阶段测评(三) 空间几何体的表面积与体积-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册课后案·学业评价（人教B版2019）

@ :3,C因为正三枚柱ABC-A,B,C,的所有棱长均为a,且其 体积为163， 则S△Ax= dn60-g,所以Vr445=5m· M=只=16，解得4= C 4.D B D D A B 如图所示，由正四棱台可知，四边形ABCD为等腰梯形，且 答案28 AB=3√2，CD=2,BC=/1I,所以h=EF= 12.解析依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半 径为1，高为h的圆柱组合而成，于是儿何体的表面积S= /(T)-(32-2) =3, 2 4x×1°+2x×1×h=4π十2πh=12x,解得h=4, 所以该几何体的体积V=XI+xX1X4=16 所以V= 76(S+S+VS8)=号×3×1+9+3)=13， 3 3 31 故选D 答案16x 5.C设圆锥形稻谷推的底面半径为r尺， 3 13.解析(1)设圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为1，则 则底面周长为1=2r=30尺，解得r=15(尺).又高为 h=√T一R=/10-6=8cm,所以圆维体的高为 4尺， 8 cm. 所以维的体积为V-矿-号××()×4 (2)球放入圆锥体后的轴截面如 01 图所示，设球的半径为 7A 900≈100（立方尺）： 3π 易得△OCD∽△ACO· 89瓷 又100 62≈61.73（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.73斛. 6.C设圆雏底面半径为r,高为h,由题意知母钱长为l=2, 后-8。，解得r=3cm… 则S=元rl=2πr,h=√2-r=√/4-r, 圆锥体刺余的空间为圆锥的体积诚去球的体积， 所4一 即V。-V。=吉·x…6X8-吉·3 2xr 2 =96x-36π=60πcm. 3 ∴.此时圆锥体剩余空间的体积为60rcm 当且仅当r=√一7，即r=2时，等号成立，故选C 14.A设上、下圆柱的半径分别是rCm,Rcm(r<R),高分 7.D如图，圆O与AB切于点D,设球的半径为r, 别是hcm,Hcm.由水的体积不变得元RH+元r(20 则OA=2r,且AC=2O0C, H)-πrh十πR(28-h),整理得(R2-r2)(H+h)= 有AC=OA十OC,即4OC=4r 28R2一20r2,又r=1,R=3,故解得H+h=29,即这个简 +0C,得0c=22, 单几何体的总高度为29cm. 3 15.解析(1)连接AC(图略)，'矩形ABCD内接于⊙O. 所以水的体积 ∴AC为⊙O的直径 -x()·2-号 :AC=2,AB=r,∴.BC=√4-x, 2 .S=AB·BC=x√4-x(0<x<2). w, (2):长方体的高AA,=1, 2 r V=S·AA,=x√4-x 所以水的体积与球的体积之比是 4 r 6 =√T(4-x)=√-(x-2)+4, 3 0x<2,.0x2<4, 8.C把四棱锥P-ABCD补成一个长方体，如图，长方体的 对角线就是其外接球地是四校锥P-ABCD的外接球克径， ∴.当x2=2,即x=√2时，V取得最大值，此时V=2. 阶段测评（三）空间几何体的表面积与体积 1.B依题意圆柱的底面半径r=1,高h=2, 所以间柱的表面积S=2xr2+2πrh=2πX12+2πX1×2= 6x. D 2.A由该国维的底面半径为3m,母线长为5m,则该屋顶！ 的侧而积约为x×3×5=15πm. 44 设球半径为R,则(2R)=PA+AB+BC=50, 球表面积为S=4πR2=50元 13,解析(1)在正三棱维S-ABC中，S△=专·AB· 9.解析设圆锥的母线和底而圃的半径分别为(，r,根据侧 Bc·sin60°-3 ×2×2=5, 面展开图是一个雨积为4x的半国，可得：豆=4， 所以V=号5医·0=号×x1=9 2xr= 2 ·2π1，解得1=2√2，r=√2，进而可得圆维的高h= (2)连接CO延长交AB于E,连接SE,则E为AB的中 点，如图所示， V个-7-后，所以体积为日r-言X2x5-2 1 3 所以CE=2-1严=5，OE= 3 答案26 3 10.解析设△ABC的面积为a,底面ABC水平放置时，液 在直商三角形0E中.5E/(）+1=2 3 在△ABS中，SA=SB,所以SE⊥AB, 面高为h, 侧面AA,BB水平效置时，水的体积为V=号S· 所以5am=2×2x25_25 3 。 AM,=a16=12a 则表面积为35w+5ar=3×25+月=3原. 3 ah=12a,解得h=12. 所以当底面ABC水平放置时，液面高为12 答案12 11.解析当球为该圆锥的内切球时，此时球的半径最大，如 图所示， 又由SB=4,BE=2, B 14.解析(1)，该半球的直径d=8cm,.“浮球”的圆柱简 真径也是8cm,R=4cm, :两个丰球的体积之和为V。=亭R= 3xX64= 2m 又V黑=xR2h=π×16×3=48πcm2, 演“浮球”的休积是V=V十V。:=256m+48元 3 400 cm'. 3 期圆雏的高为SE=√SB一BE=√/16-4=23， (2)上下两个半球的表面积S啡k=4πR=4π×16= 64πcm2, 设圆雏的内切球与國锥相切于点C,球半径为r,则 “浮球”的圆柱简侧而积为S画#，=2xR新=2π×4X3= △SOC∽△SBE 24πcm, 可得器邵2-专：解得-2， .1个“浮球”的表面积为64π十24π=88πcm2, 4 3 .1000个“浮球”的表而积的和为1000×88x= 所以该球的表西积为xr=15示 88000πcm°， 3元 每平方厘米雾要涂胶0.02克，。共需要胶的质量为 答案9。 0.02×88000r=1760π（克）. 15.解析(1)依题意得BC=DE=3m,CD=BE=3m, 12.解析设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h, AE=2 m, 由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积 所以AD=√AE+DE-√A+9=√13m, 等于圆柱的体积， 所以画锥的侧面积为π·AD·DE=π·√13·3 由图1知相应国台的体积加上球在水面下的部分体积也 313xm2, 等于圆柱的体积， 圆柱的侧面积为2π·BC·CD=2π·3·3=18πm°， 故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水 所以该蒙古包的侧面积为(3√13+18)xm2. 的体积为V=x×4×1=16x, 2)国维的体积为号·AE·x·DE=号·2x·3 相应国台的体积为子×x××4一子×xX(4-)产× 6πm, (4-h)=64x_(4-h)2x 圆柱的体积为π·BC·CD=π·3·3=27πm2, 3 3 所以该蒙古包的体积为33mm. 所以16=-4-，解得6=4而=一22 16.解析(1)由题意及几何知识得， 3 设A,D=x.则AD=V3.x,A1B,=10-23.x 4-2×1.26=1.48cm. 因为4B=10-23x=3. 答案1.48 AD x 45 ⑧e 所以x=10(25-3) 即直线a与，点C同在平面B内 3 由公理2的推论1，可得平面a和平面3重合，则cCa. 该三棱柱的高为10(23-3) .a,b,c,l共面 3 cm. 证法二（纳入平面法） (2)由题意，(1)及几何知识得，正三棱柱的表面积为 :a∥b,∴a,b确定一个平面a. 163. A∈a.B∈b..A∈a,B∈a 设A,D=x,则AD=3.x,AB,=10-2√5x, 又A∈l,B∈l,.lCa. 则a,b,l都在平面a内， :表面积S=3AD·DD,+A-3r· 即b在a,l确定的平面内. 同理可证c在a,l确定的平面内， (10-25)+5(10-25x)°=165， :过a与l只能确定一个平面， a,b,l共面于a,l确定的平面. 解得x=√3， : 9.ABC在题图中，连接A,C1,AC, AD=5,AD=3.x=3,A1B=10-23x=4 则AC∩BD=O, 读三棱桂的体积为V-=A居·AD=××原= 又A,Cn平面C,BD=M. 4 .三，点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， 12cm. 即C1,M,O三点共线， 学业评价（十四）平面的基本事实与推论 : ,,A,B,C均正确，D不正确 :10.PC在A中，由正方形的四个顶点共面，知A错误：在B 1,ABDA错误，如果两个平面有三个公共点，当三点不共 中，由基本事实2及推论知空间四点不共面，则其中任何 线时，这两个平面重合： C正确，若MEa,MEB,a门B=h,则M∈（由装太进质3可 三点不共线，故B正确：在C中，由基本事实2及推论知 B错误，两条直线可以确定一个平面也可以异面： 空间四点中存在三点共线，则此四点共面，故C正确：在 D中，由正方形的四个顶，点共面，知D错误. 得)： :11.C先确定栽面上的已知边与几何体上和其共面的边的 D错误，空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平 交点，再确定栽面与几何体的棱的交点.设直线C,M,CD 面内，也可能不在同一平面内。 相交于点E,直线C,N,CB相交于点F,连接EF交直线 2C若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相变：若 AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C,MPQN为所 这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故选C. 求截而图形. 3.C在①中，若A∈1，A∈a,B∈a,B∈1，则由基本事实1知 lCa,故①正确：在②中，A∈a,A∈B,B∈a,B∈A,则由基本 事实3知a∩=AB,故②正确：在③中，若1过a,A∈l,则A 任a或A∈a,故③错误：在④中，若A,B,C∈a,A,B,C∈3， 且A,B,C不共线，则由基本事实2得口与9重合，故④正 确，故选C B 对于A,正痛对于B,a与日相交”染不出a与6相2，解析因为P∈AB,ABC平面A5C 交”，也可能a∥b,故B错误：对于C,正确：对于D,正方体 所以P∈平面ABC 的侧棱任惑两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D 又P∈a,平面ABC∩平面a=DE, 错误. 所以P∈直线DE. 5.解析 一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不 答案P∈直线DE 正确：②正确：三条互相平行的直线不一定共面，例如三投：13，证明不坊设AB≠AB,则四边形A,BB为梯形。 柱的三条侧棱，所以③不正确. AA,与BB相交，设其交点为S,则S∈AA,,S∈BB. 答案@ :BB,C平面BCCB,.S∈平而BCC,B. 6.解析将其中4点放在同一平面α上，另一点在平面a外， 则从4点中任取两点，共有6种方法，再与第5个点组成一 同理可证，S∈平面ACCA.点S在平而BCC,B,与平 个平面，所以共有6十1=7个平面. 而ACC,A1的交线上， 答案7 即S∈CC1,AA1,BB,CC,三线共点. 7,解析①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空 :14.解析连接PQ,AP. 间四边形：③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行 对于①，当0<CQ<号时，知因(1. 四边形：④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第 在平面AA,D,D内，过点A作AE∥PQ.交DD1于点E, 四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个 连接EQ,则S是四边形APQE 平面内：⑤中，点A和平面Q内的任意一条直线都能确定一 个平面。 答案③④ 8.证明证法一（城助平面法） "a∥b,.a,b确定一个平面a. A∈a,B∈b,∴.A∈a,B∈a 又A∈1，B∈1，.1Ca 2) 3)B (4) Cel,.C∈a, ∴.直线a与点C同在平面a内. 对于②，当CQ=2时，如图(2).连接D,Q,DA,BC,显 又a∥c,直线a,c确定一个平面B. 然PQ∥BC1,因为BC∥AD,所以PQ∥AD. C∈c,cCB,∴.C∈B, 则S是等腰梯形， 46阶段测评(三) 空间几何体的表面积与体积 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 7.在炎热的夏天里,人们都喜欢在饮品里放冰块 1.(2024·浙江杭州高一期中)已知圆柱的底面直 如图是一个高脚杯,它的轴截面是正三角形,容 径和高均为2,则该圆柱的表面积为 _ 器内有一定量的水,若在高脚杯内放入一个球形 A.4π B.6r 冰块后,冰块没有开始融化前水面所在的平面恰 C.8r D.16π 好经过冰块的球心O(水没有溢出),则原来高脚 2.(2024·福建三明高一期中)中国古代建筑具有 杯内水的体积与球的体积之比是 悠久的历史传统和光辉的成就,这些古建筑除了 具有历史背景方面的研究价值外,还有着几何结 构的研究意义,例如古建筑屋顶的结构形式就分 为:圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等,已 知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥,其母线 长为5m,底面的半径为3m,则该屋顶的侧面积 1 约为 ( A.1 A. 15rm{ B.12tm{} C.1 D C.10πtm{ D.9rm{} 3.(2024·天津河西高一期中)已知正三校柱ABC 8.据《九章算术》中记载,“阳马”是以矩形为底面, A.B.C的所有校长均为a,且其体积为16③,则 一楼与底面垂直的四校锥,现有一个“阳马”,PA ( n一 1底面ABCD,底面ABCD是矩形,且PA-5 B.2/3 A.2 AB-4,BC一3,则这个“阳马”的外接球表面积为 C.4 D.4③ A.5π B.200π 4.(2024·山西运城高一期中)已知一个正四梭台 C.50π D.100π 的上下底面边长为1,3,侧梭长为11,则梭台的 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 体积为 _~% 9.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为4x的半圆, A.411 B.13/TT 则该圆锥的体积为 3 C.12 D.13 10.如图,一个直三校柱形容器中盛有水,且侧梭 AA.=16.若侧面AA.B.B水平放置时,液面恰 5.(2024·贵州贵阳高一期中)《五曹算经》是我国 好过AC,BC,AC,B.C 的中点.当底面ABC 南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员 水平放置时,液面高为 编撰的一部实用算术书,其第四卷第九题如下 “今有平地聚粟,下周三丈,高四尺,问粟几何?” 其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆,底面周长 3丈,高4尺,那么这堆稻谷有多少解?”已知1丈 等于10尺,1解稻谷的体积约为1.62立方尺,圆 周率约为3,估算出堆放的稻谷约有 ( A.60.08解 B.171.24解 11.圆锥底面半径为2,母线长为4,则圆锥内半径最 C.61.73解 D.185.19解 大的球的表面积为 6.已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为S,体积 12.根据祖原理,界于两个平行平面之间的两个 几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截 如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的 ( ) 体积相等,如图1所示,一个容器是半径为R的 ## 半球,另一个容器是底面半径和高均为R的圆 B.1 柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥,这两 C.v② D.2 个容器的容积相等,若将这两容器置于同一平 29 ·数学·必修 第四册(配BJB版) 面,注入等体积的水,则其水面高度也相同,如 14.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半 图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为 球和一个圆柱简组成,已知球的直径是8cm,圆 10cm,里面注入高为1cm的水,将一个半径为 柱简长3cm 4 cm的实心球缓慢放入容器内,当球沉到容器 底端时,水面的高度为 cm.(注/②~ 3cn 1.26) 8cm (1)这种“浮球”的体积是多少cm (2)要在这样1000个“浮球”表面涂一层胶质 图! 图2 如果每平方厘米需要涂胶0.02克,共需胶多 三、解答题:本题共4小题,共40分,解答应写出文 少克? 字说明,证明过程或验算步骤 13.(8分)如图,已知正三 锥$一ABC的底面边长 为2,正三校锥的高50-1. (1)求正三梳锥S一ABC的体积 (2)求正三校锥S一ABC表面积 30 15.(10分)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子, 16.(12分)如图所示,现有一张边长为10cm的正 建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生 三角形纸片ABC,在三角形的三个角沿图中虚 活,蒙古包古代称作弯庐、“毡包”或“毡帐”,如 线剪去三个全等的四边形ADA.F,BD.B.E, 图1所示,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与 CE.C.F(剪去的四边形均有一组对角为直角) 一个圆柱的组合,如图2所示,已知该圆锥的高 然后把三个矩形A.B D. D,BC.E.E,A.C.FF 为2m,圆柱的高为3m,底面直径为6m. 折起,构成一个以A.B.C 为底面的无盖正三 楼柱. ,:。_ -.--C 图1 2 (1)求该蒙古包的侧面积; (1)若所折成的正三校柱的底面边长与高之比 (2)求该蒙古包的体积 为3,求该三校柱的高; (2)若所折成的正三校柱的表面积为163,求该 三楼杜的体积. 31