11.3.3 平面与平面平行-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

te 所以FO∥CG.又O为AC中点， .EG∥平面PAB, 所以F为AG中点，所以FG=GP=1, E,F分别是PC,PD的中点， 所以E为PD中点，PE:ED=1:1. .EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AB. [母题变式] :EF过平面PAB,ABC平面PAB, 解析取PC的中点N,连接MN,ND,即为所求. ∴.EF∥平面PAB, 又EF∩EG=E,EFC平面EFG,EGC平面EFG, ∴.平面EFG∥平面PAB. [触类旁通] 1.证明(1)在三棱柱ABC-A1B,C1中， 平面A1B1C1∥平面ABC,平面BCHG∩平面ABC=BC, 平面BCHG∩平面A1B,C1=GH, 故BC∥GH. 理由如下： (2):在三棱柱ABC-A,B,C1中， 设平面ADM与PC相交于点N,连接MN,DN, E,F,G分别是AB,AC,A1B的中点，A1G∥BE,A1G= 因为AD∥BC,AD寸平面PBC,BCC平面PBC, BE. 所以AD∥平面PBC, ∴.四边形BGAE是平行四边形，∴A,E∥BG, 又ADC平面ADM,平面ADM∩平面PBC=MN, :BG丈平面AEF,AEC平面AEF,·BG∥平 所以AD∥MN,所以MN∥BC,又M为PB的中点， 面AEF 所以N为PC的中点，交线即MN,ND, 又EF∥BC,BC寸平面A,FE,EFC平面A,EF,∴.BC∥平 [触类旁通] 面AEF 3.C由于AD∥平面PEF,ADC平面ACD,平面ACD∩平 又BG∩BC=B,BG,BCC平面BCHG, 面PEF=FG, .平面EFA1∥平面BCHG. 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. [例2](1)[解析]因为AcnBD=P, 由于点D,E分别为棱PB,BC的中点，点G为CD,PE的 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为a∥B,a∩ 交点， 平面PCD=AB,Bn平面PCD=CD, 所以G是三角形PBC的重心， 所以能-瓷 所以AB/m所以是品号-8B巴 所以BD=24 5 11.3.3平面与平面平行 课前案·自主学习 [答案]碧 [教材梳理] (2)[证明]连接D1D, 导学1 因为D与D,分别是BC与B,C,的中点， 问题1[提示]如果两个平面有一个公共点，那么由基本事 所以DD1LBB, 实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线：如果两个 又BB1LAA1,所以DD1LAA, 平面没有公共，点，那么就说这两个平面相互平行. 所以四边形A,D,DA为平行四边形 问题2[提示]平行. 所以AD∥AD, 问题3[提示]不一定，也可能相交， 又平面A1B1C∥平面ABC,且平面A1B,C∩平面 ©结论形成 A1D1B=AD,平面A1D1B∩平面ABC=L1, 2.两条相交 所以AD1∥l1,同理可证：AD∥L2, 3.相交两条直线 因为AD1∥AD,所以1∥L2: 导学2 [母题变式] 问题1[提示]是的. 解析与例2(1)同理，可证AB∥CD. 问题2[提示]平行. O结论形成 所以隐-器即号-即，所以BD=2 8 平行 [触类旁通] [基础自测] 2.AB平面APC即为平面ACC,A,MN∥AC,AC1∥ 1.(1)×(2)/(3)×(4)√ AC,即MN∥AC,而ACC平面ACC,A1, 2.B因为直线a∥a,a∥B,所以在平面a,B中必分别有一直 因此有MN∥平面ACCA1,所以A正确，由平面BCCB1 线平行于a,不妨设为m,n,所以a∥m,a∥n,所以m∥n ∥平面ADDA1,又BQC平面BCCB,故BQ∥平面 又a,B相交，m在平面a内，n在平面B内，所以m∥B,所以 ADD,A1,所以B正确.平面APC即为平面ACC1A,A, m∥b,所以a∥b. P,C共线，所以A,P,M三点不共线，所以C不正确. 3.解析由正方体图形特点，知直线AB1与平面CC,DD 平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以D不正确 和平面ABCD平行 [例3][解析]当F是梭PC的中 答案2 点时，BF∥平面AEC,证明如下： 4.解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的 取PE的中点M,连接FM,BM,则 交线是平行的. FM∥CE, ① 答案平行 由EM=号PE=ED,知E是MD 课堂案·互动探究 的中点，设BD∩AC=O,则O为BD的中点，连接OE, [例1][证明] E,G分别是PC,BC的中点， 则BM∥OE, ② .EG∥PB, 由①②可知，平面BFM∥平面AEC,又BFC平面BFM, 又EG平面PAB,PBC平面PAB, 所以BF∥平面AEC. 20 [触类旁通] [基础自测门] 3.()证明如图，取PD的中点H, 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 连接AH,NH,由N是PC的中点，H是PD的中点，知 2.B仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直. NH∥DC,NH=2DC 3.ABD若lCa,显然在a内存在无数条直线与l垂直； 若l∥a,过l作平面B,使na=1,则l∥t, 由M是AB的中点知AM∥DC,AM=号DC. :在。内存在无数条直线与'垂直，从而在a内存在无数 条直线与l垂直； 若l与a斜交，设交点为A,在l上任取一点P, 过P作PQ⊥a,垂足为Q,在a内存在无数条直线与AQ 垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即)垂直. 4.解析(1)因为PC⊥面ABC,AB,AC,BCC平面ABC.所 以PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC. (2)∠BCA=90°即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC=C,所 .NH∥AM,NH=AM, 以BC⊥面PAC,因为APC面PAC,所以BC⊥AP. 答案(1)AB,AC,BC(2)BC ∴.四边形AMNH为平行四边形 ∴.MN∥AH 课堂案·互动探究 由MN亡平面PAD,AHC平面PAD,知MN∥平 [例1][解析](1)如图，因为CG∥ 面PAD BF,所以∠EBF(或其补角)为异面 (2)解析当Q是PB的中点时， 直线BE与CG所成的角， 平面MNQ∥平面PAD, 又在△BEF中，∠EBF=45°，所以 M,N分别是AB,PC的中点， BE与CG所成的角为45°. 若Q为PB的中点，别MQ∥PA,NQ∥BC. (2)连接FH,因为HD∥EA,EA∥ 又底面平行四边形ABCD中，BC∥AD FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所 '.NQ∥AD,又MQ寸平面PAD,则MQ∥平面PAD,同 以四边形HFBD为平行四边形， 理，NQ∥平面PAD, 所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO 又Man NQ=Q,MQ,NQC平面MNQ, 与BD所成的角. ∴.平面MNQ∥平面PAD. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF, 11.4空间中的垂直关系 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 11.4.1直线与平面垂直 所以∠HFO=30°，即F0与BD所成的角为30 课前案·自主学习 [触类旁通] [教材梳理] 1.B连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB, 导学1 问题1[提示]平行时0°，垂直时90°. 问题2[提示]这个角的大小与O点的位置无关. 问题3[提示]异面直线所成角的范国为(0°，90门，如果 两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线 互相垂直，记为a⊥b. ©结论形成 1.平行或重合所成角的大小 由题意知，EO∥PC,则异面直线BE与PC所成的角为 3.所成角的大小为90 导学2 ∠BEO(或其补角)， 问题1[提示]不一定. 在△BE0中，EO=1,BO=√2，BE=3, 问题2[提示]当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与 剥cOS∠BEO=BE+EO-BO-B 桌面垂直。 2BE·EO 问题3[提示]垂直 ⊙结论形成 则异面直钱BE与PC所成角的余孩值为。 1.所有直线 一边垂直任意直线都垂直 [例2][证明](1)因为PA⊥平面ABCD,BCC平面 2.相交 ABCD,所以PA⊥BC. 导学3 又AB⊥BC,PA∩AB=A, 问题1[提示]垂直 所以BC⊥平面PAB,AEC平面PAB, 问题2[提示]垂直， 所以AE⊥BC,又AE⊥PB,PB∩BC=B, 问题3「提示] 平行 所以AE⊥平面PBC,PCC平面PBC, 。结论形成 所以AE⊥PC. 1.(1)也垂直于(2)有且只有一条 又因为PC⊥AF,AE∩AF=A, 2.平行 所以PC⊥平面AEF 导学4 (2)由(1)知PC⊥平面AEF, 问题1[提示]不同. 所以PC⊥AG, 问题2[提示]能. 同理CD⊥平面PAD,AGC平面PAD, 问题3[提示]能. 所以CD⊥AG,PC∩CD=C, ○结论形成 所以AG⊥平面PCD,PDC平面PCD, 1.斜线斜足射影 ∠ACB 所以AG⊥PD. 21O数学·必修第四册（配RJB版） 11.3.3 平面与平面平行 学业标准 素养目标 1.借助几何体判定平面与平面的位置关系， 1.掌握平面与平面的位置关系。 培养直观想象、逻辑推理核心素养」 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用 2.通过根据平行关系进行相关计算，培养数 两个定理解决空间中的平行关系问题.（重点、难点）》 学运算核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 2.平面与平面平行的判定定理（简称为面面平行 的判定定理) 导学1平面与平面平行的判定 如果一个平面内有 直线分别 问题1如何从有无公共点的角度理解两平 文字 平行于另一个平面，那么这两个平面 面位置关系？ 语言 平行 图形 语言 问题2三角板的两条边所在直线分别与 平面α平行，这个三角板所在平面与平 符号 如果lCa,mCa,l∩m=P,l∥B,m∥B, 面a平行吗？ 语言 则a∥B. 3.面面平行的判定定理的推论 如果一个平面内有两条 直线分别 问题3若一个平面内有无数条直线平行于 平行于另一个平面内的 ,则这两 另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 个平面平行. 导学2平面与平面平行的性质定理 ◎结论形成 问题1在正方体ABCD-A,B,CD1中，平面 1.两平面的位置关系及表示 AB,CD中的所有直线都平行于平面 位置 相交 平行 ABCD吗？ 关系 公共点 有无数个公共点 没有公共点 问题2在正方体ABCD-A1B,C1D1中，过 图形 语言 BC的平面交平面A,B1CD1于BC1, BC1与BC是什么关系？ ! 符号 a∩B=l a∥e 语言 78 第十一章立体几何初步。 ◎结论形成 (2)若一个平面内的两条相交直线分别平 平面与平面平行的性质定理 行于另一个平面内的两条直线，则这两个 (简称为面面平行的性质定理)》 平面平行. () (3)若一个平面内的无数条直线都与另一 文字 如果两个平行平面同时与第三个平面 语言 相交，那么它们的交线 个平面平行，则这两个平面平行.() (4)已知平面a,B,Y,若a∥B,B∥y,则a∥Y () 图形 2.已知直线a∥平面a,a∥平面B,a∩3=b, 语言 则a与b () A.相交 B.平行 符号 C.异面 D.共面或异面 如果a∥B,a∩y=l,3∩y=m,则l∥m 语言 3.正方体ABCD-A,BC,D1的各个面中与 直线AB1平行的平面有 个 基础自测 4.过正方体ABCD-A,BCD1的三个顶点 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面 (1)若一个平面内的两条直线都与另一个 的交线为1，则l与AC,的位置关系是 平面平行，则这两个平面平行， ( 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规律方法 题型一 平面与平面平行的判定 利用判定定理证明面面平行，必须具备两个 例1如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F,G 条件： 分别是PC,PD,BC的中点，DC∥AB,求 (1)有两条直线平行于另一平面； 证：平面PAB∥平面EFG. (2)这两条直线必须相交. [触类旁通] 1.(2024·山东枣庄高一期中)如图所示，在 三棱柱ABC-A,B,C1中，过BC的平面与 [自主解答] 上底面AB,C1交于GH(GH与B,C,不 重合). B 79 ©数学·必修第四册（配RJB版） (1)求证：BC∥GH; 规律方法 (2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中 利用面面平行的性质定理判断两 点，求证：平面EFA∥平面BCHG 直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条 直线中的一条； (2)判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接 给出)： (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平 面上； 题型二 平面与平面平行的性质 一题多变 (4)由定理得出结论： 例2(1)如图，已知平面 [触类旁通] a∥B,Pa且PtB,过 2.(多选题)如图所示，在正方体ABCD 点P的直线m与a,3 A1BCD1中，M,N,P,Q分别是线段 分别交于A,C,过点P的直线n与a,B分别交 CD1,AD,BD,BC的中点，给出下面四 于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则 个结论，其中正确的序号为 BD= D (2)如图所示，已知三棱锥 ABCA1B,C1中，D是BC 的中点，D1是BC1的中 点，设平面ADB∩平面 ABC=L1,平面ADC,∩平 A.MN∥平面APC 面A1BC1=l2,求证：l1∥L2 B.BQ∥平面ADD1A [自主解答] C.A,P,M三点共线 D.平面MNQ∥平面ABCD 题型三线线、线面、面面平行的综合应用 例3如图所示，在底面是平 行四边形的四棱锥 P-ABCD中，点E在PD [母题变式] 上，且PE：ED=2:1, (变条件)将本例(1)改为：若点P位于平 在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面 面α，3之间（如图），其他条件不变，试求 AEC?并证明你的结论， BD的长. [自主解答] 80 第十一章立体几何初步。 规律方法 [审题指导]先找CD的中点K,证明平 空间中线、面平行关系的转化 面MNK∥平面ADD,A1,进而证明MN∥ 平面与平面平行的判定 直线与平面 平面与平面 平面ADD1A1 直线与直 平行的别发 平行的判 线平行 直线与平面 平面与平面 [规范解答]如图，取CD的中点K, 平行的性质 平行的性质 平面与平面平行的性质 连接MK,NK. ,1失分警示卜 [触类旁通] ①处此辅助线作 (2分)》 错扣掉2分. 3.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在 因为M,N,K分别是AE, 平面外一点，M,N分别是AB,PC的 CD1,CD的中点， 中点. 所以MK∥AD,NK∥DD1. …(4分) 又MK中平面ADD1A1, 失分警示卜 (1)求证：MN∥平面PAD; 若漏掉②处 ADC平面ADD1A1. 扣掉2分， (2)在PB上确定一个点Q,使平面 MNQ∥平面PAD. 所以MK∥平面ADD,A”, 0来044中000中0卡中为4中04卡0卡00中中0年00000 (7分) 同理NK∥平面ADD1A· ,1失分警示卜 若③处面面平行 (9分) 的判定定理条件 不全扣掉2分， 又MK∩NK=K, 所以平面MNK∥平面ADD,A. ………（11分） 又MNC平面MNK, 所以MN∥平面ADD1A1·…(13分) 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)证明面面平行及 [缜密思维提能区] 规范答题 (1)平面与平面平行的判定线面平行注意应用 空间中线、面平行的综合应用 定理及推论， 转化思想. [典例](13分)如图，在长 (2)平面与平面平行的性质 (2)证明问题时要把 方体ABCD-A1BCD 定理及推论。 平面与平面平行的 中，E是BC的中点，M,N 条件写全面， 分别是AE,CD的中点.求证：MN∥平面 ADD A. 请完成[课后案】学业评价（十七） 81