课标I卷)若产=1+i,则 ( A.-1-i B.-1+i -3-2-10外123'x -1 C.1-i D.1+i -2C 3.(2024·山东聊城高一期中)已知复数x满足(1一 -3 ):=3十i,则：在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(多选题)已知复数：=2+i,心=1一2i,则下列说 4.(2024·浙江杭州期中)若复数：满足(3十4i)z= 法正确的是 () |4+3,则z的虚部为 A.的共轭复数不是 B.|≠|2 A.-4 C.复数1x2=4一31 C.-4i D.-gi D.复数空为纯虚数 5.(2024·重庆高一期中)已知复数x满足|z= 11.已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实 1:一2，且是纯虚数，试写出一个满足条件 系数一元二次方程x2十px十q=0的两个根，则 p,g的值分别是 () 的复数= A.p=-4,g=5 B.p=-4,g=3 6(2023,天津卷)已知i是虚数单位，化简盟 C.p=4,g=5 D.p=4,g=3 的结果为 12.已知复数1,2是方程x2十x十1=0的两个根， 7.已知m为实数，并且'士m+号的实部与虚部相 2-i 则十 等，则m= 13.设虚数1，满足号=2，若名1，是一个实系 8.已知i是虚数单位，复数之满足x(3+4i)= 数一元二次方程的两个根，求十2· -5+10i. (1)求复数z的共轭复数； (2)若a∈R,且 (+a=3,求实数a 的值. 13 。数学·必修第四册（配RJB版）》 15.已知复数之=1+mi(i是虚数单位，m∈R),且 [核心价值·探索创新] 乏·(3十i)为纯虚数（是的共轭复数）. 14.已知复数，=i一a,2=1一i,其中a是实数. (1)求实数m及之： (1)若=一2i,求实数a的值： 2)设复数8=a四，且复数，对应的点在 (2若是纯虚数求子十（色）+（②）十…十 22 22 第二象限，求实数a的取值范围. 2022 的值. 14.满足|z 13的点乙组成的集合是圈心在原点,半径 由向量减法的坐标运算可得向量BA-OA-OB-(2+3, 为13的圆及其内部(包括边界),而|l→的点乙组成 -3-2)-(5,-5), 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA对应的 复数是5一5i. 10.CD 由lz-4il-|z+2, 界). 得lx+(y-4)il=lx+2+yil, &.满足条件的点乙组成的集合是一个圆环(包括边界). 所以+(-4){}-(x+2)}+y,即x+2y=3, 学业评价(六) 复数的加法与减法 '$+4-2+2*>2· 2-2=4 当且仅当x-2--时取到最小值4\2. 1.B 因为z+3-2i-4+i,所以x-4+i-(3-2i)=1+3i. 2.C 因为z-2+i,z。-1-2i, 11.解析 依题意可得OA-(2,1),OB-(-1,1),所以z= 所以z=z-z-(1-2i)-(2+i)--1-3i. 所以复数z在复平面内对应的点为(一1,一3),位于第三 2+i,=-1十i. 象限. 所以z.+z。=(2+i)+(-1+i)-1+2i. 3.B 设x=a+bi(a,bER),则z=a-bi.由3(a-bi)-2(a+ 所以l+1-1+2-5. $i-2-5i得a-5bi-2-5i, 答案 /a-2, : 12.解析 所以a-2,b-1,所以z-2十i. z-z -I(cos8-sinθ)+2il = (cos6-sin0)*+4-5-2sin 0cos6 4. D 由题图可知,P+QP-0.:P+OP-0=$ =5-sin20, .十z-z。-0. 当sin20--1时,lz-z。|取得最大值v, 5.解析 lz|-1表示z对应的点是单位圈上的点.|z-2il 当sin20-1时,z-z。|取得最小值2. 的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离,所以 答案6 2 最小距离为2-1-1,最大距离为2十1-3.所以|z-2il的 13.解析 设z=x十yi(x,yR). 取值范围为[1,3]. 第_) 答案 [1,3] 6.解析 设z=a十bi(a,béR),则-a-bi, 2 #(_). 因为3x+z-1+i,所以3(a+bi)+a-bi-1+i, y_ 即4a十2bi-1十i,所以 126-1.& 解得y-0或x+-1. 所以-+1.# #----+y--(x-)+yi是纯虚数, 答案+ 7.解析 设z=a+bi,z=c+di,a,b,c,dR,z.十zi=(a十 0. 解得-土15.1.复数-115. c)十(十a)i, {a+c-3,由1z1-1zl-2,得a*+ 由z十z。=3十i,得 lb+d-1, 14.ABC 由题得,复数2.一2一2i在复平面内对应的点为 -c+d*-4, P.(2,一2),故A正确; 所以(a+c){}+(b+d){}=a*+b+c*+a*+2(ac+bd)= 8+2(ac+bd)-4,解得ac+bd--2, 所以lz-z|=l(a-c)+(-d)il -(a-c)*+(b-d)} -a+6+c*+d-2(ac+bd) =8-2X(-2)-23 -2..P 答案 2③ 8.解析 (1)原式=(2+-(+2)#i--. 因为复数x-2-2i,所以复数-2十2i,故B正确; 设z=x十yi(x,yR),且其在复平面内对应的点为P。. (2)(3+2i)+3-2)i=3+(2+3-2)i=3+3. 则lz-il-l+(y-1)il- +(y-1)-1,即+$ (3)(1+2i)+(i+i*)+l3+4il-1+2i+i-1+5-5+3i. (y-1)^{②}-1,所以复数2在复平面内对应的点P。在圆 (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i) *+(y-1)*}-1上,其圆心为C(0,1),半径r=1,l -[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1] z. |表示的是复数z.和z。在复平面内对应的两点之间的 -8十2i. 距离,即IPP。. 9.B 向量OA,0B对应的复数分别记作z.-2-3i,z--3 而|PP|的最大值是lPCl+- (2-0)+(-2-1)^② +2i, +1=13+1,|PP的最小值是 PCl-=13-1, 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量OA一(2, 即lz-z|的最大值为 13十1,最小值为 \13-1,故C -3),0B-(-3,2), 正确,D错误. ) $5.B 因为x=a+bi(a,bR),则 -i=a+(b-1)i,x+2-:10.ACD 复数z=2+i,z。=1-2i, i-(a十2)+(-1)i, 对于A,复数z。的共辄复数。-1十2i,不是z,A正确; 由z-i1-1z+2-il,可得 a^+(6-1){③ 对于Bz|= 2+1-5- 1+(-2)-1,B -(a+2+(-1, 错误: 解得a--1,则z--1十bi, 对于C,zz。-(2+i)(1-2i)-4-3i,C正确; 所以,z-3+3i--4+(+③)i. 对于D.-12(1-21)(2-))--5--)是纯虚 2=2+i-(2+D(2-) 因此,z-3+③il-(-4)+(b+③)>4, 5 数,D正确,故选ACD. 当且仅当b一一3时,等号成立, 11.A 由实系数方程虚根成对,知a一一1, 故z-3十③il的最小值为4. b-2. '.-(x.+)=-4,q=x.·x=4+1-5. 学业评价(七) 复数的乘法与除法 故选A. 1.D 依题意得,--②i,故x·二-2-2. 12.解析 由复数z,z。是方程x十x十1一0的两个根,则不 妨取--1-3 1--1+3 z-1 1-1-i. 2 -1+3i-1-③i _- 2 3.D 由题意知-3+i_(3+i)(1+i) 1-③ 1③i 所以-1一2i,所以;在复平面内对应的点(1,一2)位于第 答案-2 四象限. 13.解析 因为2,z。是一个实系数一元二次方程的两个根, 4.B 因为(3+4i)z=|4+3i|= 4+3^{}-5,所以z= 2.,2。都是虚数, 所以2,z:互为共辄虚数,由-z。,得-。 设z=x十yi(x,y-R,且y0),则(x十yi)-x-yi. 即x*-y*+2xyi-r-yi, 5.解析 设z=a+bi(a,bER),由lzl一|z-2il, (-2_ __ 可得a十62}-^{}十(6-2)3},解得b-1,又-21是纯虚数, 所以2xy--y,解得 2 z十i 70 所以:+2:-2:+-2x=2x(-)--1. 14.解析 (1)复数z=i-a,则z-(-a十i)②}-(a-1)- 解得a-士②,所以z-②十i或。--②十i. 2ai-一2i,又a是实数, 因此{-2a2 fa-1-0. 答案②十i或一②十i(写出其中一个即可,答案不唯一) 解得a-1. (2+3i)(2-3i) 13 所以实数a的值是1. -4i. (2)复数x.-i-a,z-1-i,aR,则--a+i- 故答案为4十i. (1-_10(--0)-)_1- 二=1-i 答案4十i (1+mi)(2)+ (1-i(1+i) 2 ,_ 因为 (_-1-o 7. 解析 。 2 2 因为是纯数,于是。 ###_0# 解得a--1,因此 5 5 z 由题意可得9-2m_2m+1.解得m- 10 6 5 -i,又i-i,i--1,i--i,i'-1, 。 则nN,n--i,-?_-1,1-1-i,i*-1,即有 8.解析(1):z(3+4i)--5+10i, nN.+**+i1+i*-0, #以()}():() 3十4i (3十4i(3-4i) -505(i+i2十 2 .复数的共辄复数一1一2i. (2一行二 r+it)+i计i2--1+i. 15.解析 (1):z=1+mi...-1-mi. 2 行什)二一 ·.(3+i=(1-mi)(3+i-(3+m)+(1-3m)i. ..(3十i)为纯虚数,. (3十m-0, 对|()+a3,即la-il一a+1=3, 1-3m70. 解得n--3, .a-士2v2. 故z-1-3i,则lzl-1+(-3)-10 9.C 由题图,知z-3+2i,z。=-2+2i,z-1-2i,则 (2)·i22_i4x506+3-i3--i, (=---)(1+)-0 2z.+3z210i .--2 2 点为(一1),此点位于第三象限,故选C. 10 35 .复数z,所对应的点在第二象限, 18.$CD对选项 A:取z=1,=i,满足lzl=lzl,z=士$ a-30, 不成立,错误; 1<a<3. : 0 解得一 对选$:=,即(z-z)=0,.0,则$$ 3a+1>0,” 10 z。-0,正确; 对选C=z,故lz-z,zz=zlz,zz|= 故实数a的取值范围为(-,3). z.llz,故|zz。-z.z,正确; 对选项D:若z.2-0,则.-0或z。-0,正确;故选BCD. 阶段测评(二) 复数的概念与运算 9.解析 由方程3x*+2x+1-0,可得△-4-4×3x1 1.C 若x=-1-i,则lzl= (-1)+(-1)= ② -8<0. (2+3i)(2-3i) -(6-3m)-(9+2m)i 答案--1# 13 因为z为纯虚数,所以6一3m=0且9十2m文0,解 10.解析 由题意得 -(-1+2i)(2+i)(-4+3ì)i 得n-2. 1 i.i 1-1-ì,所以lz|= 3.B 由题意可得-1+(1+)(1-)2 3+4i, 则三-3一4i,所以的虚部为一4. #(#)##(-)#-# 答案 一4 11.解析 因为(1)-1+2+^-i.()-1-21+} -202_ (1)0 4.D 由题意得(1十i)·z-)i2*24,所以z= 1+i-1+i --i. 11-11--# 而一(-)--1,所以()”+(1)"-(-1)”+ #以二# (-1)*-2×(-1)“. 5.C 因为方程x*十kx十3-0有两个虚根x.和x 所以当”是奇数时,()“+(1)”-- 2. 所以△-^}-4×$3<0,则-23{<<2③, 答案 -2 :12.解析 令zi-1+i,-2i,lz|-2,所以(1)错误。 2? 令z=1+i,z-1-i, 2/2, 则乙(1,1),z(1.-1),lo·ol-0, 所以l-x-l 12-ìl-2,则 12-- z ·O乙-2,所以(4)错误。 解得一士2,满足要求, 设z=a+bi,z=c十di,Z(a,b),Z(c,d), 所以k-士2. lz.·z|=lac-bd+(ad+bc)il 6.B 令z=cosθ+isin6-1,则z=cos f-isin-1; 所以1 00+1inin0_ (eosol+isin0 =(ac-bd)*+(ad+be) 一1 col-isin(cos +)isin - va^+b+a^{+b。 2cos}+2cos 0+2sin 8(cos 8+1)i_ lz.l·lzl=+.+d 2十2cosf -VaC+b^{a+a^{d+6,所以(2)正确。 cos o+isin-1+ai,则 #Z -10乙{-。*十6},所以(3)正确. lsin8-a. 答案(2)(3) 2#. $. AD 因为-+#,所以-# ##≠--+语)--#-3--# $所以 =(+.)(-.-+3=1,故 A# 所&*&}+--1+3+(-1-)--1. 正确; (2)由(1)得z*十z十1-0, 复数的虚部为,故B错误; 所以a+bz+cx*-z+2z2+(1+i)(1+z+z*) ##-(+3)--+号--分+号1,# # 因此1a+b+c}1一(-){+(-)#-\. ,故C错误; 若复数z.满足|z.-zl-1,设z.=a+bi, 则点(ab)的轨迹是以(,)为圆心,半径为1的园,# 14.解析 (1)因为(1十3i)z=5十5i,所以z= 1+3 51-2-1- 所以l 的最大值为()+()}+1-2,故D正确, 所以-2十i, 故选AD. 所以z--(2-i)-(2+i)--2i. 36