11.3.1 平行直线与异面直线-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

@ [例3][证明] ,BFEG四点共面，BG不平行于EF,设 :.EQ ZB C, BG∩EF=P, .四边形EQC,B,为平行四边形， 又：BGC平面ABBA,EFC平面ADDA1,BG,EF均 ∴.B ELC.Q. 不平行于AA1· 又：Q,F分别是矩形DD1C,C的 P为平面ABB1A,与ADDA,的公共点， 两边DD1和CC的中点，.QD 平面ABB,A,∩平面ADD,A,=AA· LC F. ,∴.根据基本事实3可得P∈AA,, .四边形DQCF为平行四边形，.C,QLDF ∴.直线BG,EF,AA,共点. 又：B ELC Q,∴B,ELDF, [触类旁通] ∴.四边形B,EDF为平行四边形 3.证明，AB∥CD, [触类旁通] AB,CD确定一个平面，记为A 1.CD假设1∥AD,则由AD∥BC∥B,C, 'AB∩a=E,E∈AB,E∈a, 知l∥BC1, :.EEB. 这与【与B,C,不平行矛盾，.1与AD不平行 .E在a与B的交线l上 又I在上底面中，AD在下底而中，故（与AD无公共点，故 同理，F,G,H也在a与3的交线l上 1与AD不相交. .E,F,G,H四点必定共线 CD可以成立」 11.3空间中的平行关系 [例2][证明]连接EE, 11.3.1平行直线与异面直线 E,E分别为A,D,AD的中点， 课前案·自主学习 ..A E ZAE. [教材梳理] .四边形AEEA为平行四边形. 导学1 .A:AZE E. 问题1[提示]一条. 又AA4BB, 问题2[提示]平行， 由空间平行线的传递性可知， ⊙结论形成 B BZE E,.四边形E1EBB,是平行四边形， 1.(1)平行 ∴EB,∥EB.同理E,C∥EC, 2.对应平行相同 又∠CEB1与∠CEB两边的方向相同， 导学2 ∴∠CEB,=∠CEB. 问题1[提示]可以说两种：共面与异而，也可以说三种： [触类旁通] 平行、相交和异面】 2.解析因为在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA1∥DD, 问题2[提示]空间中既不平行也不相交的两条直线. AB∥CD,所以∠A,AB与∠DDC相等.又由于侧面 ⊙结论形成 A1ABB1,DDCC为平行四边形，所以∠A1AB与 1.任何一个平面内 ∠AB1B,∠DCC也相等. 3.不经过交点的直线 答案∠D1DC,∠D,CC,∠ABB 导学3 [例3][解析]如图，由题意易知(OM在平面BB,D,D上， 1.4点顶点边对角线 对于A,B,∈平面BB,DD,C,平面BB,DD,B,年OM, 2.4个字母 [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B②④正确. 3.D选项A中，平而a,3内的两直线并面，则a与b并而； 选项B中，平面a,3内的两直线异而，则a与b异面： 选项C中，平面a,3内的两直线异面，则a与b异面： 6 选项D中，平面α，9内的两直线相交，两相交直线可以确 由异面直线的定义知，B,C与直线OM是异面直线，故A 定一个平面， 正确： 则a与b相交或平行，由图可知，a与b平行. 对于B,B∈平面BB,D,D,A任平面BB,D1D,BEOM,由 4.ABC对于A,空间两条不相交的 异面直线的定义知，A,B与直线OM是异面直线，故B 直线有两种可能，一是平行（共面）， 正确： 另一个是异面.所以A应排除.对于 对于C,D∈平面BB,D,D,C任平面BB,D,D,D1OM, B,分别位于两个平面内的直线，既可 由并面直线的定义知，CD,与直线OM是异面直线，故C 能平行也可能相交也可异面，如图， 正确： 就是相交的情况，所以B应排除，对 对于D.当M为B,D的中，点时，AA,∥OM,所以D错误. 于C,如图中的a,b可看作是平面a内的一条直线a与平面a [答案]ABC 外的一条直线b,显然它们是相交直线，所以C应排除，只有D [触类旁通] 符合定义 课堂案·互动探究 3B知图，连接DE,则DE∥AC且DE=AC,又A,F/ [例1][证明]设Q是DD,的中点，连接EQ,QC, ,E是AA,的中，点，.EQ ZA D. AC且A,F=AC 又在矩形AB,CD,中，AD14B,C, 所以A,F∥DE且A,F=DE, 18 所以四边形AFED为平行四边形，所以AD∥FE,故C: [触类旁通] 错误： 1.证明如图，取PD的中点G,连接GA,GN 又DE∥AC,AC∥AC,所以DE∥AC,所以A,C,D "G,N分别是△PDC的边PD, E四点共而， PC的中点， 即直线A,D与直线C,E共面故A错误： 显然直线A,D与直线BB,均包含于平面ABB,A,故D GN//DC.GN-DC. 错误： :M为平行四边形ABCD的边 图为EF∩FC=F,A,D∥EF,FEA,D,又FC丈平面 AB的中点， A,CED,所以直线A,D与直线CF异面，故B正确. M=DC.AM∥DC, .AM∥GN,AM=GN ∴.四边形AMNG为平行四边形，.MN∥AG. 又，MN过平面PAD,AGC平面PAD, .MN∥平面PAD. [例2][证明]如图所示，连接AC交BD于点O,连 接OE, B 11.3.2直线与平面平行 课前案·自主学习 D [教材梳理] 导学1 问题1[提示]三种，直线在平面内、直线与平面相交和直 ,四边形ABCD为平行四边形，.点O是AC的中点，又 线与平面平行 E是PC的中点， 问题2[提示]平行. ∴.AP∥OE 问题3[提示]由于直线a∥b,所以两条直线共面，直线 ,'AP￠平面BDE,OEC平面BDE ,a与平而a不相交 ∴AP∥平面BDE. ©结论形成 :APC平面PAGF,平面PAGF∩平面BDE=GF, 平面外平面内 .AP∥GF 导学2 [触类旁通] 问题1[提示]不一定，因为还可能是异面直线， 2.证明如图，连接AB,与A,B交于点O,连接OM,在三 问题2[提示]无数个，l∥m, 棱柱ABC-A,B,C,中，侧面ABB,A,为平行四边形，所 [基础自测] 以O为AB1的中，点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)X 又因为点M为B,C的中点，所以OM∥AC, 2.B如图所示，连接BD交AC于F,连接EF,则EF是 因为OMC平面A,BM,AC,寸平面A,BM,所以AC∥平 △BDD的中位线，所以EF∥BD,又EFC平面ACE, 而A,BM. BD,丈平面ACE,所以BD,∥平面ACE. 又图为AC,C平面ACC1A,平面ACC,A,与平面A,BM D C 的交线为1， B 所以AC,∥1 3.A因为EH∥FG,FGC平面BCD,EH文平而BCD,所 以EH∥平面BCD. 因为EHC平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以 EH∥BD. [例3][解析]过，点E作EG∥FD 4.解析根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一 交AP于点G,连接CG,连接AC 个条件是“lda” 交BD于点O,连接FO 答案I中a 因为EG∥FD,EG工平面BDF, 课堂案·互动探究 FDC平面BDF, [例1][证明]连接BC(图略)，在△BCC中， 所以EG∥平面BDF, :E,F分别为BC,CC,的中点，∴EF∥BC, 又EG∩CE=E,CE∥平面BDF, 又AB∥AB,∥D,C,且AB=A,B=D,C, EGC平面CGE,CEC平面CGE, ,∴.四边形ABCD1是平行四边形， 所以平面CGE∥平面BDF, .BC1∥AD,∴EF∥AD,又EF过平面AD,G 又CGC平面CGE,所以CG∥平面BDF, AD,C平面ADG,∴.EF∥平面AD,G. 又平面BDF∩平面PAC=FO,CGC平面PAC,。数学·必修 第四册（配RJB版） 11.3 空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 学业标准 素养目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平 1.通过学习异面直线的定义，培养数学抽象核心 行性的传递性.（重点） 素养。 2.理解异面直线的概念并会判断两直线是否异面.（重 2.通过判断两直线间的位置关系，培养逻辑推理 点、难点) 核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2异面直线 导学1平行直线与等角定理 问题1空间中两条直线有几种位置关系？ 问题1过直线外一点可以作几条直线与已 知直线平行？ 问题2什么样的两条直线是异面直线？ 问题2如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c吗？ ⊙结论形成 ⊙结论形成 1.空间平行线的传递性 1.定义：不同时在 的两条直 (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线互 线是异面直线， 相 2.画法：为了表示异面直线a,b不共面的特 (2)图形语言： 点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 如下图所示： (3)符号语言：如果a∥b,a∥c,那么b∥c. 2.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的 (1) (3) 两边分别 ,并且方向 ,那么 3.判定：与一个平面相交于一点的直线与这 这两个角相等。 个平面内 异面. 70 第十一章立体几何初步© 导学3空间四边形 ③如果一个角的两边和另一个角的两边分 1.概念：顺次连接不共面的 所构成 别垂直，那么这两个角相等或互补； 的图形称为空间四边形，其中4个点都是 ④如果两条直线同时平行于第三条直线， 空间四边形的 ,连接相邻顶点间 那么这两条直线互相平行， 的线段称为空间四边形的 ,连接 A.1个 B.2个 不相邻顶点间的线段称为空间四边形的 C.3个 D.4个 2.表示：用表示顶点的 表示 3.在以下四个图中，直线a与直线b平行的 >基础自测 位置关系只能是 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)分别在两个平面内的两条直线是异面 直线 ( (2)没有公共点的两条直线是异面直线： ( ) (3)若a,b是两条直线，a,B是两个平面， 4.(多选题)下面关于异面直线的描述不正确 且aCa,bC3,则a,b是异面直线.( 的为 ) (4)梯形不是空间四边形， 2.下列命题中，正确的有 ( A.空间中两条不相交的直线 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 别平行，那么这两个角相等； C.平面内的一条直线与平面外的一条 ②如果两条相交直线和另两条相交直线分 直线 别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直 D.不同在任何一个平面内的两条直线 角)相等； 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 空间平行线的传递性的应用 [自主解答] 例1如图所示，E,F分别是长方体 A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中 点，求证：四边形B,EDF是平行四边形 71 O数学·必修第四册（配RJB版） 规律方法 规律方法 证明空间两条直线平行的方法 证明两个角相等的方法 (1)平面几何法： (1)利用等角定理. 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)利用三角形全等或相似， (2)定义法： [触类旁通] 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是 2.如图，四棱柱ABCD-A1BCD1中，底面是 两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公 梯形，AB∥CD,则所有与∠AAB相等的角 共点 是 (3)平行线的传递性， [触类旁通] 1.(多选题)如图所示，在正方体ABCD A1BC1D1中，IC平面ABC1D1,且L与 B,C不平行，则下列说法可能成立的是 题型三 异面直线的判定 ( 例3（多选题）(2024·浙江嘉兴高一期中) 如图，在正方体ABCD-A,B,CD1中，O 为正方形ABCD的中心，当点M在线段 B1D(不包含端点)上运动时，下列直线中 一定与直线OM异面的是 D A.l与AD平行 B.1与AD相交 C.l与AC平行 D.I与BD平行 B 题型二等角定理的应用 0 例2如图所示，已知E,E1分别是正方体 A.B C B.AB AC1的棱AD,AD1的中点，求证： C.CD D.AA ∠C1E1B1=∠CEB. [素养聚焦] 通过异面直线的判定与证明， E 培养逻辑推理核心素养】 规健方法 D 异面直线的判断方法 (1)定义法：由定义判断.两直线不可能在同一个 [自主解答] 平面内. (2)图形直观判断法：熟记几类异面直线的画法， 可快速判断. (3)运用判定方法：过平面外一点与平面内一点的 直线，和平面内不经过该点的直线异面. (4)反证法：假设这两条直线不是异面直线，那么它们 是共面直线，结合题中的条件，经正确的推理得出矛 盾，从而断定假设“这两条直线不是异面直线”是错误 的，进而得出结论：这两条直线是异面直线。 72 第十一章立体几何初步。 [触类旁通] 课堂小结 3.(2024·黑龙江佳木斯高一期中)三棱柱 知识落实 技法强化 ABC-A1B1C1中，D,E,F分别是AB, (1)平行直线与异面(1)判断两条直线的方法有 直线， 定义法、反证法和定理法. BC,AC1中点，则下列与直线A1D异面 (2)空间平行线的传(2)本节课的易错之处为不 的直线为 ( 递性和等角定理. 能把平面知识转化到空 (3)空间四边形 间中。 A.直线C,E B.直线CF C.直线EF D.直线BB 请完成[课后案】学业评价（十五） 11.3.2 直线与平面平行 学业标准 素养目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平1.通过线面平行问题的证明，培养逻辑推理核心 面的位置关系. 素养」 2.学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位2.借助几何体判定直线与平面的位置关系，培养 置关系.（重点） 直观想象核心素养 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利3.通过根据平行关系进行数值计算，培养数学运 用两个定理解决空间中的平行关系问题.（重点、难点） 算核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学1直线与平面平行的判定 问题1直线与平面有几种位置关系？ 问题3如图，平面a外的直线a平行于平面 a内的直线b.这两条直线共面吗？直线a 与平面a相交吗？ 问题2如图，一块矩形木板ABCD的一边 AB在平面a内，把这块木板绕AB转动， 在转动过程中，AB的对边CD(不落在a 内)和平面α有何位置关系？ 73