11.3.2 直线与平面平行-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第十一章 立体几何初步 [触类旁通] 课堂小结 3.(2024·黑龙江佳木斯高一期中)三梭柱 知识落实 技法强化 ABC-A.B.C. 中,D,E,F分别是AB, (1)平行直线与异面(1)判断两条直线的方法有 直线. 定义法、反证法和定理法. BC.A.C. 中点,则下列与直线A.D异面 (2)空间平行线的传(2)本节课的易错之处为不 的直线为 ( ) 递性和等角定理. 能把平面知识转化到空 (3)空间四边形. 过间中. A.直线CE B.直线CF C.直线EF D.直线BB 请完成[课后案]学业评价(十五) 11.3.2 直线与平面平行 学业标准 素养目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平 1.通过线面平行问题的证明,培养逻辑推理核心 面的位置关系 素养. 2.学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位 2.借助几何体判定直线与平面的位置关系,培养 置关系.(重点) 直观想象核心素养 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能利 I 3.通过根据平行关系进行数值计算,培养数学运 用两个定理解决空间中的平行关系问题,(重点、难点) 算核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学1直线与平面平行的判定 问题1 直线与平面有几种位置关系? 问题3 如图,平面a外的直线a平行于平面 a内的直线6.这两条直线共面吗?直线 与平面;相交吗 问题2 如图,一块矩形木板ABCD的一边 AB在平面g内,把这块木板绕AB转动, 在转动过程中,AB的对边CD(不落在。 内)和平面a有何位置关系? 73 数学·必修 第四册(配RJB版) O结论形成 续表 直线与平面平行的判定定理 (简称为线面平行的判定定理) 图形语言 如果 的一条直线与 的 文字语言 一条直线平行,那么这条直线与这 符号语言 如果l/lg,lCB,aOB-m,则l/ m. 个平面平行。 I基础白测 图形语言 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)直线/上有无数个点都在平面。外,则 符号语言 如果la,mCa,l/m,则l/a. 直线/与平面a平行 ) 导学2直线与平面平行的性质 (2)直线1与平面;平行,则直线1上有无 数个点都在平面g外 ( 问题1如图,直线1/平面g,直线aC平面 ) g,直线 与直线。一定平行吗?为什么? (3)若直线/在平面;外,则直线1与平面 a没有公共点. ) ( (4)若a/a,bCa,则a/b ) 2. 在正方体ABCD一A.BCD 中,E是 DD.的中点,则BD 与平面ACE的位置 关系是 ( ) A.相交 问题2如图,直线l/平面 B.平行 C.BD.C平面ACE a,直线1C平面B,平面。 D.相交或平行 0平面B一直线 ,满足 3.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F 以上条件的平面B有多少个?直线1,m有 G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点, 什么位置关系? EH//FG,则EH与BD的位置关系是 ( 结论形成 直线与平面平行的性质定理 C A.平行 (简称为线面平行的性质定理) B.相交 C.异面 D.不确定 如果一条直线与一个平面平行,日 4.已知/,zn是两条直线,a是平面,若要得到 经过这条直线的平面与这个平面相 文字语言 交,那么这条直线就与两平面的交 “1/a”,则需要在条件“mCa,l//m”中另外添 线平行. 加的一个条件是 第十一章 立体几何初步 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 [触类旁通] 直线与平面平行的判定 1.如图,四边形ABCD是平行四边形,P是 例1如图,在正方体ABCD-A.B.C.D. 中. 平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC E,F,G分别是BC,CC.,BB. 的中点,求 的中点,求证:MN//平面PAD 证:EF//平面ADG D. C 1--/C E B [自主解答] 题型二 直线与平面平行性质定理的直接应用 例2 如图所示,已知P是 平行四边形ABCD所在 平面外一点,E是PC的 中点,在DE上任取一点 F,过点F和AP作平面PAGF交平面 BDE于FG,求证:AP//GF [自主解答] 规律万法 (1)应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个 条件必须都具备,缺一不可。 (2)要明确解题思路是用直线与直线平行判定直 线和平面平行,应用时,只需在平面内找到一条直 线与已知直线平行即可,简单地说,线/线→ 过线/面. 75 数学·必修 第四册(配RJB版) 规厉法 题型三 与线面平行有关的计算问题 应用线面平行的性质定理时,关键是过已知 一题多变 直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已 例3 如图,四梭锥P-ABCD中,底面ABCD 知直线平行,还可以利用交线判断已知平面内任 是平行四边形,且PA=3.F在楼PA上,目 意一条直线与已知直线的位置关系,即在已知平 AF=1,E在楼PD上.若CE/平面BDF,求 面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行, PE:ED的值 所有与交线相交的直线都与已知直线异面. [触类旁通] 2.(2024·江苏连云港高一期中)如图,在三 校柱ABC-A.B.C. 中,M为B.C 的中 点,设平面A.BM与侧面ACC.A. 的交线 为乙.证明:AC/1 [自主解答] -....C [母题变式] (变条件、变结论)本例中增加条件“M是 PB的中点”,试作出平面ADM与四梭锥 P-ABCD的侧面PBC和PCD的交线. 并说明理由. 76 第十一章 立体几何初步 [素养聚焦] 本例通过解决与线面平行有关 (1)GH//平面ACD; 的性质问题,培养直观想象、逻辑推理核心 (2)AB/EH 素养. [审题指导] (1)易得EF/GH,根据线 规霍万法 面平行的判定定理易得结论 用线面平行性质定理解决有关计算问题的 (2)先证EH/平面ABC,再根据线面平 三个要点 行的性质定理证明结论 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系. [规范解答] (1)因为四边形EFGH为平 (2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分 线段成比例定理推出有关线段的关系。 行四边形, 所以GH/..,....................... (3)利用所得关系计算所求值 (3分) [触类旁通] 又因为GHC平面ACD. ,-1失分警示 若漏掉GH平面 3.如图,在三校锥P一ABC中,点D,E分别 EFC平面ACD ACD扣掉1分. 为PB,BC的中点,点G为CD,PE的 所以GH./平面ACD{①}........(7分) 交点,若点F在线段AC上,且满足AD/ (2)因为四边形EFGH为平行四边形, ( 所以EH/FG, __ 1失分警示-- 若温掉直线不在 又因为EH亡乎面ABC. 平面内扣掉2分. FGC平面ABC, 所以EH/乎面ABC^{②}... -1失分警示上-- 若线面平行的性 ................(2分) 质不全扣掉2分. 又因为EH二平面ABD A.1 B.2 D C 且平面ABDO平面ABC-AB. 所以EH/AB^{③}. ................ (15分) [填密思维提能区] 规范答题 课堂小结 线面平行的性质定理的应用 知识落实 技法强化 [典例](15分)如图所示,在空间四边形 ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G. (1)本节课应用了转 H分别为AD,AC,BC,BD上的点,若四 (1)直线与平面平行的判定化与化归的思想 过定理. 方法. 边形EFGH为平行四边形,求证 (2)直线与平面平行的性质(2)证明线面平行时 定理. 不要漏写线在平面 外(内). 请完成[课后案]学业评价(十六) 77所以四边形AFED为平行四边形，所以AD∥FE,故C: [触类旁通] 错误： 1.证明如图，取PD的中点G,连接GA,GN 又DE∥AC,AC∥AC,所以DE∥AC,所以A,C,D "G,N分别是△PDC的边PD, E四点共而， PC的中点， 即直线A,D与直线C,E共面故A错误： 显然直线A,D与直线BB,均包含于平面ABB,A,故D GN//DC.GN-DC. 错误： :M为平行四边形ABCD的边 图为EF∩FC=F,A,D∥EF,FEA,D,又FC丈平面 AB的中点， A,CED,所以直线A,D与直线CF异面，故B正确. M=DC.AM∥DC, .AM∥GN,AM=GN ∴.四边形AMNG为平行四边形，.MN∥AG. 又，MN过平面PAD,AGC平面PAD, .MN∥平面PAD. [例2][证明]如图所示，连接AC交BD于点O,连 接OE, B 11.3.2直线与平面平行 课前案·自主学习 D [教材梳理] 导学1 问题1[提示]三种，直线在平面内、直线与平面相交和直 ,四边形ABCD为平行四边形，.点O是AC的中点，又 线与平面平行 E是PC的中点， 问题2[提示]平行. ∴.AP∥OE 问题3[提示]由于直线a∥b,所以两条直线共面，直线 ,'AP￠平面BDE,OEC平面BDE ,a与平而a不相交 ∴AP∥平面BDE. ©结论形成 :APC平面PAGF,平面PAGF∩平面BDE=GF, 平面外平面内 .AP∥GF 导学2 [触类旁通] 问题1[提示]不一定，因为还可能是异面直线， 2.证明如图，连接AB,与A,B交于点O,连接OM,在三 问题2[提示]无数个，l∥m, 棱柱ABC-A,B,C,中，侧面ABB,A,为平行四边形，所 [基础自测] 以O为AB1的中，点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)X 又因为点M为B,C的中点，所以OM∥AC, 2.B如图所示，连接BD交AC于F,连接EF,则EF是 因为OMC平面A,BM,AC,寸平面A,BM,所以AC∥平 △BDD的中位线，所以EF∥BD,又EFC平面ACE, 而A,BM. BD,丈平面ACE,所以BD,∥平面ACE. 又图为AC,C平面ACC1A,平面ACC,A,与平面A,BM D C 的交线为1， B 所以AC,∥1 3.A因为EH∥FG,FGC平面BCD,EH文平而BCD,所 以EH∥平面BCD. 因为EHC平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以 EH∥BD. [例3][解析]过，点E作EG∥FD 4.解析根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一 交AP于点G,连接CG,连接AC 个条件是“lda” 交BD于点O,连接FO 答案I中a 因为EG∥FD,EG工平面BDF, 课堂案·互动探究 FDC平面BDF, [例1][证明]连接BC(图略)，在△BCC中， 所以EG∥平面BDF, :E,F分别为BC,CC,的中点，∴EF∥BC, 又EG∩CE=E,CE∥平面BDF, 又AB∥AB,∥D,C,且AB=A,B=D,C, EGC平面CGE,CEC平面CGE, ,∴.四边形ABCD1是平行四边形， 所以平面CGE∥平面BDF, .BC1∥AD,∴EF∥AD,又EF过平面AD,G 又CGC平面CGE,所以CG∥平面BDF, AD,C平面ADG,∴.EF∥平面AD,G. 又平面BDF∩平面PAC=FO,CGC平面PAC, 8 所以FO∥CG.又O为AC中点， .EG∥平面PAB, 所以F为AG中点，所以FG=GP=1. E,F分别是PC,PD的中点， 所以E为PD中点，PE:ED=1：1. .EF∥CD,AB∥CD,.EF∥AB [母题变式] .'EF过平面PAB,ABC平面PAB. 解析取PC的中点N,连接MN,ND,即为所求 ∴.EF∥平面PAB, 又EF∩EG=E,EFC平面EFG,EGC平面EFG, .平面EFG∥平面PAB. [触类旁通] 1.证明(1)在三棱柱ABC-A,B,C中， 平面A,B,C∥平面ABC,平面BCHG∩平面ABC=BC, 平面BCHG∩平面AB,C=GH, 故BC∥GH. 理由如下： (2):在三棱柱ABC-A,B,C,中， 设平面ADM与PC相交于点N,连接MN,DN, E,F,G分别是AB,AC,A1B,的中点，AG∥BE,AG 图为AD∥BC,AD吐平而PBC,BCC平而PBC BE. 所以AD∥平面PBC, ,四边形BGA,E是平行四边形，，A,E∥BG, 又ADC平面ADM,平面ADM∩平面PBC=MN, :BG丈平面AEF,A,EC平而A,EF,BG∥平 所以AD∥MN,所以MN∥BC,又M为PB的中点， 面A,EF 所以N为PC的中点，交线即MN,ND】 又EF∥BC,BCt平面A1FE,EFC平面A,EF,.BC∥平 [触类旁通] 面AEF. 3.C由于AD∥平面PEF,ADC平而ACD,平面ACD∩平 又BG∩BC=B,BG,BCC平面BCHG 面PEF=FG. .平面EFA,∥平面BCHG. 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. [例2](1)[解析]因为AC∩BD=P, 由于点D,E分别为校PB,BC的中点，点G为CD,PE的 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为a∥B,a∩ 交点， 平面PCD=AB,3n平面PCD=CD, 所以G是三角形PBC的重心， 所以装-瓷 所以AB/m所以验儡中号-8巴 GC 2 所以BD=24 5 11.3.3平面与平面平行 课前案·自主学习 [答案】酷 [教材梳理 (2)[证明]连接DD, 导学1 因为D与D,分别是BC与B,C,的中点， 问题1[提示]如果两个平面有一个公共，点，那么由基本事 所以DD BB, 实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线：如果两个 又BB1LAA1,所以DD1LAA, 平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行 所以四边形A,DDA为平行四边形 问题2[提示]平行. 所以AD∥AD, 问题3[提示]不一定，也可能相交， 又平面AB1C1∥平面ABC,且平面AB,C∩平面 O结论形成 A1D,B=A,D1,平面A1DB∩平面ABC=L1, 2.两条相交 所以AD∥l1,同理可证：AD∥l, 3.相交两条直线 因为AD1∥AD,所以l∥l2: 导学2 [母题变式] 问题1[提示]是的. 解析与例2(1)同理，可证AB∥CD. 问题2[提示]平行. O结论形成 所以院-器即号-D,所以BD=2 8 平行 [触类旁通] [基础自测] 2.AB平面APC即为平面ACC,A,MN∥A,C,A,C∥ 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ AC,即MN∥AC,而ACC平面ACC,A,, 2.B因为直线a∥a,a∥3，所以在平面a,3中必分别有一直 因此有MN∥平而ACCA1,所以A正确，由平而BCCB 线平行于a,不妨设为m,n,所以a∥m,a∥n,所以m∥n ∥平面ADDA1,又B,QC平面BCCB,故BQ∥平面 又a,B相交，m在平面a内，n在平面B内，所以m∥B,所以 ADD,A,所以B正确.平面APC即为平面ACC1A,,A, m∥b,所以a∥h. P,C共线，所以A,P,M三点不共线，所以C不正确 3.解析由正方体图形特点，知直线AB,与平面CC,D,D 平面MNQ与平面ABCD是相交的，所以D不正确 和平面ABCD平行 [例3][解析]当F是棱PC的中 答案2 点时，BF∥平面AEC,证明如下： 4.解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的 取PE的中点M,连接FM,BM,则 交线是平行的. FM∥CE, ① 答案平行 由EM=号PE=ED,知E是MD B 课堂案·互动探究 的中点，设BD∩AC=O,则O为BD的中点，连接OE, [例1门[证明] ,E,G分别是PC,BC的中点， 则BM∥OE, .EG∥PB, 由①②可知，平面BFM∥平面AEC.又BFC平面BFM. 又'EG平面PAB,PBC平面PAB, 所以BF∥平面AEC 20