阶段测评(一) 正弦定理、余弦定理的综合应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

阶段测评（一） 正弦定理、余弦定理的综合应用 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 A.10√6km B.30(√3-1)km 1.(2024·山东泰安高一期中)△ABC中，角A,B, C.15 km D.105 km C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=2,A= 7.(多选题)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的 吾则B ( 对边，则下列叙述正确的是 () 6 A.君 B晋 A若os Bco哈A则△ABC为等腰三角形 c受 B.若A>B,则sinA>sinB D晋或野 C.若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形 2.(2024·重庆高二期中)已知a,b,c分别表示 △ABC中内角A,B,C所对边的长，其中a=2,B D.若a=bsin C+-B,则C=买 =60°，S△ABc=2V3,则△ABC的周长为( ) 8.(多选题)△ABC中，a,b,c是角A,B,C的对边， A.6 B.8 b2=a2+ac,则 ) C.6+√3 D.6+23 A若B=受，则A=开 3.(2024·甘肃天水高一期中)在△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,且2 acos B=c一2a, B,若A=否，a=2,则△ABC的面积为25 b=2a,则 () A.2a=3c B.3a=2c C.若A= 6,a=2,则角B角平分线BD=3 C.b=2c D.2b=c D.若△ABC为锐角三角形，a=2,则边长b∈ 4.(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中，内角 (2√2,23) A,B,C的对边分别为a,b,c若满足2 acos B-c, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 则该三角形为 ( 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定 =6,a=2c,B=弩，则△ABC的面积为 5.如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B= 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a, 2A,2AD=3BD,则cosA等于 ) 6c,若A=号，0=7,6=3，则角A的角平分线 AD- 11.如图，地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的 高度，在地面上取一基线AB,AB=20m,在A A号 B.2 处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点 P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=30°，则 c D.0 旗杆的高度是 m. 6.(2024·山西运城高一月考)如图，某区域地面有 四个5G基站，分别为A,B,C,D.已知C,D两个 基站建在河的南岸，距离为20km,基站A,B在 河的北岸，测得∠ACB=60°，∠ACD=105°， ∠ADC=30°∠ADB=60°，则A,B两个基站的距 离为 ( 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,若 △ABC的面积SAe=d+6-),则2千6的 4 取值范围是 O数学·必修第四册（配RJB版） 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文：15.(10分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角 字说明、证明过程或验算步骤， A,B,C的对边，a-b_sinC-sinB 13.(8分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c sin A+sin B' c,且△ABC的周长为6，sinA+sinB-sinC= (1)求角A: bsin A (2)若3c=3b+√3a,证明：c=2b. 2 (1)求角C的大小： (2)若D是边AB的中点，且CD=√3，求△ABC 的面积 16.(12分)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,满足sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求角A; 14.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 (2)若a=6,求△ABC周长的取值范围. 为a,b,c,且(sinA+sinB)(sinA-sinB)= (3sin A-sin C)sin C. (1)求角B的大小； (2)若BC边上的高为b-2c,求sinC. 8k⑧ 图为飞行速度为72反千米小时，飞行时间是1分钟，所 阶段测评（一）正弦定理、余弦定理的综合应用 以ED=AC=72E=6区千米，所以AF+CF= 60 5 1,B由题意在△ABC中，由正孩定理，得入一B 3xc0s75°+5.xsin75°=AC=62,解得x=2y3千来， 5 5 师3 2 此直升机飞行的高度为千术 sin 3 所以mB=号，周为B长0.. 答案23 所以B=晋我还又因为a>A=吾，所以B≠经，所以 13.解析 由题意知AB=60X名 =40,∠BAP=180° B= 3 60°=120°，∠ABP=30°，所以∠APB=30°，AP=AB= 2.D因为S△=2ac8inB,a=2,B=60,Sa=23,所 40, 以c=4, 在△ABP中，由余弦定理，得BP=AB+AP-2AP· 由余弦定理得62=a2+e2-2 accos B=4十16-2×2X4× AB·cos120=402+402-2×40×40×(-2）=40× c0360°=12，所以b=23. 故△ABC的周长为a+b+c=6+23. 3, 所以BP=40√5. 3.B由2aosB=c-2a得2a.。+c-6=6-2a,即d 2ac 又∠PBC=90,BC=0X音=80. bi=-2ac, 由于b=2a.所以a-4a2=-2ae,故3a=2c. 所以PC=BP+BC=(403)2+802=11200. 4.B在△ABC中，已知2 acos B=c, 所以PC=407, 由正弦定理得2 sin Acos B=sinC=sin(A十B)= sin Acos B+sin Beos A. 即P,C间的距离为40√7 n mile 所以sin Acos B-sin Beos A=0,即sin(A一B)=0, 14.A在△ACD中，根据正弦定理可得AD= 又0<A<π，0<B<π，则一r<A一B<π，则A一B=0, CDsin∠ACD10sin45° sin∠DAC sin(75-45=10区， 所以A=B,所以该三角形为等腰三角形. 在R△ABD中， 5C国为CD为角C的辛分线，所以品-瓷 AB=ADsin 75 =10√2(sin30°cos45°+cos30°sin45) 因为2AD=3BD.所以瓷=号，片以不持花AC= =102×②+6=53+5，故速A BC=2.x. 4 BC 图为在△ABC中、CBnA·B=2A,所以1C 15.解析如图所示，连接AC sin 2A BC 3x 2x 北 北 北 snA,即29 n Acos A sin A' 因为在△ABC中，sinA≠0，x≠0， 509 51409 所以南2如A品A可得2A=2, 3.x 2x 所以cosA=是。 6.A在△ACD中，∠CAD=180°-105°-30°=45， 在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120 由正弦定理得CD AD sin 45 sin 1055 又AB=BC=1km,∴.∠BAC=∠BCA=30. 由余孩定理得 AD-CDXsin 105 sin 45 AC=/AB+BC-2AB·BC·cos120°=/3km 20×(sin60c0s45+cos60sin452=10,W5+1D, 在△ACD中，∠ACD=360°-140°-70°-30°=120°， sin 45 在△BCD中，易知∠BCD=45°.∠BDC=90°. CD=(3+√3)km 所以∠CBD=45°，所以BD=CD=20, 由余弦定理得， 由余孩定理得AB= AD=√AC+CD-2AC·CD·cos120°=√18+93 √AD+BD-2 KADX BDXcos60=√600=106. -32+km 2 油B心得合月n2B-=如2A 7,BD由a A到D的距离为32牛6km 2A=2B十2kπ，或2A十2B=开十2kx,k∈Z,由于在三角形 2 中，所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或 在△ACD中，由正弦定理得sim∠CAD=CD·sin120 AD 者为直角三角形，故A错误， 由A>B,得a>b,由正弦定理得sinA>sinB,故B正确， 2 若AB·BC<0,则|AB·|BC1cos(x-B)<0→cosB ,.∠CAD=45°，于是A到D的方位角为50°十30°十 >0,因此B为锐角，故无法确定△ABC为钝角三角形，故 45=125°. C错误， 30 @) 由a=bsin C+ccos B得sinA=sin Bsin C+sin Ccos B,进 而可得sin(B+C)=sin Bsin C+sin Ceos B→sin Beos C cos B= 血C=如（停-）=血吾msB-s号 =sin Bsin C,由于sinB≠0， 所以cosC=sinC→tanC=1,由于C∈(0，r),所以C= sin B=5/3 14 子，故D正确，故选BD, sim∠ADC=im(B+∠DAB)=sin(答+B)=4y, 7 8.ABD根据题意由b=a+ac,结合余弦定理b=a2+ c-2 aceos B可得.， 在△AC中，由正获走理得Cm2折CAD AC ac=c2-2 aceos B,又因为e≠0. sin C15 所以a=c-2 acos B: AC.sin ZADC-8 利用正弦定理可得sinA=sinC一2 sin Acos B, 再由sinC=sin(A+B)可得， 答案只 sin A=sin (A+B)-2sin Acos B, 11.解析设()P=h, 即sinA=sin Acos B十cos Asin B-2 sin Acos B, 在R1△AOP中，∠OAP-30°，则OA=√3h. 所以sinA=sin(B-A): 在Rt△BOP中，∠OBP=45°，则OB=h, 又A,B∈(0，x),所以A=B-A,即B=2A: 在△AOB中，由余弦定理可得AB=OA+OB2-2OA· 对于A若B=受则A=号=吾故A正确： OB·cos∠AOB. 对于B,若A=吾a=2,则B=2A=号 中40=3动+-2X励X×受=， 由a=c-2 acos B可得c=4, 解得h=20. 1 即旗杆的高度是20m. 答案20 正确： 对于C,如右图所示， 12.解析由S一c十6- 由等面积可知 S△.：=SAAm十SAD, ∴absin C-ga+6- 4 由选项B可得c=4,B=受，所以∠ABD 又c2=a2+6-2 abeos C, ∠CBD=吾 所以2 bnC=.2 abos C. 4 即S△e= cBDsim吾+aBDC 1 B 所以anC=原，又0<C<,所以C=吾， :血音=2，解得BD=,所以C特 由正孩定理可得，u十b=sinA十sinB sin C 对于D,若△ABC为锐角三角形，a=2,则可得 sin音 c=a+2acos B=2+4cos B, 1 A∈(o,受) o<<受 sinA+sin(晉+A）2sin(A+吾】 且B∈(0，受)，即0<B<受 因为0<A<所以<A+< ce(o,受) 0<-B8< 所以sm(A+吾)∈(3]： 解得B∈（等，受），所以cosB∈(0，号）) 所以( +b 又6=a2十ae=8+8cosB,所以6∈(8,12)，因此 3a*)3 1 b∈(2√2,23)，即D正确 答案 [2 9.解析由余弦定理，有=a°十c2一2 accos B, 又b=6u=2c,B=2 l3.解析(I)因为sinA+sinB-inC-siA,由正孩定 2 3, 则36=+c-4r×(一2)：解得e=9 里可得a+6-e=学 7 又由a+b十c=6,可得 所以SAuc= 2acsin B-x18B (a+b-c)(a+b+c)=3ab, 2 7 整理得a2+6-c2=ab, 答案 183 1 所以cosC=a+?-c 1 2ab 10.解析 由正孩定理得nA BC 又国为Ce0x,所以C=子 BmB=号m AC (2)因为D是边AB的中点， 3 ：A=经，C书是 所以2CD=CA+CB. 即4CD=(CA+CB)=CA+2CA·CB+CB=+ 锐角， a2+ab=4×(3)2=12, 31 @ 又a+b+c=6,a2+6-c2=ab. 所以△ABC周长为a+b+c=6+4√3sinB+ 解得a=b=c=2. 所以△ABC的面积S=ainC=原 4（停mB-如B）=6+4m(B+晋) 14.解析(1)由题意可得 因为0<B<骨，则管<B+音< sin'A-sinB=3sin Asin C-sin'C, 根据正弦定理可得a2一b=原ac-c2, 所以受<s血(B+晋)<1 所以+公-=原， 故12<6+43sin(B+号)≤6+4B. 又根据余孩定理可得c0sB=+。一：-区】 故△ABC周长的取值范图为(12,6+4√3 2ac 2 学业评价（四）复数的概念 因为B∈(0，m),所以B=开 6 1.A因为(a-1)+(a-1)i(a∈R)是实数，所以a-1=0, （2)国为5ar-2ah-20)=之 1 2acsin B. 解得a=1,故选A. 2.D因为2+ai=b-i,故b=2,故复数：=a+i的虚部为 即6=0 2,故选D. 由正孩定理可得如B=吾nC 3.ACD复数=x十yi,(x,y∈R), 则的实部是x,虚部为y,故A正确，B错误； 所以sinC= nB= 若=x十yi=1十2i,则x=1,y=2,故C正确： 当x=0且y≠0时，=yi是纯虚数，故D正确. 15.(1)解析由题意a一b-sinC-simB 4B周为：为绝虚数，所以m(m二)=0→m=0,故选B, sin A+sin B' m2-1≠0， 由正接定理可得一b=一b, |x2+2x=0, ca十b1 5.解析由题意得 .x2-3.x-2>2,1 .x=-2 即(a-b)(a+b)=c(c-b),∴.e2+b-a2=bc, 设@A+-7· 答案{一2) 6.解析对于复数a十bi(a,b∈R). 2bc 当a=0且b≠0时为纯虚数. 而A∈0，，藏A= 在①中，若a=一1， 则(a十1)i不是纯虚数，故①错误： (2)证明因为3c=3b十√3a,由正弦定理可得3sinC= 显然②正确.因为护=一1，且a>b, 3sin B+3sin A. 所以bi>a,故③正确」 答案②③ 所以3 osB-nB- 7,解析由题意得 m2-2m=0·解得m=2 m2-1>1, 2 答案2 即B--i血B=l,im(5-B)）=号 :8.解析设x,为方程的实根，则z。十(2a一iDx一ai十1=0， 所以x十2.x。十1-(xm十a)i=0, 周为Be(0,x0受-B∈(-至，晋) 所以{+2a+1=0. 则-B=B=晋， -(x十a)=0, 所以（一a)2-2a+1=0,得a2=1,所以a=士1. 故C=-- 9.AB设方程的实根为x=m, 故在Rt△ABC中，b=20c=2h 则3m-2m-1=(10-m-2m)i, 16.解析(1)由正弦定理可得a2--c2=c, 3m2-受m-1=0. A=-名 10-m-2m2=0. 2bc A∈(0，元)A=2 解得a=1或a=一召故选A,B 3 (2②)国为A+B+C=A=经：所以B+C=号，放C 10.C 由题意知 4-3a=a·解得a=-4. 3 -a=4a, /n-3m-1=-3, 吾-B(O<B<晋)片 11.解析“=心m-m一6=一4， 2=43. 6 由正孩定现得A sin B sin c sin牙 1n=-2 m=2,即m=2,n=士2. 答案2±2 所以b=43sinB, 析ey+2xi=21,之2y2,0解得 12.解析 c=43sinC=43sin(号-B) =4(停coB-sinB)片 y=-1 ly=1. 答案1,1 32