11.4.1 直线与平面垂直-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

数学·必修 第四册(配RJB版) 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 学业标准 素养目标 1.通过认识异面直线所成的角、直线与平面垂直 1.理解并会求异面直线所成的角,(重点 的定义等培养数学抽象核心素养. 2.了解直线与平面垂直的定义 2.通过垂直关系的证明,培养逻辑推理和直观想 3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并能 象核心素养 利用两个定理解决空间中的垂直关系问题,(重点。 3.通过根据线面垂直关系进行相关计算,培养数 难点) 学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 结论形成 1.定义;如果a,是空间中的两条异面直线 导学1异面直线所成的角 过空间中任意一点,分别作与a,b 问题1平面内两条直线平行与垂直时,它们 的直线a',6',则a'与b 所成的角分别为多少? ,称为异面直线a与所成角的 大小. 2.异面直线所成的角0的取值范围:0{ 0<900. 问题2 异面直线所成的角的大小与O点的位 3.垂真:空间中两条直线1, 时, 置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大 称与m垂直,记作1n. 小是否改变? 导学2 直线与平面垂直及其判定定理 问题1 将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起,将 翻折后的纸片竖起放置在 问题3 异面直线所成角的范围如何?什么 桌面上(BD,DC与桌面接触).观察折痕 是异面直线垂直 AD与桌面的位置关系,折痕AD与桌面 一定垂直吗? 82 第十一章 立体几何初步 问题2 在问题1中条件下,当折痕AD满足 导学3直线与平面垂直的性质 什么条件时,AD与桌面垂直? 问题1如果直线a垂直于平面g,直线在 平面;内,那么直线5与平面a有什么位 置关系? 问题3 直线与平面垂直,它和该平面内的任 意直线都垂直吗? 问题2 两条平行直线中的一条垂直于一个 O结论形成 平面,另一条也垂直于这个平面吗 1.直线与平面垂直 直线/与平面a垂直,指的是直线/与平 都 定义 面a内过它们公共点的 问题3 两条直线都垂直于同一个平面,这两 垂直. 条直线有什么位置关系? 记法 lla 画直线与平面垂 直时,通常把直线 图示及 结论形成 画成与表示平面 画法 1.线面垂直的性质 的平行四边形的 (1)如果两条平行直线中,有一条直线垂直 于一个平面,那么另一条直线 这 直线/与平面a垂直的充要条件是直 个平面. 性质 线/与平面a内的 (2)过空间中一点, 直线与已知平 即IaVmCa,llm. 面垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理(简称为线面 2.真线与平面垂直的性质定理(简称为线 垂直的判定定理) 面垂直的性质定理 如果一条直线与一个平面内的两条 如果两条直线垂直于同一个平面, 文字语言 文字语言 直线垂直,则这条直线与这个 那么这两条直线 平面垂直. 图形语言 图形语言 如果nCa,mCa,mOn=P,I Im 符号语言 lln,则zIa. 符号语言 如果la,ma,则l/m 83 数学·必修 第四册(配RJB版) 导学4直线与平面所成的角 3.根据线面垂直,我们可以求点到平面的距 离,进而可以求直线与平行平面间的距离 斜拉桥又称斜张桥,是 将主梁用许多拉索直接 和两个平行平面间的距离 拉在桥塔上的一种桥 1基础自测 梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 组合起来的一种结构体系,其可看作是拉 (1)若直线/与平面a内的两条直线垂直 索代替支墩的多跨弹性支承连续梁,其可 则Ia. ) 使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了 (2)若直线1与平面a内的无数条直线垂 结构重量,节省了材料,斜拉桥由索塔、主 直,则/Ia. ( ) 梁、斜拉索组成 (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个 问题1 图中拉索所在直线与桥面都是相交 平面,那么另一条也和这个平面垂直 的关系,其倾斜程度相同吗? ( ) (4)两条异面直线a,b所成的角?为120{ ) 问题2 能用角来表示直线与平面相交时不 2.在正方体ABCD-A.B.C.D.的六个面 同的倾斜程度吗? 中,与AA,垂直的平面的个数是 ) A.1 B.2 C.3 D.6 间题3 直线与平面所成的角是空间角,能和 3.(多选题)如果直线/与平面a不垂直,那 异面直线所成角一样把空间角转化为平面 ( 么下列结论不正确的为 _~ 角吗? A.在平面a内不存在与/垂直的直线 B.在平面;内存在一条与/垂直的直线 C.在平面;内存在无数条与/垂直的直线 结论形成 D.在平面。内任意一条都与/垂直 1. 直线与平面所成的角; 4.如图,BCA=90*},PC平面ABC,则在 如图所示,Aa,Ca, △ABC,△PAC的边所在的直线中; AC与a不垂直,AB工& a,则称AC是平面a的斜线段,称为平面。 的 ,C为 ,直线BC称为 直线AC在平面;的 称为直线AC与平面a所成的角. (1)与PC垂直的直线有 2. 直线与平面所成角的取值范围为:[0{*},90^{} (2)与AP垂直的直线有 84 第十一章 立体几何初步 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 两条异面直线所成的角 题型二 直线与平面垂直的判定 一题多变 例1 如图所示,在正方体 例2 如图,PA工平面 ABCD-EFGH中,O为 ABCD,底面ABCD为 侧面ADHE的中心,求, 矩形,AE PB于E, (1)BE与CG所成的角 AFIPC于F. (2)FO与BD所成的角. (1)求证PC |平面AEF; [自主解答] (2)设平面AEF交PD干G.求证AG PD [自主解答] [母题变式] 1.(变条件、变结论)若本例中,底面ABCD 是菱形,H是线段AC上任意一点,其他条 件不变,求证:BDFH. 规律万法 求异面直线所成的角,通常把异面直线平移 到同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注 意异面直线所成的角8的范围是0{}<090*. [触类旁通] 1.(2024·安微六安高一期中)如图,已知正 四梳锥P-ABCD的所有梭长均为2,E 为PA的中点,则异面直线BE与PC所 2.(变条件、变结论)若本例中PA三AD,G 成角的余弦值为 ( ) 是PD的中点,其他条件不变,求证:PC 平面AFG. C 85 数学·必修 第四册(配RJB版 规律万法 [触类旁通] 证明线面垂直的方法 3.如图所示,正方体ABCD-A.B.C.D.中, (1)线面垂直的定义, EF与异面直线AC,A.D都垂直相交,求 (2)线面垂直的判定定理 证:EF/BD. (3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平 C 面,那么另一条直线也垂直于这个平面, B: (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个 平面,那么它也垂直于另一个平面, [触类旁通] 2.如图,在三梭锥P-ABC中,D,E分别为 AB,PB的中点,EB=EA,且PA|AC. PC BC.求证:BC |平面PAC 题型四 直线与平面所成的角 例4 在长方体ABCD-A.BCD. 中,AB =1,BC=2,AA. =5,则A.C与平面 ( ABCD所成角的正切值为 ) A B.2 D.5 题型三 线面垂直的性质及应用 规律万陆 例3如图,gOB-I,PAg; PB |B,垂足分别为A,B 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图;作(或我)出斜线在平面内的射影,作射 aCg,a AB.求证:a/1. [自主解答] 影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜 足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置 要与问题中已知量有关,才能便于计算 (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成 过的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直 角三角形中计算. [触类旁通] 规律万法 4.(2024·重庆高一期末)如图,在长方体 证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直 ABCD-A.BCD 中,AB=2,BC=CC =1 于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图 则直线AC.与平面BB.C.C所成角的余 形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面, 弦值是 ( ) 86 第十一章 立体几何初步 D C 由AB=5,AC=6. 得$DO=BO=AB^{}-AO}=4...($5 分) 所以OH=1,D'H=DH=3.......(6 分) A B B.# 于是OD^{②}+OH^{}=(2②){②+-1失分警示- ③未用勾股定理 1*-9-DH^2, 扣掉2分..... 证明OD'10H . 故OD1OH{③} .......................................... (8分) [缜密思维提能区] 规范答题 由(1)知,AC1HD’, 线面垂直的判定及其应用 又AC| BD,BDOHD'=H. [典例](13分)如图,菱 所以AC| 乎面BHD',于是AC OD' 形ABCD的对角线AC与 ---D 又由OD'1OH,ACOOH=O BD交于点O,点E,F分 所以OD1平面ABC^{}。.. -1失分警示-- 别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点 ④处未证明 ................(1.分) 扣掉2分。 0D1平面ABC H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置 (1)证明AC1HD 2 五边形ABCFE的面积 69 2.2,求五校锥D'-ABCFE的体积 4: ............ [审题指导] (1)菱形ABCD中,易证 .....................1.分) EF//HD',又AC//EF,..AC HD' 所以五校锥D一ABCFE的体积 (2)先证OD'1平面ABCFE,再根据梭锥 -1失分警示-- 2 的体积计算公式求解即可, 处运算错误 扣掉2分. [规范解答] (1)证明 由已知得AC] .....................分) BD,AD=CD 课堂小结 又由AE=CF得AE_CF -1失分警示- 知识落实 1ADCD' 技法强化 ①处未证明 故AC/EF^{}......(2分) AC/EF扣掉2分 (1)本节课应 (1)异面直线所成的角 由此得EFHD. 用了转化的思 (2)直线与平面垂直的定义 故EF |HD' -1失分警示-- 想方法. (3)直线与平面垂直的判定定理 ②处未证明 所以ACIHD^{② ......... (2)要准确寻 EF1HD扣掉2分. (4)直线与平面垂直的性质定理 (4分) .................. 找直线与平面 (5)直线与平面所成的角 所成的角. (2)由EF/AC得 请完成[课后案]学业评价(十八) 87[触类旁通] [基础自测门] 3.()证明如图，取PD的中点H, 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 连接AH,NH,由N是PC的中点，H是PD的中点，知 2.B仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直. NH∥DC,NH=2DC 3.ABD若lCa,显然在a内存在无数条直线与l垂直； 若l∥a,过l作平面B,使na=1,则l∥t, 由M是AB的中点知AM∥DC,AM=号DC. :在。内存在无数条直线与'垂直，从而在a内存在无数 条直线与l垂直； 若l与a斜交，设交点为A,在l上任取一点P, 过P作PQ⊥a,垂足为Q,在a内存在无数条直线与AQ 垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即)垂直. 4.解析(1)因为PC⊥面ABC,AB,AC,BCC平面ABC.所 以PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC. (2)∠BCA=90°即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC=C,所 .NH∥AM,NH=AM, 以BC⊥面PAC,因为APC面PAC,所以BC⊥AP. 答案(1)AB,AC,BC(2)BC ∴.四边形AMNH为平行四边形 ∴.MN∥AH 课堂案·互动探究 由MN亡平面PAD,AHC平面PAD,知MN∥平 [例1][解析](1)如图，因为CG∥ 面PAD BF,所以∠EBF(或其补角)为异面 (2)解析当Q是PB的中点时， 直线BE与CG所成的角， 平面MNQ∥平面PAD, 又在△BEF中，∠EBF=45°，所以 M,N分别是AB,PC的中点， BE与CG所成的角为45°. 若Q为PB的中点，别MQ∥PA,NQ∥BC. (2)连接FH,因为HD∥EA,EA∥ 又底面平行四边形ABCD中，BC∥AD FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所 '.NQ∥AD,又MQ寸平面PAD,则MQ∥平面PAD,同 以四边形HFBD为平行四边形， 理，NQ∥平面PAD, 所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO 又Man NQ=Q,MQ,NQC平面MNQ, 与BD所成的角. ∴.平面MNQ∥平面PAD. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF, 11.4空间中的垂直关系 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 11.4.1直线与平面垂直 所以∠HFO=30°，即F0与BD所成的角为30 课前案·自主学习 [触类旁通] [教材梳理] 1.B连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB, 导学1 问题1[提示]平行时0°，垂直时90°. 问题2[提示]这个角的大小与O点的位置无关. 问题3[提示]异面直线所成角的范国为(0°，90门，如果 两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线 互相垂直，记为a⊥b. ©结论形成 1.平行或重合所成角的大小 由题意知，EO∥PC,则异面直线BE与PC所成的角为 3.所成角的大小为90 导学2 ∠BEO(或其补角)， 问题1[提示]不一定. 在△BE0中，EO=1,BO=√2，BE=3, 问题2[提示]当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与 剥cOS∠BEO=BE+EO-BO-B 桌面垂直。 2BE·EO 问题3[提示]垂直 ⊙结论形成 则异面直钱BE与PC所成角的余孩值为。 1.所有直线 一边垂直任意直线都垂直 [例2][证明](1)因为PA⊥平面ABCD,BCC平面 2.相交 ABCD,所以PA⊥BC. 导学3 又AB⊥BC,PA∩AB=A, 问题1[提示]垂直 所以BC⊥平面PAB,AEC平面PAB, 问题2[提示]垂直， 所以AE⊥BC,又AE⊥PB,PB∩BC=B, 问题3「提示] 平行 所以AE⊥平面PBC,PCC平面PBC, 。结论形成 所以AE⊥PC. 1.(1)也垂直于(2)有且只有一条 又因为PC⊥AF,AE∩AF=A, 2.平行 所以PC⊥平面AEF 导学4 (2)由(1)知PC⊥平面AEF, 问题1[提示]不同. 所以PC⊥AG, 问题2[提示]能. 同理CD⊥平面PAD,AGC平面PAD, 问题3[提示]能. 所以CD⊥AG,PC∩CD=C, ○结论形成 所以AG⊥平面PCD,PDC平面PCD, 1.斜线斜足射影 ∠ACB 所以AG⊥PD. 21 @ [母题变式] [例4][解析]连接AC,在长方体ABCD-A:B,CD中，AA 1.证明因为四边形ABCD是菱形， ⊥平面ABCD, 所以BD⊥AC, D 又PA⊥平面ABCD, BDC平面ABCD, B 所以BD⊥PA, 因为PAC平面PAC,ACC平面 PAC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,FHC平 面PAC, Di.--- 所以BD⊥FH. 2.证明因为PA⊥平面ABCD,DCC平面ABCD, B 所以CD⊥PA, ∴∠A,CA是AC与平面ABCD所成的角， 又因为ABCD是矩形，所以CD⊥AD, 又AB=1,BC=2, 又PA∩AD=A, AA1=5,所以AC 所以CD⊥平面PAD,又AGC平面PAD, √AB+BC8-5, 所以AG⊥CD, 图为PA=AD,G是PD的中点， 在直角△ACA中，n∠ACA=4=5=5,即AC与平 所以AG⊥PD,又CD∩PD=D, 所以AG⊥平面PCD,所以PC⊥AG, 面ABCD所成角的正切值为5 又因为PC⊥AF,AG∩AF=A, [答案]D 所以PC⊥平面AFG. [触类旁通] [触类旁通] 4.C如图，连接BC,显然，在长方体ABCD-A1BCD中，AB 2.证明：在△AEB中，D是AB的中点，EB=EA, ⊥平面BBCC,故∠ACB即为直线AC与平面BBCC所成 ED⊥AB,E是PB的中点，D是AB的中点， 的角， ∴.ED∥PA,.PA⊥AB, 在Rt△ACB中，AB=2,CB=√/BC+CC=2,∴AC= 又PA⊥AC,AB∩AC=A,ABC平面ABC, ACC平面ABC, √JAB+CB=√2+W2)=6, .PA⊥平面ABC,BCC平面ABC .cos∠AC,B ∴.PA⊥BC, 忍-晨-停t速C AC,√6 又PC⊥BC,PA∩PC=P,PAC平面PAC, D PCC平面PAC, ∴.BC⊥平面PAC [例3][证明]PA⊥a,lCa,.PA⊥l.同理PBLL. D PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB,.L⊥平面PAB. 又PA⊥a,aCa,.PA⊥a. a⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 11.4.2平面与平面垂直 a⊥平面PAB. 课前案·自主学习 .a∥1. [教材梳理] [触类旁通] 导学1 3.证明连接AB1,BC,BD,B1D1,如图所示. 问题[提示]二面角。 ⊙结论形成 1.半平面二面角棱面a-1-BP-1-Q 2.棱射线OA和OB所成的角①平面角直角②不大 于90° D 导学2 问题1[提示]垂直. 问题2[提示]垂直. 因为DD,⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, ©结论形成 所以DD1⊥AC. (1)大小为90°(2)垂线 又图为AC⊥BD,BD∩DD,=D, 导学3 所以AC⊥平面BDD1B, 问题1[提示]都是垂直 所以AC⊥BD, 问题2[提示]容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地 同理BD1⊥B,C,又AC∩B,C=C, 面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直 所以BD⊥平面ABC. 线，则所画直线必与地面垂直 图为EF⊥A1D,且A1D∥BC, ⊙结论形成 所以EF⊥BC. 一个平面 交线垂直 又图为EF⊥AC,AC∩BC=C [基础自测] 所以EF⊥平面ABC,所以EF∥BD, 1.(1)×(2)/ (3)/(4)/ 22