10.2 复数的运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 10.2 复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 学业标准 素养目标 1.掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的 1.通过复数的加法与减法的学习，提升数学运算 加减运算. 核心素养 2.理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决2.通过复数加法和减法运算几何意义的学习，培 相关的问题.（重点、难点） 养直观想象、数学抽象核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2复数加减法的几何意义 导学1复数的加法与减法运算 问题1 如图0立，O立2分别与复数a十i, 问题1多项式的加减实质是合并同类项，类 c+di对应. 比想一想复数如何加减？ 问题2复数的加法满足交换律和结合律吗？ 试写出O立1，O立2及0立+0立2,0立1-0立 的坐标. ◎结论形成 复数的加法与减法 (1)运算法则：设1=a十bi,2=c十di(a, b,c,d∈R),则名1十2= ,31一2日 问题2 向量0立1+O立2，O立1-O立2对应的复 (2)加法运算律： 数分别是什么？ 设名，，∈C,有①交换律：名十名= ②结合律：（名1十)十= 28 第十章复数。 ◎结论形成 基础自测 复数加法、减法的几何意义 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 若复数1,2对应的向量分别为O立， (1)两个虚数的和或差可能是实数.() O立2，且O立1与O立不共线. (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加 得实部，虚部与虚部相加得虚部.() (1)意义：复数1十2是 (3)复数的减法不满足结合律，即（之1一2） 以O立1，O立2为邻边的平 复数加 一名=名1一（之2十）可能不成立.（) 法的几 行四边形的对角线O之所 (4)若复数之1一2>0，则名1>2·（) 何意义 对应的复数； 2.若实数x,y满足(x+i)十(1一yi)=2,则 (2)结论：川一|21川≤ xy的值为 () 名十2≤a|+2. A.1 B.2 C.-2 D.-1 (1)意义：复数x1一2是 3.已知1三5a+(a+1)i,2=-336中 从向量O立2的终点指向 (b+2)i(a,b∈R),若1-2=4√3，则 复数减 向量O之1的终点的向量 a+b= ( 法的几 A.3 B.4 C.2 D.1 何意义 Z2乙所对应的复数； 4.设a,b∈R,(5+bi)+(b-3i)-(2+ai)= (2)结论：|z1|一|z2|川 0,那么复数a十bi的模为 ( ) ≤1一2≤||+2 A.0 B.6 C.35 D.23 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 复数的加法、减法运算 [触类旁通] 1.(1)(2024·河北邯郸高一期中)已知x一3i 例1计算： =4一i,则之的虚部为 ) (1)(-√2+3i)-[(3-√2)+(W3+√2)]； A.2 B.4 (2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i] C.-2 D.2i (a,b∈R). [自主解答] (2)(2024·河南漯河高一期中)已知a,b ∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则( A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=1,b=-3 D.a=1,b=3 题型二 复数加法、减法运算的几何意义 例2如图所示，平行四边形 规律方法 OABC的顶点O,A,C分 复数的加减运算，只需把“”看作一个字母，完 别对应的复数为0,3+2i, 全可以按照合并同类项的方法进行 -2+4i.求： 29 ©数学·必修第四册（配RJB版） (1)AO表示的复数； [素养聚焦]借助复数的综合运算，把数学 (2)CA表示的复数； 运算等核心素养体现在解题过程中」 (3)OB表示的复数. 规律方法 [自主解答] 设出复数之=x十yi(x,y∈R),利用复数相等 或模的概念，可把条件转化为关于x,y满足的关 系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实 数化”思想的应用. [触类旁通] 3.(多选题)已知ⅰ为虚数单位，下列说法正 确的是 () 规律方法 A.若复数之满足z一i=√5，则复数之对 复数加法、减法的几何意义与平面向量的平 行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平 应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的 行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据 圆上 复数加、减法运算的几何意义求解计算。 B.若复数x满足之十之|=2十8i,则复数 [触类旁通] z=15+8i 2.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点 对应的复数分别是1+2i,一2十i,0,那么 C.复数的模实质上就是复平面内复数对 这个正方形的第四个顶点对应的复数为 应的点到原点的距离，也就是复数对应 的向量的模 D.复数1对应的向量为OZ,复数2对 A(1,2) B(-2,1 应的向量为0Z2,若引名十2=名一|， 0 则0Z,⊥0Z A.3+i B.3-i 课堂小结 C.1-3i D.-1+3i 知识落实 题型三复数加法、减法的综合应用 技法强化 一题多解 (1)复数代数形式的加、(1)进行复数的加、减法 例3 已知名=名=名一名=1，求名十名. 减运算法则。 运算要注意运用类比、 [自主解答] (2)复数加、减法的几何数形结合的思想方法 意义. (2)复数三角形不等式 (3)复平面上两点间的距 中等号成立的条件的 离公式 理解。 请完成[课后案】学业评价（六） 30 第十章复数。 10.2.2复数的乘法与除法 学业标准 素养目标 1.理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算.（重点）1.通过学习复数的乘法和除法，培养数学运 2.掌握虚数单位“”的幂值的周期性，并能应用周期性进行 算核心素养。 化简与计算.（难点） 2.通过学习复数乘法运算所满足的运算律， 3.会在复数范围内求解实系数一元二次方程。 培养数学抽象核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2复数的除法运算 导学1复数的乘法运算 问题1如果实数a,b满足(a十bi)(1十i)=1, 如何求a,b? 问题1复数代数形式的乘法与多项式的乘 法相类似吗？ 问题2 如何将市的分母化成实数？ 问题2复数的乘法满足交换律、结合律、乘 法对加法的分配律吗？ ⊙结论形成 1.复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称 ◎结论形成 1.复数的乘法 为z的倒数.求复数的倒数的方 设z1=a十bi,z2=c十di,a,b,c,d∈R,规 法称为 z=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数相除：如果复数x2≠0，则满足之之2= 2.复数乘法的运算律 的复数之称为之1除以2的 (1)对于任意名1,2,2∈C,有 并记作之=（或x=名÷2），名称为 交换律 3122= ,2称为 结合律 (2122)z3= 实系数一元二次方程在复数范围 乘法对加法的分配律 1（z2十23)= 导学3 内的解集 (2)对复数x,名1，之2和正整数m,n有x"x”= ,(2m)= ,(312)”= 问题1如果x2=一4，则x等于多少？ (3)i为虚数单位，则= 31 ©数学·必修第四册（配RJB版） 问题2如果x2=-a(a>0),则x等于 基础自测 多少？ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”) (1)复数加减乘除的混合运算规则是先乘 除，再加减： (2)若1,2∈C,且号十号=0，则之1= ⊙结论形成 1.根的判定 22=0. 当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方 ( 程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次 方程， (-i ( (1)当△=b2一4ac>0时，方程有两个不相 2.已知i是虚数单位，则（一1十i)(2一）= 等的实数根； () (2)当△=b2一4ac=0时，方程有两个相等 A.-3+i B.-1+3i 的实数根； C.-3+3i D.-1+i (3)当△=b2一4ac<0时，方程有两个互为 3.已知复数z=2十i,则z·z= ( 共轭的虚数根。 A.3 B.5 2.根与系数的关系 C.3 D.5 如果x1,x2是实系数一元二次方程ax2十 4.设复数之满足(1一i)z=2i,则z=() bx十c=0的解，那么x1+x2= A.-1+i B.-1-i C1x2= C.1+i D.1-i 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规律方法 题型一 复数的乘法运算 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项 例1计算：(1)(3+2i)(1-iD;(2)(1+2i)2. 式的乘法进行，注意要把化为一1，进行最后结 [自主解答] 果的化简。 (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘 法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平 方公式等 [触类旁通] 1.(1)(2024·全国甲卷·理)若z=5十i,则 i(z十x)= A.10i B.2i C.10 D.-2 32 第十章复数。 (2)(2024·北京卷)若复数x满足产- [母题变式] 1.(变结论)若本例条件不变，改为“求复数 一1一i,则之= ( A.-1-i B.-1+i 在复平面内对应点的轨迹”，如何 C.1-i D.1+i 求解？ (3)(2024·天津卷)已知1是虚数单位，复 数（√5+i)·(√5-2i)= 题型二复数的除法运算 一题多变 例2 已知：是纯虚数，是实数，求。 [自主解答] 2.(变结论)本例条件不变，改为“求复数 行的模的取值范围”，如何求解？ 33 ©数学·必修第四册（配RJB版） [素养聚焦]通过复数的计算，培养数学运 [自主解答] 算核心素养。 规律方法 应用复数除法法则的两个步骤 (1)分母实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复 数，转化为复数乘法运算. (2)结果化为复数代数形式： [触类旁通] 2.(1)已知x1=1+2√2i,x2=4一3i,则 规律方法 ( 解关于之的复数方程常用待定系数法，即将 z=x十yi(x,y∈R)代入原方程，利用复数相等，得 A号 B号 出关于x,y的二元方程组，从而求出x,y的值. n3g5 [触类旁通] 3.(2024·河南安阳月考)已知p,q为实数， (2)如果一个复数的实部和虚部相等，则称 2i-3是关于x的方程2x2+px十q=0的 这个复数为“等部复数”，若复数之=1十ai 一个根，则p十g的值为 (其中a∈R)为“等部复数”，则复数z= A.14 B.-14 ( C.38 D.-38 A.-1+i B.-1-i 课堂小结 C.1+2i D.1-2i 知识落实 技法强化 题型三 与复数有关的方程问题 (1)复数的除法主要 (1)复数的乘法及运算律. 应用分母实数化. 例3复数x=(合-)是一元二次方程 (2)复数的除法运算. (2)解实系数一元二 (3)在复数范围内解方程. mx2+x+1=0(m,n∈R,m≠0)的一 次方程时的判别式 (4)i的运算性质. 个根 △的讨论 (1)求m和n的值； 请完成[课后案]学业评价（七）、 阶段测评（二 (2)若(m十ni)u十u=之(u∈C),求u. 34le [触类旁通] [基础自测] 2.解析(1)由复数的几何意义知， 1.(1)√(2)/(3)×(4)× Oi=(1,0).O=(2,1),0C-(-1,2), 2.A依题意，得x+1=2且1一y=0,所以x=y=1,所以 ∴AB=(Oi-0A=(1,1).AC-元-0A=(-2,2), ry=1. BC-O元-Oi-(-3.1). A--a+a+1D1-[-356+6+2 ∴AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i1 (2):1AB=√2，AC=22,|BC1=√10， (停。+3v5)+a-6-1Di=4v3,由复数相等的充受条 ∴ABP+AC1=|BC. ∴，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 件知 [例3][解析]由题意知，AB=(一3，一4)， 受十38：解释8：a+6=8 a-b-1=0, AC=(c-3,2一10)，因为∠BAC为纯角， 4.C图为(5+i)+(b-3i)-(2+ai)=0, 所以AB·AC<0,即-3(c-3)-4(2c-10)<0, 所以(5十b-2)+(b-3-a)i=0. 所以心得 'a,b∈R, 其中当c=9时，AC=(6,8)=-2AB. 898解释伦 1a=-6. .a+bi=-6-3i B,A,C三点共线，故c≠9. ∴.la+bil=|-6-3il 所以实数c的取值花国为（铝.9）U(0,+∞). =√/(-6)+(-3) [母题变式] =35. 1.解析由题意知，A店=(-3，-4)， 课堂案·互动探究 AC=(c-3,2e-10),因为∠BAC为锐角， [例1][解析](1)(-√2+3í)-[(3-2)+(W3+2)] 所以AB·AC>0, =[-√2-(5-2)]+[5-(3+√2)]i 即-3(c-3)-4(2c-10)>0,所以c<49 =一3-2 (2)[(a+b)+(a-b)i0-[(a-b)-(a+b)i0 所以实数c的取值龙禺为（一©，铝） =[(a+b)-(a-b)]+[(a-b)+(a+b)]i =2b+2ai. 2.解析因为=c+(2c一6)i, [触类旁通] 所以|x|=√+(2c-6)7=√5c2-24c+36 1.(1)A因为一3i=4一i,所以=4十2i,则：的部为2. (2)A由(a+3i)+(-1+i)=(d-1)+(3+b)i=0, 5(-号)+. 释8+68： 所以当c=号时，的最小值为6 5 5 解释公 [触类旁通] [例2][解析](1)因为Aò=一OA. 3.解析(1)111=√(W3)2+(-1)2=2,12| : 所以A)表示的复数为一3一2. √-)+（受-1. (2)因为CA=OA-O元， 所以C表示的复数为(3+2)-（一2十4i)=5-2i. (2)由(1)知1≤：≤2， (3)图为O=OA十OC,所以O克表示的复数为(3+2i)+ 因为不等式|：≥1的点的集合 (-2+4i)=1+6i 是國心在原点，半径为1的圓及 [触类旁通] 其外部所有点组成的集合，不等 2.D,OC=O4+OB,∴.O0C对应的复数为1+2i-2十i= 式：≤2的点的集合是圆心在 一1十3i,.点C对应的复数为一1十3i. 原点，半径为2的国及其内部所 [例3][解析]解法一设&1=a+bi,c4=c十di(a,b,c, 有点组成的集合，所以满足条件 d∈R), 1≤z≤2的点Z的集合是以原 l1=|=-=1, 点)为圆心，以1和2为半径的两國所夹的圆环，并包括 ,∴.a2+b=c2+d=1, ① 园环的边界，如图所示 (a-c)2+(b-d)2=1. 10.2复数的运算 由①②得2ae+2bd=1. 10.2.1复数的加法与减法 ∴.lx1+|=√(a+c)+(b+d)羽 课前案·自主学习 =√a+c+b+d+2ac+2bd=√5. [教材梳理] 解法二设O为坐标原点， 导学1 问题1[提示]两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚 121十2对应的点分别为A,B,C .1=82=31-2=1, 部与虚部分别相加（减），即(a十i)士(c十i)=(a土c)十 '.△OAB是边长为1的正三角形， (b士d)i. 又以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 问题2[提示]满足 '.四边形(OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形， @结论形成 且1十|是菱形的较长的对角线OC的长， (1)(a+c+(b+d)i(a-c)+(b-d)i .l1+01=|OC (2)十1十(2十) 导学2 =√/1OA2+AC12-2OA1|AC1cos(180°-60) 问题1[提示]O立=(a,b).O2=(c,d),O克+O立2 =√3. (a+c.b+d).OZ-OZ:=(a-c.b-d). [触类旁通] 问题2[提示]向量O2+O元.对应的复数是(a十c)+(b十 3.CD满足x一i=√5的复数g对应的点在以(0,1)为圆 di,也就是十4，向量O元1-O立2对应的复数是(a-c) 心，W5为半径的圆上，A错误；设x=a十bi(a,bER),则 +(b-d)i,也就是1一e lx=√a+b. 由+|：=2+8i,得a十i+√/a+b=2+8i. 因为b≠0，所以去掉，点（一1,1）， 8+7=2解释88.15， 所以复数行在复平西内对应点的轨连为一直线（除去 b=8, 一点) ∴=一15十8i,B错误；由复数的模的定义知C正确： 2.解析设莞虚数=i(b∈R且b≠0)， 由21十：1=|名1一的几何意义知，以OZ,O2,为邻边 的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确， 则二2-i-2=-2)1二D=6-2++2i (1+i)(1-i) 2 10.2.2复数的乘法与除法 _6-2+6+2 . 课前案·自主学习 2 [教材梳理] 所以 x2 b-2+b+2 导学1 1+i 2 1 问题1[提示]美似， (2)+() =V2b+8 问题2[提示]满足 2 ©结论形成 2.(1)2名1名1(4)1十名1(2)+” 因为b0,所以26+82. 2 (3)-1-i1 导学2 所以复数的提的取值范围为2，十心。 问题1[提示]方法一是晨开，利用复数相等求a,b,方法 [触类旁通] 二是化为a十价=1中将等号右边分母化成实数，利用复 2.(1)B 4-3i (4-3i)(1-22i) = 1 1+2√②i(1+2√②i)(1-22i) 数相等求解」 问题2[提示]分子分母同时桑以分母的共轭复数。 4-3i-8V2i-62_4-62-(3+82)i ○结论形成 9 分母实数化 所以 62+(3.82== 2.商被除数除数 故选B. 导学3 (2)A由已知可得，=1+ai=-q十aii=a-i, 问题1[提示]土2i. 问题2[提示]土vai 根据“等部复数”的概念可知，a=一1，所以，=一1一i,则 结论形成 =一1十i. 2.-b [例3][解析] ①调为=（号-）=-是。 [基础自测] 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 所以= 2 2.B(-1+i)(2-i)=(-2+1)+(2+1)i=-1+3i. 由题意，知：，：是一元二次方程 3.D解法一，=2十i, mx2十n.x+1=0(m,n∈R,m≠0)的两个根， .=2-i,g·x=(2+i)(2-i)=5.故选D 解法二=2十i,∴z·=|z2=5.故选D. -= -)+(+) 2i 2i(1+i) 所以 4.A=台=1+=-1+i ■课堂案·互动探究 [例1门[解析](1)(3+2i)(1-i)=(3+2)+(-3+2)i= 解得m=1, n=1. 5-i: (2)设u=c+di(c,d∈R),则u=c-di, (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i=-3+4i. 由(1)知m十i=1十i, [触类旁通] 1.解析(1)由g=5十i,得=5一i,故十=10，则i(+) 期a+iDc-d)+c+d)=-号-5. 22 =10i. 1 (2)由题意得g=一i(i十1)=1一i,故选C. 即2c+d+ci= 2, (3)(w5+i)·(W5-2i)=5+√5i-25i+2=7-5i. 1 2c+d= 答案(1)A(2)C(3)7-5i 2， 所以 解得 2 [例2][解析]设纯虚数x=bi(∈R且b≠0)： 则岸9骨公”生+ 2 d=- 2+3 2 =b-2⊥+2 所以u= 9+(8-)归 2+2i. [触类旁通] 又是宾数，所以6叶2=0，即=-2 3.C 由题意2(2i-3)2+p(2i一3)+g=0,即(2p-24)i十 10-3p+q=0, 所以x=一2i. /2p-24=0. 「母题变式1 110-3p+g=0, 1.解析设纯虚数=i(b∈R且b≠0)， 期，昌-公2”士0+2 解得D2:所以p十q=38. lq=26. 2 -2+3. 10.3 复数的三角形式及其运算（略） 2 2 章末整合提升 设复量在复华面内对应点的垒标为(y [深化提升] 1-i_(1-i)(1-i)。-2i [典题11[解析]因为：=2+22(1+i)1-D 4 则 2 =一司，所以=，即-8=-i 故选A. 消去参数b,得x-y十2=0， [答案]A